專題03導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、單調(diào)性與及其綜合應(yīng)用

目錄

第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿

第二部分題型歸納梳理題型，突破重難

題型01利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性

題型02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值

題型03利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值

題型04利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題

題型05導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準(zhǔn)提分

A組·基礎(chǔ)保分練

B組·重難提升練

1.已知函數(shù)yfx與它的導(dǎo)函數(shù)yfx的定義域均為R.若函數(shù)yfx是偶函數(shù)且yfx在

,0上是嚴(yán)格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為yfx取值的是（）

．

A44.1116

B．

xfx

C．

xfx

12.8188

xfxD．

10.7580

21.0000

12.4132xfx

21.0000

30.3644

21.000010.8664

31.3188

40.2468

31.588521.0000

41.7979

31.1188

41.2240

【答案】B

【解析】函數(shù)yfx是偶函數(shù)，則fxfx，兩邊求導(dǎo)得：fxfx，

所以可知導(dǎo)函數(shù)yfx是奇函數(shù)，

由于函數(shù)yfx與它的導(dǎo)函數(shù)yfx的定義域均為R，

所以yf00，又因?yàn)閥fx在,0上是嚴(yán)格增函數(shù)，

所以yfx在0,上是嚴(yán)格增函數(shù)，

由于yfx是可導(dǎo)函數(shù)，所以它的圖象是連續(xù)曲線，示意圖如下：

則yfx在0,上恒為正數(shù)且遞增，

即yfx在0,上單調(diào)遞增，且變化率越來越大，

故AC顯然錯(cuò)誤，而D的變化率越來越小，所以只能選B，

故選：B.

2.據(jù)環(huán)保部門測(cè)定，某處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源距離的平方成反比，

比例常數(shù)為kk0.現(xiàn)已知相距18km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為a，b，它們連線

段上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和.設(shè)ACxkm0x18.若a1，且

x6時(shí)，y取得最小值，則b的值為.

【答案】8

kakb

【解析】依題意點(diǎn)C受A污染源污染程度為0x18，點(diǎn)C受B污染源污染程度為2，其中k為

x218x

比例常數(shù)，且k0，

kakb

從而點(diǎn)C處受污染程度y22，0x18；

x18x

kkb

22b

因?yàn)?，所以y22，則yk，

a1x33

18xx18x

22b

當(dāng)x6時(shí)，y取得最小值，必是極小值，所以yk0，

x633

6186

解得b8，

33

18x2x

此時(shí)y2k3

x318x

22

183x18x2x18x2x

，x0,18，

2k3

x318x

當(dāng)0x6時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)6x18時(shí)，y0，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以在x6時(shí)，y取得極小值，也是x0,18的最小值，

所以污染源B的污染強(qiáng)度b的值為8．

故答案為：8

3．中國(guó)古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形．如圖，將一根截面為圓形的

木材加工制成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為x，與承載重力的方向平行的高度為y，

1

記矩形截面抵抗矩Wxy2．根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則寬x與高y的最

6

佳之比應(yīng)為．

21

【答案】/2

22

【解析】設(shè)圓的直徑為d，則x2y2d2，即y2d2x2，

111

由題意可得：Wxd2x2x3d2x,0xd，則W3x2d20，

666

33

令W0時(shí)，解得0xd；令W0時(shí)，解得dxd；

33

333

可知W在0,d單調(diào)遞增，在d,d單調(diào)遞減，則xd時(shí)，W取最大值．

333

3

d

16x2

此時(shí)yd2d2d．所以3.

33y6d2

3

2

故答案為：.

