專(zhuān)題03導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、單調(diào)性與及其綜合應(yīng)用

目錄

第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿

第二部分題型歸納梳理題型，突破重難

題型01利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性

題型02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值

題型03利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值

題型04利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

題型05導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分

A組·基礎(chǔ)保分練

B組·重難提升練

1.已知函數(shù)yfx與它的導(dǎo)函數(shù)yfx的定義域均為R.若函數(shù)yfx是偶函數(shù)且yfx在

,0上是嚴(yán)格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為yfx取值的是（）

．

A44.1116

B．

xfx

C．

xfx

12.8188

xfxD．

10.7580

21.0000

12.4132xfx

21.0000

30.3644

21.000010.8664

31.3188

40.2468

31.588521.0000

41.7979

31.1188

41.2240

2.據(jù)環(huán)保部門(mén)測(cè)定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，

比例常數(shù)為kk0.現(xiàn)已知相距18km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為a，b，它們連線

段上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和.設(shè)ACxkm0x18.若a1，且

x6時(shí)，y取得最小值，則b的值為.

3．中國(guó)古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形．如圖，將一根截面為圓形的

木材加工制成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為x，與承載重力的方向平行的高度為y，

1

記矩形截面抵抗矩Wxy2．根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則寬x與高y的最

6

佳之比應(yīng)為．

4．正方形區(qū)域由9塊單位正方形區(qū)域拼成，記正中間的單位正方形區(qū)域?yàn)镈．對(duì)于邊界上

的一點(diǎn)P，若點(diǎn)Q在中且線段PQ與D有公共點(diǎn)，則稱(chēng)Q是P的“盲點(diǎn)”，將P的所有“盲點(diǎn)”組成的區(qū)域

P稱(chēng)為P所對(duì)的“盲區(qū)”．對(duì)于邊界上的一點(diǎn)M，若在邊界上含M在內(nèi)一共有k個(gè)點(diǎn)所對(duì)的“盲區(qū)”面

積與M相同，就稱(chēng)M是“k級(jí)點(diǎn)”；若在邊界上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)所對(duì)的“盲區(qū)”面積與M相同，就稱(chēng)M是一個(gè)

“極點(diǎn)”．對(duì)于命題：①邊界正方形的頂點(diǎn)是“4級(jí)點(diǎn)”；②邊界上存在“極點(diǎn)”．說(shuō)法正確的是（）

A．①和②都是真命題B．①是真命題，②是假命題

C．①是假命題，②是真命題D．①和②都是假命題

5．給出定義：設(shè)fx是函數(shù)yfx的導(dǎo)函數(shù)，fx是函數(shù)yfx的導(dǎo)函數(shù)，若方程

fx0有實(shí)數(shù)解xx0，則稱(chēng)x0,fx0為函數(shù)yfx的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)

fxax3bx2cxda0都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)yfx的圖象的對(duì)稱(chēng)中心．若函數(shù)

3212340424043

fxx3x，則fffff的和為（）

20222022202220222022

A．8088B．8086C．8084D．8080

01利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性

1．函數(shù)yxlnx的單調(diào)減區(qū)間為．

1

2．若fxx3x2axb在1,上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．

3

a

3．已知a為常數(shù)，函數(shù)fxx2x0．

x

(1)根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)yfx的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)若a1,3，判斷函數(shù)yfx在0,上的單調(diào)性，并求它的單調(diào)區(qū)間．

4．設(shè)f(x)exx.

(1)求函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).

2

(2)若函數(shù)g(x)f(2xa)滿(mǎn)足g(0)2，求a的值.

e2

(3)求函數(shù)h(x)xf(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

5．已知kR，函數(shù)fxkxsinx．

1ππ

(1)若k，求曲線yfx在點(diǎn),f處的切線方程；

222

(2)若函數(shù)yfx在區(qū)間π,π上是嚴(yán)格減函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的最大值：

fx,xx,

nnn1

(3)設(shè)k1，數(shù)列xn滿(mǎn)足：x11，x26，且當(dāng)n2時(shí)，xn1若xnm對(duì)一切正

fxn,xnxn1

22

整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值

2x2

1．函數(shù)fx的極大值為.

ex

2．已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)fx的圖象如圖所示，則函數(shù)fx的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)

3．已知fxsinx0，且函數(shù)yfx恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在0,，則的取值范圍是（）

63

A．7,13B．7,13C．7,10D．7,10

4．已知函數(shù)f(x)exax2在R上無(wú)極值，則a的取值范圍是.

x2ax,x1

5．已知f(x)，若函數(shù)yf(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

ax1,x1

03利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值

ex,x0

．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

1fx3R

x3xa,x0

2．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為33，則當(dāng)該正四棱錐的體積最大時(shí)，它的高等于.

