/湖南省湘一名校聯(lián)盟2026屆高三上學(xué)期12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．在中，，則最大的內(nèi)角為（

）A． B． C． D．3．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．在平面直角坐標(biāo)系中，是不同于原點的兩個點，點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．5．若為偶函數(shù)，則（

）A． B． C．0或 D．6．在長方體中，分別是棱的中點，點滿足，若過點的平面截長方體所得的截面為五邊形，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知，則（

）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點（在第一象限），線段的中點分別為，若，則的斜率為（

）A． B．-1 C． D．二、多選題9．設(shè)，則（

）A．B．C．D．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．兩個函數(shù)的圖象在處的切線互相平行B．存在實數(shù)，使得C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．的圖象可由的圖象繞某個點旋轉(zhuǎn)得到11．已知雙曲線的左?右焦點分別為，且到的漸近線的距離為2.過點且不與軸重合的直線與的左?右兩支分別交于點和點的中點為，坐標(biāo)原點為，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，則D．若，則的面積為三、填空題12．已知復(fù)數(shù)，且，則..13．已知正數(shù)滿足，則.14．已知集合，甲?乙兩人分別從的所有子集中隨機抽取一個集合，兩人的抽取結(jié)果相互獨立，設(shè)為兩人取到的集合中相同元素的個數(shù)，則的數(shù)學(xué)期望.四、解答題15．記數(shù)列的前項和為，已知.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.16．某經(jīng)濟研究所為了解居民存款余額變化情況，對2009年至2024年居民存款余額進行統(tǒng)計分析，將2009年看成第1年，依次類推，得到第1~16年的居民存款余額（單位：萬億元）的散點圖，如圖所示：（1）已知從2021年開始，居民存款余額超過100萬億元，若從2009年至2024年中任取2年，求這2年中恰有一年居民存款余額超過100萬億元的概率；（2）由散點圖知，和的關(guān)系可用經(jīng)驗回歸模型進行擬合，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程.參考數(shù)據(jù)：設(shè)，則.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.17．如圖，在正四棱錐中，點在棱上，點在棱上，且.（1）證明：平面；（2）若分別為所在棱的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知函數(shù).（1）若，求的最大值；（2）證明存在唯一的極大值點，且；（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.19．已知橢圓的左?右焦點分別為，上頂點和右頂點分別為，.（1）求的方程.（2）已知過點的直線與交于兩點，過點且與垂直的直線與交于兩點，在軸的上方，分別為的中點，直線與交于點.（i）求證：直線過定點；（ii）求面積的最小值.

參考答案1．【答案】A【詳解】由.故選A2．【答案】C【詳解】因為三條邊中最大，所以最大的內(nèi)角為，由余弦定理得，由，所以.故選C3．【答案】B【詳解】設(shè)公差為，則，解得.故選B4．【答案】D【詳解】如圖，由題意知，因為，所以.故選D5．【答案】A【詳解】若為偶函數(shù)，又，則或，解得或，若，則，若，則，所以.故選A6．【答案】B【詳解】如圖所示，要使點所在的截面為五邊形，則截面與棱相交，因為是的中點，所以，因為，，所以，所以，在長方體中，，所以，所以，同理可得，即，因為，所以，即，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選B.7．【答案】B【詳解】由題意得，即，即，得，又因為，所以，因此.故選B.8．【答案】D【詳解】易知，設(shè)直線，，，由，得.則.從而，所以.由，得，即.而，代入可得（正根舍去），由，解得，從而的斜率為.故選D.9．【答案】BD【詳解】對于A，令，則，故A錯誤；對于B，由的系數(shù)為，故B正確；對于C，令，則①，令，則②，①+②可得，，故C錯誤；對于D，對原方程兩邊求導(dǎo)，有，令，得，故D正確.故選BD10．【答案】ACD【詳解】對于A，求的導(dǎo)數(shù)得，故；求的導(dǎo)數(shù)得，故.兩函數(shù)的圖象在處切線斜率相等，且、，切線不重合，故切線互相平行，A正確.對于B，：當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取最小值.：當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取最大值.因，故的值始終大于的值，不存在實數(shù)使，B錯誤.對于C，設(shè)，.當(dāng)時，，故分子，即，故在上單調(diào)遞增，C正確.對于D，若函數(shù)與關(guān)于點中心對稱，則對任意，有.，對應(yīng)得，；，，故與的圖象關(guān)于點對稱.而關(guān)于點對稱的圖形繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)后會與另一圖形重合，因此的圖象可由的圖象繞點旋轉(zhuǎn)得到，D正確.故選ACD11．【答案】ABC【詳解】對于A，由雙曲線的焦點到漸近線的距離為，可知，故A正確；對于B，如圖（1），取的中點，連接，可知，由三角形的三邊關(guān)系，得，因此，故B正確；對于C，如圖（2），可知是的中位線，因此，又，因此，故C正確；對于D，易知的半焦距，如圖（3），設(shè)，因為點在左支上，所以；因為點在右支上，所以.所以.因此，連接，可知.在中，有，解得.因此，從而的面積為，故D錯誤.故選ABC.

12．【答案】2【詳解】由，得，所以，又，故.13．【答案】16【詳解】因為，所以.14．【答案】【詳解】方法一：的所有可能取值為，設(shè)甲?乙兩人抽取的子集分別為，因為的子集一共有個，故所有的抽取結(jié)果有種，要得到，先從5個元素中選個公共元素，有種方式，對于剩余的個元素，每個元素有3種狀態(tài)：（1）僅在中；（2）僅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有種方式，所以，的分布列為：012345所以.方法二：設(shè)甲?乙兩人抽取的子集分別為.對于中的每個元素，定義，則，所以，對每個有一半子集中含有，另一半子集不含，即，所以，所以，故.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時，，得，當(dāng)時，，得，整理得，所以從開始成公比為3的等比數(shù)列，則.綜上，；（2）由（1）得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，兩式相減，得，所以也滿足該式，故.16．【答案】（1）（2）.【詳解】（1）由題意，16年中有4年居民存款余額超過100萬億元，故所求概率為.（2），由題知，，，，，故.17．【答案】（1）見詳解（2）.【詳解】（1）連接，與交于點，連接，如圖所示，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)可知平面.所以，又，又平面，所以平面，又平面，所以.又，又平面，所以平面.（2）連接.由（1）知平面，所以.因為是的中點，是的中點，所以，所以.又是的中點，所以，從而是正三角形.如圖，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.因為平面，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，因為，所以，令，解得，所以平面的一個法向量為.所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18．【答案】（1）0；（2）見詳解；（3）.【詳解】（1）當(dāng)時，，則.易知在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此的極大值即最大值，為；（2），設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞減，又，時，，因此，使得，即，即，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此存在唯一的極大值點，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，得證.（3），即，因為，所以，當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，所以，令，解得，則在上的單調(diào)性如下，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以在內(nèi)有唯一極大值點，即，從而，當(dāng)時，不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，令，解得，則在上的單調(diào)性如下，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有唯一極小值點，則，從而，綜上，的取值范圍是.19．【答案】（1）；（2）（i）見詳解；（ii）.【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，由題