/上海市長寧區(qū)2026屆高三上學(xué)期一輪質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、填空題1．設(shè)全集，若集合，則.2．已知某拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝1，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.3．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則.4．在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為.5．設(shè)且，則函數(shù)的圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為．6．若某圓錐的底面半徑為，高為，則該圓錐的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）7．已知物體的位移（單位：）與時(shí)間（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系，則該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為.8．若用替換命題“對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立”中的，即可推出平均值不等式“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.則.9．以雙曲線的離心率為半徑，以右焦點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，則的值為.10．將棱長為的正四面體繞著它的某一條棱旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為.11．某物流公司為了擴(kuò)大業(yè)務(wù)量，計(jì)劃改造一間高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的倉庫.因倉庫的背面靠墻，無須建造費(fèi)用，設(shè)倉庫前面墻體的長為米（）.現(xiàn)有甲、乙兩支工程隊(duì)參加競標(biāo)，甲隊(duì)的報(bào)價(jià)方案為：倉庫前面新建墻體每平方米元，左右兩面新建墻體每平方米元，屋頂和地面以及其他共計(jì)元；乙隊(duì)給出的整體報(bào)價(jià)為元（）.不考慮其他因素，若乙隊(duì)要確保競標(biāo)成功，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．已知平面向量滿足：，，且對(duì)任意的單位向量滿足，則的最大值為.（用含的式子表示）二、單選題13．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．已知事件和事件滿足，則下列說法正確的是（

）．A．事件和事件獨(dú)立 B．事件和事件互斥C．事件和事件對(duì)立 D．事件和事件互斥15．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的空間四面體叫做“鱉臑”.如圖是一個(gè)水平放置的.現(xiàn)將沿折起，使點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，使得空間四面體恰好是一個(gè)“鱉臑”，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．16．設(shè)的三邊長分別為、、，面積為（為正整數(shù)）．若，其中，，，，則（

）A．為嚴(yán)格減數(shù)列B．為嚴(yán)格增數(shù)列C．為嚴(yán)格增數(shù)列，為嚴(yán)格減數(shù)列D．為嚴(yán)格減數(shù)列，為嚴(yán)格增數(shù)列三、解答題17．設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為，其中.(1)設(shè)，，若有且只有一個(gè)，使得函數(shù)取得最小值，求的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，皆有成立，且函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期.18．如圖，已知在四棱柱中，平面，、分別是、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若底面為梯形，，異面直線與所成角為．求直線與平面所成角的正弦值．19．2024年第七屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)（簡稱進(jìn)博會(huì)）于11月5日至10日在上海國家會(huì)展中心舉行.為了解進(jìn)博會(huì)參會(huì)者的年齡結(jié)構(gòu)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會(huì)者進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為.把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“青年人”，把年齡落在區(qū)間內(nèi)的人稱為“中年人”，把年齡落在內(nèi)的人稱為“老年人”.

（1）求所抽取的“青年人”的人數(shù)；（2）以分層抽樣的方式從“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名參會(huì)者做進(jìn)一步訪談，發(fā)現(xiàn)其中女性共4人，這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會(huì)者中任選2人.①簡述如何采用抽簽法任選2人；②設(shè)事件A：2人均為“中年人”，事件B：2人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件B是否獨(dú)立，并說明理由.20．如圖的封閉圖形的邊緣由拋物線和垂直于拋物線對(duì)稱軸的線段組成.已知，拋物線的頂點(diǎn)到線段所在直線的距離為.（1）請(qǐng)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)這個(gè)封閉圖形的邊緣；（2）在該封閉圖形上截取一個(gè)矩形，其中點(diǎn)在線段上，點(diǎn)拋物線上.求以矩形為側(cè)面，為母線的圓柱的體積最大值；（3）求證：拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一條直線上.21．已知都是定義在實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù).對(duì)于正整數(shù)，當(dāng)分別是和的駐點(diǎn)時(shí)，記，若，則稱和滿足性質(zhì)；當(dāng)，且時(shí)，記，若，則稱和滿足性質(zhì).（1）若，，判斷和是否滿足性質(zhì)，并說明理由；（2）若，，且和滿足性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若的最小正周期為4，且，.當(dāng)時(shí)，的駐點(diǎn)與其兩側(cè)區(qū)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：13000極小值極大值1極小值已知和滿足性質(zhì)，請(qǐng)寫出的充要條件，并說明理由.

答案1．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，集合，所?2．【正確答案】【詳解】依題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由，解得，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.3．【正確答案】2【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，，則，所以，因?yàn)椋?，則，所以.4．【正確答案】【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，可得，所以項(xiàng)的系數(shù)為.5．【正確答案】【詳解】令，可得恒成立，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).6．【正確答案】【詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑，高，設(shè)母線為，則，所以該圓錐的側(cè)面積為.7．【正確答案】2【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，所以所求瞬時(shí)速度為2.8．【正確答案】（答案不唯一，可以為或其它字母表示的表達(dá)式）【詳解】取正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，即，于是“任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)成立”.顯然，取.9．【正確答案】/【詳解】雙曲線的漸近線為，離心率，右焦點(diǎn)，依題意，，所以.10．【正確答案】【詳解】