2

4．正方形區(qū)域由9塊單位正方形區(qū)域拼成，記正中間的單位正方形區(qū)域?yàn)镈．對(duì)于邊界上

的一點(diǎn)P，若點(diǎn)Q在中且線段PQ與D有公共點(diǎn)，則稱Q是P的“盲點(diǎn)”，將P的所有“盲點(diǎn)”組成的區(qū)域

P稱為P所對(duì)的“盲區(qū)”．對(duì)于邊界上的一點(diǎn)M，若在邊界上含M在內(nèi)一共有k個(gè)點(diǎn)所對(duì)的“盲區(qū)”面

積與M相同，就稱M是“k級(jí)點(diǎn)”；若在邊界上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)所對(duì)的“盲區(qū)”面積與M相同，就稱M是一個(gè)

“極點(diǎn)”．對(duì)于命題：①邊界正方形的頂點(diǎn)是“4級(jí)點(diǎn)”；②邊界上存在“極點(diǎn)”．說法正確的是（）

A．①和②都是真命題B．①是真命題，②是假命題

C．①是假命題，②是真命題D．①和②都是假命題

【答案】D

【解析】解：設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，

11

當(dāng)點(diǎn)M為區(qū)域的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)Ω43.5，

M44

當(dāng)點(diǎn)N為一個(gè)小正方形的一頂點(diǎn)時(shí)，如圖所示，此時(shí)ΩN3.5，

可得ΩMΩN，所以邊界正方形的頂點(diǎn)不是“4級(jí)點(diǎn)“，所以①是假命題；

不妨設(shè)M為正方形一個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)正方形對(duì)稱性不妨設(shè)T為過M的邊上一點(diǎn)，

3x23x4

設(shè)MTx，其中x[0,]，可得Ω4，

2T4(2x)

x23x4x24x2

設(shè)fx4，可得fx，

4(2x)4(x2)2

令fx0，可得x22，

3

當(dāng)0x22或22x時(shí)，fx0；當(dāng)22x22時(shí)，fx0，

2

3

所以函數(shù)fx在[0,22)，22,上單調(diào)遞增，在(22,22)單調(diào)遞減，

2

故不可能有x的無數(shù)個(gè)值使得fx相等，

所以在邊界上不存在有無數(shù)個(gè)點(diǎn)所對(duì)的“盲區(qū)”面積與T相同，所以②是假命題．

故選：D.

5．給出定義：設(shè)fx是函數(shù)yfx的導(dǎo)函數(shù)，fx是函數(shù)yfx的導(dǎo)函數(shù)，若方程

fx0有實(shí)數(shù)解xx0，則稱x0,fx0為函數(shù)yfx的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)

fxax3bx2cxda0都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)yfx的圖象的對(duì)稱中心．若函數(shù)

3212340424043

fxx3x，則fffff的和為（）

20222022202220222022

A．8088B．8086C．8084D．8080

【答案】B

【解析】由題意可得fx3x26x，fx6x6，

令fx6x60解得x1，

又f1132，

所以yfx的圖象的對(duì)稱中心為1,2，即f1xf1x4，

12340424043

所以fffff

20222022202220222022

1404324042202120232022

ffff...fff

2022202220222022202220222022

4202128086，

故選：B

01利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性

1．函數(shù)yxlnx的單調(diào)減區(qū)間為．

1

【答案】0,

e

【解析】函數(shù)yxlnx的定義域?yàn)?,，

11

又ylnxxlnx1，令y0，則lnx10，解得0x，

xe

1

所以函數(shù)yxlnx的單調(diào)減區(qū)間為0,.

e

1

故答案為：0,.

e

1

2．若fxx3x2axb在1,上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．

3

【答案】,3

1

【解析】∵f(x)x3x2axb，∴f(x)x22xa，

3

1

∵函數(shù)f(x)x3x2ax在區(qū)間1,上單調(diào)遞增，

3

∴f(x)x22xa0在區(qū)間1,上恒成立，

由于f(x)x22xa在區(qū)間1,上單調(diào)遞增，

∴必須且只需f(1)3a0

解得a3，

故答案為：,3.

a

3．已知a為常數(shù)，函數(shù)fxx2x0．

x

(1)根據(jù)a的不同取值，討論函數(shù)yfx的奇偶性，并說明理由；

(2)若a1,3，判斷函數(shù)yfx在0,上的單調(diào)性，并求它的單調(diào)區(qū)間．

【答案】(1)分類討論，答案見解析，理由見解析；

aa

(2)函數(shù)yfx在3,上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在0,3上嚴(yán)格單調(diào)遞減．

