強(qiáng)阻尼驅(qū)動(dòng)下非線性波動(dòng)方程整體吸引子的存在性與特性研究一、引言1.1研究背景與意義非線性波動(dòng)方程作為一類重要的偏微分方程，在眾多科學(xué)與工程領(lǐng)域中扮演著核心角色。在物理學(xué)領(lǐng)域，它被廣泛用于描述各類波動(dòng)現(xiàn)象。比如在光學(xué)中，可用于刻畫光在非線性介質(zhì)中的傳播，解釋諸如自聚焦、自散焦等復(fù)雜的光學(xué)現(xiàn)象，這些現(xiàn)象對(duì)于理解激光技術(shù)、光通信等應(yīng)用至關(guān)重要。在聲學(xué)中，非線性波動(dòng)方程能夠描述強(qiáng)聲波的傳播特性，對(duì)于超聲學(xué)、噪聲控制等研究具有重要意義。在等離子體物理里，它可用于分析等離子體波的行為，對(duì)于研究核聚變、空間等離子體等領(lǐng)域提供理論支持。在工程領(lǐng)域，非線性波動(dòng)方程也有著廣泛的應(yīng)用。在機(jī)械工程中，用于分析機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，尤其是在考慮材料非線性特性時(shí)，能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，為機(jī)械設(shè)計(jì)和故障診斷提供理論依據(jù)。在土木工程中，可用于研究地震波在建筑物中的傳播，評(píng)估建筑物在地震作用下的安全性，指導(dǎo)抗震設(shè)計(jì)。在電子工程中，可用于描述非線性電路中的信號(hào)傳播，對(duì)于高速電路設(shè)計(jì)、信號(hào)處理等方面具有重要價(jià)值。強(qiáng)阻尼項(xiàng)的引入使得非線性波動(dòng)方程的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜和豐富。在實(shí)際物理過程中，阻尼是能量耗散的一種體現(xiàn)，強(qiáng)阻尼項(xiàng)能夠顯著影響系統(tǒng)的長時(shí)間行為。從物理機(jī)制上講，強(qiáng)阻尼項(xiàng)會(huì)消耗系統(tǒng)的能量，使得波動(dòng)的振幅逐漸衰減，進(jìn)而改變波動(dòng)的傳播特性和穩(wěn)定性。例如在一些振動(dòng)系統(tǒng)中，強(qiáng)阻尼的存在可以有效地抑制共振現(xiàn)象的發(fā)生，避免系統(tǒng)因共振而遭受破壞。在流體力學(xué)中，強(qiáng)阻尼可以影響流體波動(dòng)的傳播距離和衰減速度，對(duì)于研究海洋波浪、大氣波動(dòng)等具有重要意義。整體吸引子作為動(dòng)力系統(tǒng)理論中的一個(gè)關(guān)鍵概念，對(duì)于深入理解非線性波動(dòng)方程所描述系統(tǒng)的長期演化行為具有不可替代的重要性。整體吸引子是相空間中的一個(gè)緊致不變集合，它能夠捕獲系統(tǒng)在長時(shí)間演化過程中的所有可能狀態(tài)。通過研究整體吸引子，我們可以了解系統(tǒng)在不同初始條件下的最終歸宿，揭示系統(tǒng)的長期穩(wěn)定性和漸近行為。比如在研究大氣環(huán)流模型時(shí)，整體吸引子可以幫助我們預(yù)測氣候的長期變化趨勢(shì)，理解氣候系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可預(yù)測性。在研究化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)時(shí)，整體吸引子能夠揭示反應(yīng)過程的最終平衡態(tài)和可能出現(xiàn)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。此外，整體吸引子的性質(zhì)，如分形維數(shù)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等，還能為我們提供關(guān)于系統(tǒng)復(fù)雜性和混沌程度的信息，對(duì)于進(jìn)一步探索非線性系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律具有重要的理論和實(shí)際意義。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在國外，對(duì)具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程整體吸引子的研究開展得較早且取得了豐碩成果。F.Dell’Oro和V.Pata等學(xué)者深入研究了非線性強(qiáng)阻尼波動(dòng)方程，在特定假設(shè)下，如當(dāng)區(qū)域\Omega\subsetR^3，且|\varphi(s)|\leqc+c|s|^3時(shí)，成功給出了指數(shù)吸引子的存在性及最佳正則性，并論證了整體吸引子具有有限維分形維數(shù)。這一成果為理解方程的長時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為提供了重要的理論依據(jù)，揭示了系統(tǒng)在長時(shí)間演化過程中的復(fù)雜性和有序性之間的關(guān)系。V.Pata和M.Squaussin則在R^3中強(qiáng)阻尼的波動(dòng)方程研究中，于非線性臨界指標(biāo)下得到吸引子的存在性，為該領(lǐng)域在臨界條件下的研究開辟了新的方向，有助于深入探討系統(tǒng)在臨界狀態(tài)下的穩(wěn)定性和演化特性。國內(nèi)眾多學(xué)者也在該領(lǐng)域積極探索并取得了顯著進(jìn)展。楊志堅(jiān)于2007年研究了多維情況下Kirchhoff型方程初值問題解的長時(shí)間行為，在低正則空間X=H^{1+\delta}(R^N)\timesH^{\delta}(R^N)，\frac{1}{2}\leq\delta\leq1時(shí)，證明了連通吸引子的存在。這一研究成果拓展了對(duì)Kirchhoff型方程在低正則空間下的認(rèn)識(shí)，對(duì)于理解該類方程在復(fù)雜空間條件下的動(dòng)力學(xué)行為具有重要意義。