如圖為棱長為的正四面體，作，于點(diǎn)，在中，，，，根據(jù)題意，正四面體旋轉(zhuǎn)后得到兩個(gè)同底的圓錐，底面半徑等于，高等于，所以旋轉(zhuǎn)后幾何體的體積為.11．【正確答案】【詳解】若倉庫前面墻體的長為米（），則左右兩面墻寬度為，則甲工程整體報(bào)價(jià)為，若乙隊(duì)要確保競標(biāo)成功則，所以，則，因?yàn)?，所以函?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．【正確答案】或【詳解】由題意有：當(dāng)時(shí)，可得當(dāng)與同向時(shí)，取到最大值，即此時(shí)恒成立，結(jié)合，即，此時(shí)；由于，所以假設(shè)，此時(shí)，不符合題意；故時(shí)，不妨設(shè)當(dāng)為銳角，取到最大值，此時(shí)也為銳角，此時(shí)，，（其中為輔助角）而，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，依題意可得恒成立，解得，由于在時(shí)單調(diào)遞減，故，故令，結(jié)合解得即得，；由于時(shí)，，所以的最大值為或.13．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，則，所以或，則“”是“”的必要非充分條件.故選B.14．【正確答案】B【詳解】因?yàn)槭录褪录M足，則一定可以得到事件和事件互斥，但不一定對(duì)立，故B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)，不為時(shí)，事件和事件不獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；拋擲一枚骰子，記出現(xiàn)點(diǎn)為事件，出現(xiàn)點(diǎn)為事件，則，，顯然事件和事件不互斥，故D錯(cuò)誤.故選B15．【正確答案】D【詳解】中，.不妨設(shè)，則，空間四面體是一個(gè)“鱉臑”，則和都是直角三角形，若，則中，，由勾股定理得，此時(shí)不是直角三角形，不合題意；所以，在中，，由勾股定理得，此時(shí)滿足是直角三角形，，由，，二面角的平面角為，中，，，所以二面角的大小為.故選D.16．【正確答案】B【詳解】

由已知，即的邊為定值，不妨設(shè)，為定點(diǎn)，如圖所示，又，，則，即為定值，又，所以為定值，即，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值為定值，滿足雙曲線定義，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線，如圖所示，所以，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以當(dāng)增大時(shí)，變大，即變大，此時(shí)向遠(yuǎn)離處運(yùn)動(dòng)，即變大，所以變大，即數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，且，均為嚴(yán)格增數(shù)列，故選B.17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)橛星抑挥幸粋€(gè)使得函數(shù)取得最小值，所以，解得，所以的取值范圍是，（2）因?yàn)閷?duì)任意，成立，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，解得，又因?yàn)椋?，由，，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，令可得，函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以，所以，所以，，，所以函數(shù)的最小正周期.18．【正確答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，，在四棱柱中，四邊形，為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，又、分別是、的中點(diǎn)，所以且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)楫惷嬷本€與所成角為，又，所以即為異面直線與所成角，即，即，又平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．【正確答案】（1）80（2）①見詳解；②事件A與事件B不獨(dú)立，理由見詳解【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得：，又“青年人”占比為，所以所抽取的“青年人”人數(shù)為人；（2）①先將10名參會(huì)者進(jìn)行編號(hào)：1、2、、10，并將10個(gè)號(hào)碼寫在完全相同的紙片上，放入某容器中充分混合均勻，再取出2張，2張紙片上所對(duì)應(yīng)的參會(huì)者就是要選取的人，②“青年人”“中年人”“老年人”的人數(shù)之比為，所以10人中“中年人”共有5人，2人均為“中年人”的概率，2人中至少有1人為男性的概率，2人均為“中年人”且至少有1人為男性的概率，因?yàn)?，所以事件A與事件B不獨(dú)立.20．【正確答案】（1）詳見詳解；（2）；（3）見詳解.【詳解】（1）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，則曲線過點(diǎn)，所以，故，所以，曲線的方程為，線段的方程為，（2）設(shè)，則.以為母線的圓柱的底面半徑滿足，所以，所以圓柱的體積.所以，所以，當(dāng)時(shí)，其體積取得最大值；（3）證明：因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以，拋物線上任意一點(diǎn)的切線斜率為，設(shè)是拋物線上兩條相互垂直的切線，切點(diǎn)分別為，則其方程分別為，且，消去，解得，因?yàn)?，?故拋物線的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在直線上.21．【正確答案】（1）和是滿足性質(zhì)，見詳解（2）（3），理由見詳解【詳解】（1）.所以和是滿足性質(zhì).（2）由可知，駐點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，不存在駐點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的駐點(diǎn)，由題意可知，解得，（3）的充要條件是.首先證明必要性：當(dāng)時(shí)，由題意可知不是常函數(shù)，所以，因?yàn)楹蜐M足性質(zhì)，所以，所以，又是正整數(shù)，故.其次證明充分性：由題意可知，，，且，①當(dāng)（）時(shí)，可知.否則，若存在（），有，因?yàn)?，所以與已知矛盾.同理，，故，所以，即.同理，，得，所以.②當(dāng)（）時(shí)，，任意，有，又由①可知，.若