22

a

【解析】（1）記fxx2，定義域?yàn)镈,00,，

x

①當(dāng)a0時(shí)，fxx2x0，

2

因?yàn)閒xxx2fx，故函數(shù)yfx為偶函數(shù)，

a

②當(dāng)a0時(shí)，fxx2，

x

取x1，因?yàn)閒1f120且f1f12a0，

即f1f1且f1f1，所以函數(shù)yfx既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

a2x3a

（2）fx2x，

x2x2

2x3aa

因?yàn)閍1,3，所以當(dāng)fx0時(shí)，x3，

x22

a

當(dāng)fx0時(shí)，0x3，

2

aa

33

所以函數(shù)yfx在,上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在0,上嚴(yán)格單調(diào)遞減．

22

4．設(shè)f(x)exx.

(1)求函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).

2

(2)若函數(shù)g(x)f(2xa)滿足g(0)2，求a的值.

e2

(3)求函數(shù)h(x)xf(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(1)0

(2)2

(3)在(,0)和(ln2,)上嚴(yán)格增，在(0,ln2)上嚴(yán)格減

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)exx，所以f(x)ex1，

令f(x)ex10，解得：x0，列表如下：

x(,0)0(0,)

f(x)0

f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以極小值點(diǎn)為0.

（2）因?yàn)間(x)f(2xa)e2xa2xa，

2

所以gx2e2xa2，又因?yàn)間02ea22，

e2

所以a2.

（3）由（1）可知：h(x)xf(x)f(x)xexx2ex1，

所以h(x)xex2x，令h(x)xex2x0，解得：x0或xln2，列表如下：

x(,0)0(0,ln2)ln2(ln2,)

h(x)00

h(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(,0)和(ln2,)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,ln2)上單調(diào)遞減.

5．已知kR，函數(shù)fxkxsinx．

1ππ

(1)若k，求曲線yfx在點(diǎn),f處的切線方程；

222

(2)若函數(shù)yfx在區(qū)間π,π上是嚴(yán)格減函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的最大值：

fx,xx,

nnn1

(3)設(shè)k1，數(shù)列xn滿足：x11，x26，且當(dāng)n2時(shí)，xn1若xnm對(duì)一切正

fxn,xnxn1

22

整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

1

【答案】(1)yx1

2

(2)實(shí)數(shù)k的最大值1

(3)m3π

11

【解析】（1）當(dāng)k時(shí)，fxxsinx，

22

π1πππ

fsin1，

22224

1

fxcosx，

2

π1π1

fcos=，

2222

ππ1ππ1

曲線yfx在點(diǎn),f處的切線方程yx1,即yx1

222242

（2）若函數(shù)yfx在區(qū)間π,π上是嚴(yán)格減函數(shù)，

fxkcosx0在區(qū)間π,π恒成立，

由于cosx在區(qū)間π,π最大值為1，所以k10，即實(shí)數(shù)k的最大值1

（3）當(dāng)x11，x26，

x3f（6）6sin6x2，

π

由0x時(shí)，sinxx,

2

可得x36sin66sin2π662π+6122π，

易得x36sin66，

πππππ

x4fx3x3sinx3x3cosx3，

22222

π

124πx2π62π<0，

23

2

當(dāng)x0時(shí)，x1cosx1（理由如圖所示）

2π

242

所以7124π1cos124πcosx2πcosx1,

ππ33

24

所以52πxcosx73π,

π33

2424

54π543.150，

π3.15

所以x4x3cosx32π,3π，

由f(x)xsinx的導(dǎo)數(shù)為f(x)1cosx0，

可得f(x)在R上遞增，

當(dāng)x(2π,3π)，2πxxsinxf(3π)3π，

可得當(dāng)n4時(shí)，2πxnxn13π，

所以xn2xn1sinxn12π,3π，

所以數(shù)列xnn3單調(diào)遞增，且有上界，故必有極限，

設(shè)極限為a，則aasina，2πa3π，

解得a3π，

可以知道，m3π.