3．已知函數(shù)fxlnxax2在區(qū)間1,2上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

4．已知實(shí)數(shù)a(0,6)，記f(x)x(xa)．若函數(shù)yf(x)在區(qū)間0,2上的最小值為2，則a的值

為．

x2fxfx0xx0

5.設(shè)函數(shù)fxae2x，若對(duì)任意x00,1，皆有l(wèi)im0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范

xx

0xx0

圍是.

04利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

1．某分公司經(jīng)銷(xiāo)一產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向總公司交2元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品

的售價(jià)為x元（8x11）時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為（12x）2萬(wàn)件，則每件產(chǎn)品售價(jià)為元時(shí)，該分公司一

年的利潤(rùn)達(dá)到最大值.（結(jié)果精確到1元）

2．如圖，某水庫(kù)有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點(diǎn)A滿(mǎn)足

ACMN，且AC長(zhǎng)度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點(diǎn)A到小島修建三段棧道AB、BD與BE，

在半圓小島上再修建棧道ME、DN以及MN，水面上的點(diǎn)B在線段AC上，且BD、BE均與圓C相切，切

點(diǎn)分別為D、E，其中棧道AB、BD、BE和小島在同一個(gè)平面上.設(shè)CBE，則需要修建的棧道總長(zhǎng)度

的最小值為百米.

3．如圖，是款電動(dòng)自行車(chē)用“遮陽(yáng)神器”的結(jié)構(gòu)示意圖，它由三叉形的支架OABC和覆蓋在支架上的遮陽(yáng)

布ABC組成.

已知OA1.4m，OBOC0.6m，且AOBAOC；為保障行車(chē)安全，要求遮陽(yáng)布的最寬處BC1m；

若希望遮陽(yáng)效果最好（即ABC的面積最大），則BOC的大小約為.（結(jié)果四舍五入精確到1）

4．如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地ABCD，AB300m，AD180m，現(xiàn)規(guī)劃在邊AB，CD，DA上分別

取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且滿(mǎn)足AEEF，F(xiàn)GGA，在△EAG內(nèi)建造噴泉瀑布，在EFG內(nèi)種植花奔，其余區(qū)域

鋪設(shè)草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），則當(dāng)sinAEG時(shí)，棧道EG最短.

05導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

1312

1．已知a2b0，且關(guān)于x的函數(shù)fxxaxabx．

32

1

(1)已知函數(shù)gxfxx3，且滿(mǎn)足g2xgx，解不等式gx0；

3

(2)若ab，b為單位向量，討論函數(shù)的單調(diào)性；

1312

(3)若函數(shù)fxxaxabx在R上有極值，求a與b夾角的取值范圍．

32

2．若函數(shù)fx和gx的圖象均連續(xù)不斷，fx和gx均在任意的區(qū)間上不恒為0，fx的定義域?yàn)?/p>

I1,gx的定義域?yàn)镮2，存在非空區(qū)間AI1I2，滿(mǎn)足：對(duì)任意的xA，均有fxgx0，則稱(chēng)區(qū)間

A為fx和gx的“區(qū)間”．

(1)寫(xiě)出fxsinx和gxcosx在0,π上的一個(gè)“區(qū)間”（無(wú)需證明）；

(2)若fxx3,1,1是fx和gx的“區(qū)間”，證明：gx不是偶函數(shù)；

πl(wèi)nx

若fx1xsin2x,x(0,1]，(0,1]是fx和gx的區(qū)間，證明：gx在區(qū)間(0,1]上存在零

(3)x“”

ee

點(diǎn)．

3．進(jìn)入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為p0p1，且每人是否感染這種病毒相互獨(dú)立．

(1)記100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是fp，求fp的最大值點(diǎn)p0；

(2)為確保校園安全，某校組織該校的6000名師生做病毒檢測(cè)，如果對(duì)每一名師生逐一檢測(cè)，就需要檢測(cè)

6000次，但實(shí)際上在檢測(cè)時(shí)都是按k(1k6)人一組分組，然后將各組k個(gè)人的檢測(cè)樣本混合再檢測(cè)．如

果混合樣本呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性；如果混合樣本呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人檢測(cè)呈陽(yáng)性，就

需要對(duì)該組每個(gè)人再逐一檢測(cè)一次．當(dāng)p取p0時(shí)，求k的值，使得總檢測(cè)次數(shù)的期望最少．

4．某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研發(fā)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單

位：百件）和年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響，現(xiàn)對(duì)近6年的年研發(fā)費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi（i1，2，…，6）

數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

62626266

xyμxixyiyixixyiyiyiy

i1i1i1i1i1

12.52223.5157.5168004.51254270

16

表中ilnxi，i.

