/江蘇省基地學(xué)校2026屆高三上學(xué)期第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．某公司生產(chǎn)的糖果每包的標識質(zhì)量是500克，但公司承認實際質(zhì)量存在誤差.已知每包糖果的實際質(zhì)量服從正態(tài)分布，且任意一包的糖果質(zhì)量介于495克到505克之間的可能性為，則隨意買一包該公司生產(chǎn)的糖果，其質(zhì)量超過495克的可能性約為（

）A． B． C． D．4．若某社交APP的用戶數(shù)每月增長，則用戶數(shù)從100萬戶增加到1000萬戶需要的時間約為（

）A．15月 B．25月 C．35月 D．45月5．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值是（

）A． B． C． D．36．已知圓心在軸上移動的圓經(jīng)點，且軸交于另一點，與軸交于點，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．7．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．68．已知和都是定義在上的奇函數(shù)，設(shè)則（

）A．不可能是增函數(shù) B．不可能是偶函數(shù)C． D．二、多選題9．在正三棱柱中，為AB的中點，則下列結(jié)論一定成立的有（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面10．已知函數(shù)，則（

）A．曲線關(guān)于直線對稱 B．的極大值為C．存在， D．有最小值，無最大值11．已知數(shù)列滿足，則（

）A．任意 B．存在C． D．三、填空題12．已知向量，若與的夾角的余弦值為，則.13．已知四面體的頂點都在同一球面上，若該球的表面積為是邊長為3的正三角形，則四面體的體積的最大值為.14．袋中有7個小球，其中2個白球，2個紅球和3個黃球.每次不放回從袋中隨機取出一個球，當(dāng)三種顏色的球都取到時停止，則停止摸球時共取出5個球的概率為.四、解答題15．已知向量，設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若，求的最值和單調(diào)區(qū)間.16．已知數(shù)列的首項，且滿足.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）記[x]表示不超過的最大整數(shù)，分別為和的前項和，求.17．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為，上頂點為是上異于頂點的兩點.（1）求的方程；（2）若在第一象限，的面積是面積的2倍，求的坐標；（3）若直線的斜率是直線的斜率的3倍，證明：直線經(jīng)過定點.18．如圖幾何體中，四邊形ABCD和AEFD都是梯形，.（1）證明：B，E，F(xiàn)，C四點共面；（2）若，求該幾何體的體積；（3）求平面BDE與平面BEFC的夾角的余弦值的最大值.19．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)，證明：對任意，都有；（3）若數(shù)列滿足，證明：.