02利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值

2x2

1．函數(shù)fx的極大值為.

ex

8

【答案】/8e2

e2

2x24xex2x2ex2x(2x)

【解析】由fx求導(dǎo)得，fx，

ex(ex)2ex

則當(dāng)x0時(shí)，fx0；0x2時(shí)，fx0；x2時(shí),fx0.

2x2

即函數(shù)fx在(,0)和(2,)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增.

ex

2x28

故函數(shù)fx在x2處取得極大值，為f(x)極大值f(2).

exe2

8

故答案為：.

e2

2．已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)fx的圖象如圖所示，則函數(shù)fx的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè)

【答案】1

【解析】由題圖，x2時(shí)fx0，x2時(shí)fx0，

fx

所以在(,2)上單調(diào)遞增，在(2,)上單調(diào)遞減，故只有一個(gè)極值點(diǎn).

故答案為：1

3．已知fxsinx0，且函數(shù)yfx恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)在0,，則的取值范圍是（）

63

A．7,13B．7,13C．7,10D．7,10

【答案】B

π

【解析】∵0x，0，

3

ππππ

∴x，

6636

π

又∵f(x)在[0,]恰有2個(gè)極大值點(diǎn)，

3

5πππ9π

∴由正弦函數(shù)圖象可知，，解得：713.

2362

故選：B.

4．已知函數(shù)f(x)exax2在R上無極值，則a的取值范圍是.

e

【答案】0,

2

【解析】由題意得，f(x)ex2ax，故f01＞0，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)exax2在R上無極值，

所以f(x)0在R上恒成立，

ex

當(dāng)x＞0時(shí)，a，

2x

ex2xex2exx1ex

設(shè)gx，則gx，

2x4x22x2

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，得gx＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，得gx＞0，

則gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,上單調(diào)遞增，

ee

從而gxg1，故a，

22

ex

當(dāng)x0時(shí)，＜0，則a0.

2x

e

綜上，0a.

2

e

故答案為：0,

2

x2ax,x1

5．已知f(x)，若函數(shù)yf(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

ax1,x1

【答案】0,2

aa

【解析】∵二次函數(shù)gxx2ax開口向下，x是gx極大值，

212

一次函數(shù)hxax1，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)hx是單調(diào)函數(shù)，沒有極值點(diǎn)，

a

要想函數(shù)yf(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則這兩個(gè)極值點(diǎn)為x和x1，

2

a

又∵函數(shù)gx在,1上單調(diào)遞減，∴hx在1,上遞增.

2

a

1

2

∴a0，∴a0,2.

1aa1

故答案為：0,2

03利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值

ex,x0

．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

1fx3R

x3xa,x0

【答案】[1,)

【解析】當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex的值域?yàn)?1,)，

ex,x0

函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

fx3R

x3xa,x0

當(dāng)x0時(shí)，,1是fxx33xa的值域的子集，

又f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，x1或x1(舍去)，

當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)1x0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)2a，

故fxx33xax0的值域?yàn)?2a，

2a1，a1.

故答案為：[1,).

2．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為33，則當(dāng)該正四棱錐的體積最大時(shí)，它的高等于.

【答案】3

【解析】設(shè)正四棱錐ABCDE的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則BDCE2a，

1

設(shè)BDCEO，連接AO，則OECE，AO平面BCDE，

2

因?yàn)镺E平面BCDE，所以AOOE.

2

2

在中，2a2，故22，

RtAOEh33a227h

2

12

所以正四棱錐的體積Va2h27hh3h0，

33

2

令Vh27hh3h0，則Vh29h2，

3

由Vh0得0h3，由Vh0得h3，

所以Vh在0,3上單調(diào)遞增，在3,上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)h3時(shí)正四棱錐的體積取得最大值.