6i1

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷yabx與ycdlnx哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型；（給出判斷即可，

不必說(shuō)明理由）

(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z0.5yx，根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)w1,v1，w2,v2，…，wn,vn，其回歸直線vw的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)

n

wiwviv

分別為i1，.

n2vw

wiw

i1

1．若xe是函數(shù)yxalnx的駐點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為.

2．函數(shù)yexcosx在0,π上的極大值點(diǎn)為.

fx

3．函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為fx，則0的解集為.

f(x)

1

4．若函數(shù)fxlnxax22x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

2

5．若函數(shù)fxexax在區(qū)間0,1上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6．函數(shù)ysin2x2sinx的最大值為．

7．設(shè)函數(shù)yfx的定義域是R，它的導(dǎo)數(shù)是fx．若存在常數(shù)m(mR)，使得fxmfx對(duì)一切

x恒成立，那么稱(chēng)函數(shù)yfx具有性質(zhì)Pm．

(1)求證：函數(shù)yex不具有性質(zhì)Pm；

(2)判別函數(shù)ysinx是否具有性質(zhì)Pm．若具有求出m的取值集合；若不具有請(qǐng)說(shuō)明理由．

8．設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,x0x00是f(x)的極大值點(diǎn)，則（）

A．x0是f(x)的極小值點(diǎn)B．x0是f(x)的極大值點(diǎn)

C．x0是f(x)的極小值點(diǎn)D．x0是fx的極大值點(diǎn)

1

9．已知函數(shù)yx3x23xa，aR，在區(qū)間(t3,t5)上有最大值，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）

3

A．6t0B．6t0

C．6t2D．6t2

1

10．定義在R上的奇函數(shù)fx，滿(mǎn)足fxfx0，f21，則不等式fx1的解集

ex1

為．

11．已知x0是函數(shù)fxx2xa的極大值點(diǎn)，那么a的取值范圍是.

23

12．函數(shù)fxklnxx3x在區(qū)間0,上存在極值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

2

13．已知函數(shù)fxmx32nx212x的單調(diào)減區(qū)間是2,2，過(guò)點(diǎn)A1,t存在與曲線yfx相切的3條

切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

14．已知函數(shù)fxx33xa，若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)m,n,p，使得fmfnfp2024，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

x1

15．已知k為常數(shù)，若關(guān)于x的不等式(xk)2ek對(duì)任意的x(0,)都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍

e

為.

16．如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段CE,DF與分別以O(shè)C,OD為直徑的半圓

弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)C,D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段AB,CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F在以AB為

直徑的半圓弧上，且OCE,ODF均為直角.若AB1百米，則此步道的最大長(zhǎng)度為百米.

πB

17．已知ABC中，sinπA3sinCsin，且AB2，則ABC面積的最大值為.

22

3x2,x0

．已知函數(shù)，若（），則的最大值為

18fx2xfx1fx2x1x2x1x2.

e,x0

19．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，且容器底面的長(zhǎng)邊比短邊長(zhǎng)0.5m（不計(jì)損耗）．若

要使該容器的容積最大，則容器的高為m．

20．已知aR，函數(shù)f(x)exax，g(x)axlnx．

(1)當(dāng)ae時(shí)，若斜率為0的直線l是g(x)的一條切線，求切點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若f(x)與g(x)有相同的最小值，求實(shí)數(shù)a．

21．已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc過(guò)點(diǎn)P(1,2)，函數(shù)在點(diǎn)P處的切線斜率為4，且x=1為函數(shù)的一個(gè)駐

點(diǎn).

(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；

(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)g(x)f(x)m1有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

22．已知函數(shù)yfx是定義在0,上的函數(shù)，若fx滿(mǎn)足對(duì)任意的x0,y0，有

fxfyfx