2025年高職中學(xué)教育（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)）試題及答案

（考試時(shí)間：90分鐘滿分100分）班級(jí)______姓名______一、選擇題（總共10題，每題3分，每題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)）1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\ln(3-x)$的定義域是（）A.$(2,3)$B.$[2,3)$C.$(2,3]$D.$[2,3]$2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，且$(\vec{a}+k\vec)\perp\vec{a}$，則實(shí)數(shù)$k$的值為（）A.$\frac{5}{3}$B.$-\frac{5}{3}$C.$\frac{3}{5}$D.$-\frac{3}{5}$3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增的是（）A.$y=x^3$B.$y=\lnx$C.$y=2^x$D.$y=\sinx$4.若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的漸近線方程為$y=\pm\frac{3}{4}x$，則雙曲線的離心率為（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{5}{3}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$5.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=2a_n+1$，$a_1=1$，則$a_5$的值為（）A.31B.30C.15D.636.設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_2x,x\gt0\end{cases}$，則$f(f(\frac{1}{4}))$的值為（）A.-4B.4C.$\frac{1}{4}$D.$-\frac{1}{4}$7.已知圓$C$：$(x-1)^2+(y-2)^2=4$，則過點(diǎn)$P(3,1)$的圓$C$的切線方程為（）A.$x=3$B.$y=1$C.$x=3$或$3x-4y-5=0$D.$y=1$或$3x-4y-5=0$8.在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊分別為$a$，$b$，$c$，若$a=2$，$b=3$，$c=4$，則$\cosC$的值為（）A.$\frac{1}{4}$B.$-\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$9.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$a_3+a_7=10$，則$S_9$的值為（）A.$=\frac{1}{4}$B.$-\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$10.函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖象可由函數(shù)$y=\sin2x$的圖象（）A.向左平移$\frac{\pi}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到B.向右平移$\frac{\pi}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到C.向左平移$\frac{\pi}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.向右平移$\frac{\pi}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到二、多項(xiàng)選擇題（總共5題，每題4分，每題有多個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)，少選得2分，多選、錯(cuò)選不得分）1.下列命題中，正確的是（）A.若$a\gtb$，$c\gtd$，則$ac\gtbd$B.若$a\gtb$，則$a^2\gtb^2$C.若$a\gtb$，$c\gtd$，則$a-c\gtb-d$D.若$a\gtb$，$c\gt0$，則$ac\gtbc$2.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\-2x,x\gt0\end{cases}$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$f(x)$是偶函數(shù)B.$f(x)$在$R$上單調(diào)遞減C.$f(x)$的值域?yàn)?(-\infty,1]$D.$f(x)$在$x=0$處連續(xù)3.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,3)$，$\vec{c}=(3,4)$，且$\vec{c}=x\vec{a}+y\vec$，則$x$，$y$的值分別為（）A.$x=-1$B.$x=1$C.$y=2$D.$y=-2$4.已知圓$C$：$x^2+y^2-2x-4y+1=0$，直線$l$：$x+ay-1=0$，則下列說法正確的是（）A.直線$l$恒過定點(diǎn)$(1,0)$B.當(dāng)$a=1$時(shí)，直線$l$與圓$C$相切C.當(dāng)$a=-1$時(shí)，直線$l$與圓$C$相交D.直線$l$與圓$C$恒有公共點(diǎn)5.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_n=2n^2-3n$，則下列說法正確的是（）A.$a_1=-1$B.數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列C.$a_n=4n-5$D.$S_n$的最小值為$-\frac{9}{8}$三、填空題（總共5題，每題4分，請(qǐng)將答案填在橫線上）1.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$處的極限為______。2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,3)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$______。3.雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的漸近線方程為______。4.已知函數(shù)$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$，則$f(x)$圖象的對(duì)稱軸方程為______。5.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}-a_n=2$，則$a_n=______。四、解答題（總共3題，每題10分，請(qǐng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函數(shù)$f(x)$的極值。2.已知圓$C$：$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，直線$l$：$3x+4y+5=0$，求圓心$C$到直線$l$的距離，并判斷直線$l$與圓$C$的位置關(guān)系。3.在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊分別為$a$，$b$，$c$，已知$a=3$，$b=4$，$\cosC=\frac{1}{3}$，求$c$的值及$\sinA$的值。五、綜合題（總共2題，每題15分，請(qǐng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）1.已知數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_n=2a_n-1$，求數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。2.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2+2x+1,x\leq0\\-x^2+2x-1,x\gt0\end{cases}$，（1）畫出函數(shù)$f(x)$的圖象；（2）求函數(shù)$f(x)$的最大值和最小值；（3）若$f(x)\geq-2$，求$x$的取值范圍。答案一、選擇題1.A2.B3.A4.A5.A6.A7.C8.B9.D10.C二、多項(xiàng)選擇題1.D2.BC3.AC4.ABD5.ABD三、填空題1.22.83.$y=\pm\frac{4}{3}x$4.$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\inZ)$5.$2n-1$四、解答題1.解：$f^\prime(x)=3x^2-6x+2$，令$f^\prime(x)=0$，解得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。當(dāng)$x\lt1-\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$1-\frac{\sqrt{3}}{3}\ltx\lt1+\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x\gt1+\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，$f^\prime(x)\gt\0$，$f(x)$單調(diào)遞增。所以極大值為$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{13-6\sqrt{3}}{9}$，極小值為$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{13+6\sqrt{3}}{9}$。2.解：圓$C$的方程可化為$(x-2)^2+(y-3)^2=4$，圓心$C(2,3)$，半徑$r=2$。圓心$C$到直線$l$的距離$d=\frac{|3\times2+4\times3+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5$。因?yàn)?d\gtr$，所以直線$l$與圓$C$相離。3.解：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，可得$c^2=\frac{49}{3}$，則$c=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。因?yàn)?\sin^2C+\cos^2C=1$，所以$\sinC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}$，可得$\sinA=\frac{2\sqrt{6}}{7}$。五、綜合題1.解：當(dāng)$n=1$時(shí)，$a_1=S_1=2a_1-1$，解得$a_1=1$。當(dāng)$n\geq2$時(shí)，$a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-1-(2a_{n-1}-1)$，整理得$a_n=2a_{n-1}$。所以數(shù)列$\{a_n\}$是以$1$為首項(xiàng)，$2$為公比的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為$a_n=2^{n-1}$。前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{1-2^n}{1-2}=2^n-1$。2.解：（1）圖象略。（2）當(dāng)$x\leq0$時(shí)，$f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2$，最小值為$f(-1)=0$；當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$f(x)=-x^2+2x-1=-(x-