故答案為：3.

3．已知函數(shù)fxlnxax2在區(qū)間1,2上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

1

【答案】,1

2

11ax

【解析】fxlnxax2fxa，

xx

當(dāng)a0時(shí)，fx在0,上嚴(yán)格單調(diào)遞增，不符合題意;

11

當(dāng)a0時(shí)，令fx00x；fx0x.

aa

11

所以fx在0,上嚴(yán)格單調(diào)遞增，在,上嚴(yán)格單調(diào)遞減，

aa

1

所以fx在x處取得極大值.

a

因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間1,2上存在最大值，

11

所以12a,1.

a2

1

故答案為：,1.

2

4．已知實(shí)數(shù)a(0,6)，記f(x)x(xa)．若函數(shù)yf(x)在區(qū)間0,2上的最小值為2，則a的值

為．

【答案】3

3xa

【解析】當(dāng)0a6時(shí)，f(x)x(xa)，f(x)，

2x

11

當(dāng)0xa時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)ax2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，

33

1a2aa

故xa時(shí)，f(x)取得最小值f()2，

3333

解得，a3．

故答案為：3．

x2fxfx0xx0

5.設(shè)函數(shù)fxae2x，若對(duì)任意x00,1，皆有l(wèi)im0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

xx

0xx0

是.

3

【答案】4e4,

fxfxxxfxfxxx

【解析】lim000，即lim000，

xxxx

0xx00xx0

fxfx

即lim010，即fx10對(duì)任意x0,1恒成立，

xx

0xx0

x

fxae4x，即aex4x10對(duì)任意x0,1恒成立，

4x14x1

對(duì)任意恒成立，則a，

axx0,1x

eemax

4x134x34x3

設(shè)hx，則hx，令hx0，解得x，

exexex4

3

當(dāng)x0,時(shí)，hx0，此時(shí)hx單調(diào)遞增，

4

3

當(dāng)x,1時(shí)，hx0，此時(shí)hx單調(diào)遞減，

4

33

3

則hxh4e4，則a4e4,，

max4

3

故答案為：4e4,.

04利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題

1．某分公司經(jīng)銷一產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為5元，且每件產(chǎn)品需向總公司交2元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品

的售價(jià)為x元（8x11）時(shí)，一年的銷售量為（12x）2萬(wàn)件，則每件產(chǎn)品售價(jià)為元時(shí)，該分公司一

年的利潤(rùn)達(dá)到最大值.（結(jié)果精確到1元）

【答案】9

【解析】分公司一年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為

y(x52)(12x)2(x7)(12x)2,x8,11，

所以y(12x)22(x7)(12x)(12x)(263x)，

26

令y0，即(12x)(263x)0，解得x或x12（舍），

3

26226

當(dāng)x8,時(shí)，y0，此時(shí)y(x52)(12x)在8,上單調(diào)遞增，

33

26226

當(dāng)x,11時(shí)，y0，此時(shí)y(x52)(12x)在,11單調(diào)遞減，

33

又因?yàn)榻Y(jié)果精確到1元，且當(dāng)x8時(shí)，y16，且當(dāng)x9時(shí)，y18，

于是：當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為9元時(shí)，該分公司一年的利潤(rùn)最大.

故答案為：9.

2．如圖，某水庫(kù)有一個(gè)半徑為1百米的半圓形小島，其圓心為C且直徑MN平行壩面.壩面上點(diǎn)A滿足

ACMN，且AC長(zhǎng)度為3百米，為便于游客到小島觀光，打算從點(diǎn)A到小島修建三段棧道AB、BD與BE，

在半圓小島上再修建棧道ME、DN以及MN，水面上的點(diǎn)B在線段AC上，且BD、BE均與圓C相切，切

點(diǎn)分別為D、E，其中棧道AB、BD、BE和小島在同一個(gè)平面上.設(shè)CBE，則需要修建的棧道總長(zhǎng)度

的最小值為百米.

