/河北省2026屆高三上學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測評(píng)（Ⅳ）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)是虛部為正數(shù)的純虛數(shù)，且滿足，則（

）A．1 B．2 C．1或2 D．34．已知函數(shù)，則“函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．已知長方體的外接球表面積為，且，則該長方體的體積的最大值為（

）A． B． C．3 D．6．在邊長為2的等邊中，點(diǎn)為內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則（

）A．1 B． C．2 D．37．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若方程恰有6個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．2025年，青年數(shù)學(xué)家王虹和她的合作伙伴約書亞·扎爾（JoshuaZahl）通過一系列復(fù)雜的數(shù)學(xué)論證和創(chuàng)新的方法，成功破解了三維掛谷猜想，轟動(dòng)整個(gè)數(shù)學(xué)界．掛谷猜想的二維表述為：一個(gè)長度為1的線段在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)和平移，轉(zhuǎn)過后，回到原位置，掃過的最小面積是多少？甲同學(xué)研究線段在圓上旋轉(zhuǎn)掃過面積問題：已知圓半徑為2，點(diǎn)為圓上兩點(diǎn)，且，則線段旋轉(zhuǎn)后（始終在圓上），該線段掃過的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知正實(shí)數(shù)、滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為C．的最小值為 D．存在、滿足10．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，,，則下列說法正確的是（

）A． B．若為等腰三角形，則C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，11．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且的離心率為，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，記線段的中點(diǎn)為，則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，的面積為C．當(dāng)變化時(shí)，直線與直線的斜率之積恒為定值D．存在，滿足三、填空題12．若隨機(jī)變量，則．13．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，若，則．14．若，且關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．如圖，在三棱錐中，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．16．已知數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為表示不大于的最大整數(shù)，求．17．在某直播平臺(tái)上購物成為了很多人最喜歡的購物方式．近日該平臺(tái)發(fā)現(xiàn)新上平臺(tái)的商品經(jīng)常收到買家投訴，于是進(jìn)行調(diào)研分析，發(fā)現(xiàn)購買商品的只有青年和中老年（年齡>44）兩類購買者，從所有購買商品的買家中，隨機(jī)抽取青年購買者和中老年購買者各100人，給商品打分分）并提出建議，分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下表格(假設(shè)各組數(shù)據(jù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)均勻分布)：給商品打分區(qū)間青年購買者5354515中老年購買者3540205（1）請(qǐng)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，估計(jì)青年購買者打分的平均數(shù)和中老年購買者打分的中位數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表）；（2）若購買者打分在區(qū)間內(nèi)為“滿意顧客”，其他為“不滿意顧客”．①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，從商品的所有購買者中隨機(jī)抽取一名購買者，記事件“該購買者為青年購買者”，事件“該購買者為滿意顧客”，計(jì)算的估計(jì)值；②請(qǐng)利用表格數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整下列列聯(lián)表（注：區(qū)間頻數(shù)若不是整數(shù)，四舍五入后保留整數(shù)），并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)商品是否滿意與購買者群體有關(guān)．滿意顧客不滿意顧客合計(jì)青年購買者100中老年購買者100合計(jì)200附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)．（1）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的值；（2）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）求證：為銳角．19．已知函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：．