參考答案1．【答案】A【詳解】由題意知，.故選A2．【答案】D【詳解】因為是增函數(shù)，且，所以滿足的最小整數(shù)為3，所以.故選D.3．【答案】D【詳解】由概率之和為1及對稱性求解，得.故選D.4．【答案】B【詳解】設(shè)用戶數(shù)從100萬戶增加到1000萬戶需要的時間為月，則，即，兩邊取常用對數(shù)得，所以.故選B.5．【答案】A【詳解】因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因為時，，所以，所以的最大值是.故選A.6．【答案】C【詳解】由題意可知：為圓的直徑，所以圓心坐標為，半徑為，因為點在圓上，所以，整理得.故選C.7．【答案】B【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的函數(shù)，因為曲線關(guān)于直線對稱，所以，，解得：，，因為，令，得，所以的最小值是.故選B.8．【答案】D【詳解】設(shè)，則，是增函數(shù)，且，故A，C錯誤；設(shè)，則，此時為偶函數(shù)，故B錯誤；對于D，對任意，若，則，即，由題意可知,所以，，所以，所以；若上式也成立，故D正確.故選D.9．【答案】BC【詳解】對于A，取中點，連接DE交于點，連結(jié)，若平面，因為平面平面，平面，故，由正三棱柱可得，故四邊形為平行四邊形，故，但，矛盾故A錯誤；對于B，如圖，由矩形可得，由正三棱柱可得，，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，同理平面，而平面，所以平面平面，而平面，所以平面，故B正確；對于C，由正三棱柱可得平面，而平面，所以，因為是正的中線，所以，而平面，故平面，故C正確；對于D，若平面，因平面，故，故矩形為正方形，由條件可知該結(jié)論不一定成立.故選BC.10．【答案】ABD【詳解】對于A選項，函數(shù)的定義域為，，所以曲線關(guān)于直線對稱，A對；對于B選項，因為，則，由可得或，由可得或，所以函數(shù)的減區(qū)間為、，增區(qū)間為、，所以函數(shù)的極大值為，B對；對于C選項，當(dāng)時，，因為在上是減函數(shù)，所以，C錯；對于D選項，令，則，設(shè)，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)在上只有最小值，無最大值，故函數(shù)有最小值，無最大值，D對.故選ABD.11．【答案】ACD【詳解】對于A，因為，所以；因為，所以與同號，因為，所以，即，故A正確；對于B，因為，，所以，即，所以有，故B錯誤；對于C，因為，兩邊取倒數(shù)得：1，所以（※），，由B知當(dāng)時，，則當(dāng)時，有，所以當(dāng)時，，即，因為，，所以當(dāng)時，不等式恒成立，所以當(dāng)時，。經(jīng)驗證，時不等式也成立，故C正確；對于D，由（※）式得，，所以，因為，所以，故D正確，故選ACD.12．【答案】【詳解】設(shè)與的夾角為，由夾角公式得，解得.13．【答案】【詳解】設(shè)球心為，因為球的表面積為，所以球的半徑.因為是邊長為3的正三角形，所以的外接圓半徑為，所以到平面的距離，所以到平面的距離的最大值為，所以四面體的體積的最大值為：.14．【答案】【詳解】根據(jù)題意可知，停止摸球時共取出5個球的所有可能的情況為：前4次摸出的球僅有白球和紅球，第5次摸出1個黃球：此時概率為，前4次摸出的球僅有白球和黃球，第5次摸出1個紅球：此時概率為，前4次摸出的球僅有黃球和紅球，第5次摸出1個白球：此時概率為，故停止摸球時共取出5個球的概率為.15．【答案】（1）（2）的最小值為，最大值為的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【詳解】（1）

，

故的最小正周期為.（2）因為，所以，所以當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為；當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為.令，即時，故在遞增；令，即時，故在遞減.綜上，的最小值為，最大值為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.16．【答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）證明：因為，顯然，所以，所以，即，又，所以是以2為首項1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，，所以，所以，所以因為，所以，所以.17．【答案】（1）（2）（3）見詳解【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，所以的方程為.（2）設(shè)，則，①因為的面積是的面積的2倍，所以，即，②聯(lián)立①②，解得，所以.（3）顯然直線PQ與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立消去得，設(shè)，則，由題意，即.即.則則，即直線PQ過定點.18．【答案】（1）見詳解（2）（3）【詳解】（1）取CD中點M，DF中點，連接BM，MN，EN，則，因為，所以四邊形AEND是平行四邊形，所以，因為，所以四邊形ABMD是平行四邊形，所以，所以，所以四邊形BENM是平行四邊形，所以，所以，所以B，E，F(xiàn)，C四點共面.（2）法1：連接AF，BF，在平面ADF中，作，垂足為，因為平面，所以平面AEFD，即AB是三棱錐的高.因為平面AEFD，所以，因為，所以，因為平面，所以平面ABCD，即FG是四棱錐的高，且.梯形AEFD的高為，所以，因為，所以該幾何體的體積.

法2：延長FE，DA交于點，因為平面平面ABCD，所以是平面BEFC和平面ABCD的公共點，因為平面平面，所以，所以所求幾何體的體積等于三棱錐與三棱錐的體積之差.同法1可證AB是三棱錐的高，CD是三棱錐的高，因為，所以為PD的中點，即，因為，所以，所以該幾何體的體積.（3）在平面AEFD中，過點作，交EF于點，由（2）知平面ABCD，以為原點，為基底，如圖建立直角坐標系，則，設(shè)，則，所以.設(shè)平面BDE的一個法向量，則所以，令，則，所以平面BDE的一個法向量為，設(shè)平面BEFC的一個法向量，則，所以，令，則，所以平面BEFC的一個法向量.設(shè)平面BDE與平面BEFC的夾角為，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以平面BDE與平面BEFC的夾角的余弦值的最大值為.19．【答案】（1）（2）見詳解（3）見詳解【詳解】（1）因為，所以，所以曲線在處的切線方程為.（2）因為，所以時，遞減；時，遞增；因為，所以，或，若，由在上遞增得；