2π

【答案】5

3

【解析】連接CD，CE，由半圓半徑為1得：CDCE1.

由對(duì)稱性，可設(shè)CBECBD，又CDBD，CEBE，

CD1CD1

所以BEBD，BC，

tantansinsin

易知MCENCD，所以MEND的長(zhǎng)為.

11

又AC3，故ABACBC3(0,2)，故sin,1，

sin3

1π12π

令sin0且00,，則f52，0,，

36sintan2

cos2cos1

所以f.

sin2

ππ

當(dāng)0時(shí)，f0，函數(shù)f在0,上單調(diào)遞減，

33

ππππ

當(dāng)時(shí)，f0，函數(shù)f在,上單調(diào)遞增，

3232

π2π

所以棧道總長(zhǎng)度最小值ff5.

min33

2π

故答案為：5.

3

3．如圖，是款電動(dòng)自行車用“遮陽(yáng)神器”的結(jié)構(gòu)示意圖，它由三叉形的支架OABC和覆蓋在支架上的遮陽(yáng)

布ABC組成.

已知OA1.4m，OBOC0.6m，且AOBAOC；為保障行車安全，要求遮陽(yáng)布的最寬處BC1m；

若希望遮陽(yáng)效果最好（即ABC的面積最大），則BOC的大小約為.（結(jié)果四舍五入精確到1）

【答案】141

【解析】因?yàn)锳OBAOC，OBOC,OAOA，

5

故AOBAOC，故ACAB，設(shè)BOC2，則0arcsin，

6

11

又S△21.40.6sin0.60.6sin2

ABC22

0.84sin0.18sin2，

設(shè)f0.84sin0.18sin2，

則f0.84cos0.36cos20.72cos20.84cos0.36，

123

6cos27cos33cos12cos3，

10025

1π2255

記cos0，00,，因?yàn)閟in，故0arcsin，

320366

5

又當(dāng)0,0時(shí)，f0，當(dāng)0,arcsin時(shí)，f0，

6

5

故fx在0,0上為增函數(shù)，在0,arcsin上為減函數(shù)，

6

7

故fxf，此時(shí)cosBOC2cos21，

max009

7

故BOCπarccos，用度表示后約等于141，

9

故答案為：141.

4．如圖，某城市公園內(nèi)有一矩形空地ABCD，AB300m，AD180m，現(xiàn)規(guī)劃在邊AB，CD，DA上分

別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且滿足AEEF，F(xiàn)GGA，在△EAG內(nèi)建造噴泉瀑布，在EFG內(nèi)種植花奔，其余區(qū)

域鋪設(shè)草坪，并修建棧道EG作為觀光路線（不考慮寬度），則當(dāng)sinAEG時(shí)，棧道EG最短.

31

【答案】/3

33

【解析】由題意，Rt△EAG≌Rt△EFG，

ππ

設(shè)AEG0，則DGFπ22.

22

DG180AG18090

在Rt△GDF中cos2，得AG，

GFAGcos21cos2

AG9090

則EG

sinsincos2sin1sin2.

90

2

AG2901tan180

cos1

由于，解得≤tan≤1.

AG13

AE90tan300

tantan

10290

令sint，t,，則EG3.

102tt

令f(t)tt3，則f(t)13t2，

103

當(dāng)f(t)0時(shí)t,，f(t)嚴(yán)格遞增；

103

32

當(dāng)f(t)0時(shí)t,，f(t)嚴(yán)格遞減；

32

3f(t)

所以tsin，有最大值，則EGmin1353.

