/河南省豫北名校2025?2026學年高二上學期階段性測試（二）數(shù)學試題一、單選題1．雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2．在1與64之間插入3個正數(shù)，使這5個數(shù)成等比數(shù)列，則該數(shù)列的公比為（

）A．2 B． C．4 D．83．已知的三個頂點分別為，則的外接圓的方程為（

）A． B．C． D．4．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．7 B．9 C． D．5．已知圓的方程為，圓的方程為，則這兩個圓的位置關系為（

）A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含6．如圖，在四棱錐中，平面平面，，為的中點，則點到平面的距離為（

）

A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為，點在上且均位于第一象限，若，且直線的斜率為，則（

）A．6 B． C． D．88．已知數(shù)列中，，設，則數(shù)列的前30項和為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知直線和圓，則下列說法正確的是（

）A．若直線過圓的圓心，則 B．若，則直線與圓相交C．若直線與圓相切，則 D．圓心到直線的最大距離為10．記為數(shù)列的前項和，已知，則（

）A．為等比數(shù)列 B．為等比數(shù)列C． D．11．如圖，在正方體中，為棱的中點，，則下列結論正確的是（

）A．是平面的一個法向量B．當時，C．若是平面的一個法向量，則恒成立D．直線與所成角的余弦值的最大值為三、填空題12．記為等比數(shù)列的前項和，若（為常數(shù)），則．13．已知點分別在直線和上，若的中點恰好在直線上，則點的坐標為．14．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上且位于第一象限，若直線的斜率為，則的內(nèi)切圓面積為．四、解答題15．已知拋物線上一點到其焦點的距離為3．（1）求的方程；（2）若直線與C交于兩點（與坐標原點不重合），且滿足，求與軸的交點坐標．16．記正項等比數(shù)列的前項和為，已知．（1）求；（2）證明：對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列．17．已知數(shù)列滿足，．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和；（3）設，求數(shù)列中的最小項．18．如圖，正方形與梯形所在平面垂直，．（1）證明：；（2）證明：平面；（3）若點滿足，且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．19．已知橢圓的右焦點為，離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左、右頂點分別為，點在第一象限且，直線與的另一個交點為，以為直徑作圓，判斷直線與該圓的位置關系；（3）設是軸正半軸上的一點，直線與交于兩點，求的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】由雙曲線可得其標準方程為，故，故雙曲線的離心率為，故選C2．【答案】B【詳解】設，則，所以，因為，所以所以．故選B．3．【答案】D【詳解】設所求圓的方程是.已知的三個頂點分別為，因為，且，所以是直角三角形，所以的斜邊的中點，即為外接圓的圓心，斜邊的一半即為外接圓的半徑，即，所以的外接圓的方程為.故選D4．【答案】A【詳解】是等差數(shù)列，設首項是，公差是，，，，，，，故A正確．故選A．5．【答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.因為，，，，所以圓與圓相交.故選B6．【答案】A【詳解】由取的中點為，連接，則，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又因為，所以可如圖建立空間直角坐標系：

由，則，可得：，又因為為的中點，所以，即，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以，則點到平面的距離為，故選A.7．【答案】C【詳解】如圖，作垂直于準線上兩點，作于，由拋物線的定義可知，所以，又直線的斜率為，所以，即，所以在中，.故選C.8．【答案】B【詳解】因為，則，且，所以，所以是周期為3的周期數(shù)列，因為，設數(shù)列的前30項和為，則數(shù)列的前30項和為，，所以，所以.故選B.9．【答案】BD【詳解】對A：圓的圓心為，半徑為2.若直線過圓的圓心，則.故A錯誤；對B：由.所以若，則直線與圓相交.故B正確；對C：由或，所以若直線與圓相切，則或.故C錯誤；對D：因為直線：，所以直線過定點，所以圓心到直線的最大距離.故D正確.故選BD10．【答案】BCD【詳解】由，可得：，兩式相減得：，即，所以為等比數(shù)列，故B正確；再由，可得，即，當時，有，由于不滿足上式，所以，故A錯誤；由，故C正確；由，則，兩式相減得：，故D正確；故選BCD11．【答案】ACD【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，則，故，即，又平面，故平面，故是平面的一個法向量，故A正確；當時，，則，故B錯誤；因為，所以，設，則，不妨令，則，又，則，故C正確；因為，所以，則，又，則，令，所以，令，則，當時有最小值，此時有最大值，故直線與所成角的余弦值的最大值為，故D正確.故選ACD12．【答案】2【詳解】因為，所以，，因為為等比數(shù)列，所以，即，解得.13．【答案】【詳解】直線與直線是平行關系，所以的中點在兩直線等距且平行的直線上，設，因為直線與直線和直線等距，所以，又因為在直線又在直線上，所以，解得，，即.14．【答案】【詳解】雙曲線的左、右焦點分別為，，故，，故，點在雙曲線的右支上且位于第一象限，則，，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，化簡整理得，解得或（時，，不合題意舍去），，，，設的內(nèi)切圓半徑為，圓心為，則，即，，解得，的內(nèi)切圓面積為．15．【答案】（1）（2）．【詳解】（1）因為拋物線上一點到其焦點的距離為3，根據(jù)拋物線的定義，可知點到的準線的距離也為3，即得，即，故的方程為．（2）設，的方程為，由題意知，由，得，需滿足，則因為，所以，解得或（舍去），所以的方程為，與軸的交點坐標為．16．【答案】（1）（2）見詳解【詳解】（1）設正項等比數(shù)列的公比為，因為，所以，解得或（舍去）．由，代入得，所以，故．（2）由（1）得，所以，當時，，即，所以對任意正整數(shù)，只需令，即使得成等差數(shù)列．17．【答案】（1）見詳解，（2）（3）．【詳解】（1）由題可知，則，即．所以是公差為的等差數(shù)列．所以，故．（2），則．故（3）由題意知，則，易知關于單調(diào)遞增，當時，，當時，，所以，故數(shù)列中的最小項為．18．【答案】（1）見詳解（2）見詳解（3）【詳解】（1）方法一：因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以兩兩互相垂直，故以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．由已知得．（1），所以，所以．方法二：如圖，連接．因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．因為四邊形是正方形，所以，又，，所以平面，平面，因此．（2）設平面的法向量為，因為，所以，取．則，又平面，所以平面．方法二：設與交于點，的中點為，連接．因為是的中點，是的中點，所以，且．因為，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以平面．（3），則，從而，所以．設平面的法向量為，則?。字矫娴囊粋€法向量為．由題意知，化簡整理得，解得或（舍去）．19．【答案】（1）（2）直線與該圓相切（3）【詳解】（1）由題意可知橢圓的半焦距.由離心率為，可得，解得.所以，所以橢圓的標準方程為；（2）

由題意得．設