答案1．【正確答案】C【詳解】集合，又，所以，故選C．2．【正確答案】D【詳解】因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，所以雙曲線的實(shí)半軸長為，虛半軸長為，所以，所以漸近線方程為.故選D．3．【正確答案】A【詳解】設(shè)，代入，得到，解得，即，故，即，解得或－2，因?yàn)?，所以，?故選A．4．【正確答案】B【詳解】由函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，得，解得，又因?yàn)椋曰?，因此“函?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為”是“”的必要不充分條件.故選B．5．【正確答案】C【詳解】設(shè)長方體的外接球半徑為，且，因?yàn)橥饨忧虮砻娣e為，故，即，又因?yàn)?，可得，即，所以該長方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以長方體的體積的最大值為.故選C．6．【正確答案】B【詳解】設(shè)點(diǎn)為內(nèi)切圓圓心，則，則，因?yàn)槭堑冗吶切?，故點(diǎn)也是的重心，故，故，由等面積得，則，故.故選B7．【正確答案】B【詳解】設(shè)，由于函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，故的大致圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別設(shè)為，，且，故四個(gè)方程的根的個(gè)數(shù)分別為0，0，4，2，故方程恰有6個(gè)不同的根，因此B選項(xiàng)正確．容易驗(yàn)證取其他值時(shí)，不符合題意．故選B.8．【正確答案】C【詳解】如圖，由題意知線段掃過的面積為圖中陰影部分的面積，點(diǎn)到的距離，故線段旋轉(zhuǎn)過程中始終與以為圓心，1為半徑的小圓相切，記旋轉(zhuǎn)前和旋轉(zhuǎn)后的切點(diǎn)分別為，矩形的面積為，故；等邊三角形的面積為，扇形的面積為，故；三角形的面積為，扇形的面積為，故.故陰影部分面積.故選C．9．【正確答案】AC【詳解】由正實(shí)數(shù)、滿足得，又因?yàn)?，解得，故A選項(xiàng)正確；由已知條件及得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由已知條件及得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故C選項(xiàng)正確；由得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AC．10．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A，，即，因?yàn)?，故，故，故，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于A，由對(duì)A選項(xiàng)的分析可知，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，為等邊三角形，故，則，解得，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合余弦定理得，即，即，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由，又由對(duì)C選項(xiàng)分析可知，當(dāng)時(shí)，，代入，解得，故，代入，得，故，即，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC．11．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，依題意，，則，由離心率為，得，解得，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，即點(diǎn)，的面積為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，直線與直線的斜率分別為，，則，C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在，使得，由為線段的中點(diǎn)，得與矛盾，因此假設(shè)不成立，即不存在，使得，D錯(cuò)誤.故選AC12．【正確答案】【詳解】由于隨機(jī)變量，故，因此．13．【正確答案】2027【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知，則．14．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以不等式等價(jià)于，設(shè)，則，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故；設(shè)，則，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，因?yàn)楹愠闪?，所以，即?5．【正確答案】（1）見詳解；（2）．【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)?，所以．又因?yàn)槠矫?，故平面．又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）因?yàn)?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則即，令得，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．16．【正確答案】（1）見詳解，（2）【詳解】（1）解：由數(shù)列滿足，可得，又由，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知：，所以，故，因?yàn)?，故，因此?7．【正確答案】（1）平均數(shù)6.6，中位數(shù)4.125（2）①；②表格見詳解，認(rèn)為對(duì)商品是否滿意與購買者群體有關(guān)【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)可知青年購買者打分的平均數(shù)．由數(shù)據(jù)可知中老年購買者打分在區(qū)間內(nèi)的頻率為，故其中位數(shù)滿足：，解得．（2）“假設(shè)各組數(shù)據(jù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)均勻分布”，①由題意知，．因此．②由表格數(shù)據(jù)知“滿意的青年購買者”的人數(shù)為（人），“不滿意的青年購買者”的人數(shù)為70人；“滿意的中老年購買者”的人數(shù)為（人），“不滿意的中老年購買者”的人數(shù)為88人，故補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：滿意顧客不滿意顧客合計(jì)青年購買者3070100中老年購買者1288100合計(jì)42158200零假設(shè)為：對(duì)商品是否滿意與購買者群體無關(guān)．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為對(duì)商品是否滿意與購買者群體有關(guān)，此判斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01．18．【正確答案】（1）4（2）存在，1（3）見詳解【詳解】（1）設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題意知的坐標(biāo)為（1，0），當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立消去，整理得，解得，故，點(diǎn)坐標(biāo)為,故，故．（2）存在，理由如下：由題可知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，，由題意知點(diǎn)坐標(biāo)為，故．，故，故時(shí)，所以存在滿足題意的常數(shù)，且.（3）證明：，故，顯然三點(diǎn)不共線，故為銳角．19．【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）．（2）①；②見詳解【詳解】（1）由題知，因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，即，解得，故，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2