3

故答案為：3

3

05導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用

1312

1．已知a2b0，且關(guān)于x的函數(shù)fxxaxabx．

32

1

(1)已知函數(shù)gxfxx3，且滿足g2xgx，解不等式gx0；

3

(2)若ab，b為單位向量，討論函數(shù)的單調(diào)性；

1312

(3)若函數(shù)fxxaxabx在R上有極值，求a與b夾角的取值范圍．

32

【答案】(1){x∣x0或x2}．

(2)遞增區(qū)間為,2和0,，遞減區(qū)間為2,0．

π

(3),π

3

12

【解析】（1）由題意gxaxabx，又g2xgx，

2

所以gx的圖像關(guān)于x1對(duì)稱，

ab12

則1，即aba，得到axax0，

a2

由a0，所以x22x0，解得x0或x2，

故不等式gx0的解集為{x∣x0或x2}．

（2）因?yàn)閍b，所以ab0，

因?yàn)閎為單位向量，所以b1，a2，

1

題意有fxx3x2，由fxx22x，

3

令fx0，可得x,20,，令fx0，可得x2,0，

則fx在,2,0,上單調(diào)遞增，在2,0上單調(diào)遞減，

故遞增區(qū)間為,2和0,，遞減區(qū)間為2,0．

（3）設(shè)a與b的夾角為θ．

13122

∵fxxaxabx，∴fxxaxab，

32

2

∵函數(shù)fx在R上有兩個(gè)極值，∴方程xaxab0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

2

2a

即Δa4ab0，∴ab，

4

2

a

ab1

又a2b0，∴4，

cos2

aba2

2

1π

即cos，又0,π，∴(,π]．

23

2．若函數(shù)fx和gx的圖象均連續(xù)不斷，fx和gx均在任意的區(qū)間上不恒為0，fx的定義域?yàn)?/p>

I1,gx的定義域?yàn)镮2，存在非空區(qū)間AI1I2，滿足：對(duì)任意的xA，均有fxgx0，則稱區(qū)間

A為fx和gx的“區(qū)間”．

(1)寫出fxsinx和gxcosx在0,π上的一個(gè)“區(qū)間”（無需證明）；

(2)若fxx3,1,1是fx和gx的“區(qū)間”，證明：gx不是偶函數(shù)；

πl(wèi)nx

若fx1xsin2x,x(0,1]，(0,1]是和的區(qū)間，證明：在區(qū)間(0,1]上存在零

(3)xfxgx“”gx

ee

點(diǎn)．

輊π

【答案】(1)在區(qū)間0,π上的一個(gè)“區(qū)間”可以是犏,π及其非空子集；

臌犏2

(2)證明見解析；

(3)證明見解析.

【解析】（1）由題意fxsinx和gxcosx的定義域是R，

π

當(dāng)x,π時(shí)，fx0gx滿足“區(qū)間”的定義，

2

π

故在區(qū)間0,π上的一個(gè)“區(qū)間”可以是,π及其非空子集；

2

（2）由題意，當(dāng)x[1,0)時(shí)，fxx30，故gx0，

當(dāng)x(0,1]時(shí)，fxx30，故gx0，

gx在任意區(qū)間上不恒為0，故x1[1,0)，使得gx10，

又gx10，顯然gx1gx1，故gx不是偶函數(shù)；

1

1x

（3）當(dāng)x(0,1]時(shí)，fxπl(wèi)nxee12cos2x，

x

1

1x

因?yàn)棣衛(wèi)nxee0,12cos2x0，即fx0，

x

所以fx在(0,1]上單調(diào)遞增，

112

當(dāng)x(0,1]時(shí)f11sin20fπsin，

eee

1

故t,1且唯一，使ft0，

e

且當(dāng)x(0,t)時(shí)，fx0，當(dāng)x(t,1)時(shí)，fx0，

當(dāng)x(0,t)時(shí)，fx0，故gx0且存在(0,t)，使得g0，

當(dāng)x(t,1)時(shí)，fx0，故gx0且存在(t,1)，使得g0，

由零點(diǎn)存在性定理知，,，使g0，

故gx在區(qū)間(0,1]上存在零點(diǎn).

3．進(jìn)入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為p0p1，且每人是否感染這種病毒相互獨(dú)立．

(1)記100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是fp，求fp的最大值點(diǎn)p0；

(2)為確保校園安全，某校組織