2009年，楊志堅(jiān)和王云青進(jìn)一步研究多維情況下具有強(qiáng)阻尼Kirchhoff型方程解的長時(shí)間行為，詳細(xì)討論了在相空間具有較低正則性情況下解算子半群S(t)整體吸引子的存在性，為相關(guān)研究提供了更深入的理論支持，豐富了對(duì)低正則相空間中方程解的長時(shí)間演化的理解。隨后，楊志堅(jiān)和李曉在研究中進(jìn)一步得到了在多維情況下具有強(qiáng)阻尼Kirchhoff型方程對(duì)應(yīng)的無窮維動(dòng)力系統(tǒng)的有限維整體吸引子和指數(shù)吸引子的存在性，進(jìn)一步完善了對(duì)該類方程所對(duì)應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，為實(shí)際應(yīng)用中對(duì)相關(guān)系統(tǒng)的分析和預(yù)測提供了更有力的工具。盡管國內(nèi)外學(xué)者在具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程整體吸引子的研究中取得了上述重要成果，但仍存在一些不足。一方面，現(xiàn)有研究對(duì)于非線性項(xiàng)的假設(shè)條件往往較為嚴(yán)格，限制了方程在更廣泛實(shí)際問題中的應(yīng)用。在許多實(shí)際物理和工程場景中，非線性項(xiàng)的形式更為復(fù)雜多樣，難以滿足現(xiàn)有研究中的嚴(yán)格假設(shè)，因此需要探索在更一般的非線性項(xiàng)條件下整體吸引子的性質(zhì)和存在性。另一方面，對(duì)于高維復(fù)雜區(qū)域上的方程研究還不夠深入，隨著實(shí)際問題的復(fù)雜性增加，如在具有復(fù)雜幾何形狀的區(qū)域或多物理場耦合的情況下，目前的研究成果難以提供有效的理論支持。此外，在數(shù)值模擬方面，雖然已有一些方法用于求解具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程，但在計(jì)算精度和效率上仍有待提高，特別是在處理大規(guī)模問題和長時(shí)間演化模擬時(shí)，現(xiàn)有的數(shù)值方法面臨著巨大的挑戰(zhàn)。本文將針對(duì)這些不足展開研究。通過引入新的分析方法和技巧，嘗試在更寬松的非線性項(xiàng)條件下，研究具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程整體吸引子的存在性、正則性和維數(shù)等性質(zhì)。同時(shí)，將關(guān)注高維復(fù)雜區(qū)域上的方程，探索適用于此類區(qū)域的理論分析和數(shù)值計(jì)算方法。在數(shù)值模擬方面，致力于改進(jìn)和創(chuàng)新數(shù)值算法，提高計(jì)算精度和效率，為更準(zhǔn)確地模擬和預(yù)測實(shí)際問題中的波動(dòng)現(xiàn)象提供有力支持。1.3研究內(nèi)容與方法本文主要聚焦于具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程，深入探究其整體吸引子相關(guān)的多方面內(nèi)容。在方程的解的適定性方面，通過嚴(yán)密的理論推導(dǎo)，證明在給定初邊值條件下，方程的解在特定函數(shù)空間中存在且唯一，明確解的存在區(qū)間以及連續(xù)依賴性等性質(zhì)，為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。對(duì)于整體吸引子的存在性，采用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明方法，論證在相空間中整體吸引子的存在，明確其能夠捕獲系統(tǒng)長時(shí)間演化的所有可能狀態(tài)，這對(duì)于理解方程所描述系統(tǒng)的長期動(dòng)力學(xué)行為至關(guān)重要。關(guān)于整體吸引子的性質(zhì)研究，維度分析是重要的一環(huán)。通過合適的數(shù)學(xué)工具和方法，確定整體吸引子的分形維數(shù)和豪斯多夫維數(shù)，從維度角度刻畫吸引子的復(fù)雜程度，揭示系統(tǒng)的混沌特性和動(dòng)力學(xué)復(fù)雜性。同時(shí)，深入分析吸引子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，包括連通性、緊性等，進(jìn)一步理解吸引子的幾何特征和在相空間中的分布特性，為全面認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的長時(shí)間行為提供更深入的視角。在吸引子的正則性方面，研究其光滑性和可微性等性質(zhì)，明確吸引子上的函數(shù)所滿足的正則條件，這對(duì)于理解系統(tǒng)在長時(shí)間演化過程中的穩(wěn)定性和漸近行為具有重要意義。在研究方法上，Galerkin方法是本文的重要工具之一。通過選取適當(dāng)?shù)幕瘮?shù)，將具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程投影到有限維子空間上，把無窮維的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為有限維的常微分方程組問題，從而簡化問題的求解過程。在投影過程中，精心選擇滿足邊界條件和一定正交性的基函數(shù)，如三角函數(shù)系、多項(xiàng)式函數(shù)系等，以確保投影后的方程組能夠準(zhǔn)確逼近原方程的解。在求解有限維常微分方程組時(shí)，采用經(jīng)典的數(shù)值方法，如龍格-庫塔法、有限差分法等，通過逐步迭代計(jì)算，得到近似解序列，并通過理論分析證明該近似解序列在一定條件下收斂到原方程的精確解。能量估計(jì)法也是本文的核心研究方法。通過巧妙構(gòu)造合適的能量泛函，對(duì)具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程的解進(jìn)行能量估計(jì)。在構(gòu)造能量泛函時(shí)，充分考慮方程中各項(xiàng)的特點(diǎn)和相互關(guān)系，結(jié)合強(qiáng)阻尼項(xiàng)的耗散特性以及非線性項(xiàng)的作用，構(gòu)建能夠反映系統(tǒng)能量變化的泛函表達(dá)式。利用能量泛函對(duì)解進(jìn)行估計(jì)，得到解的各種先驗(yàn)估計(jì)，如L^2范數(shù)估計(jì)、H^1范數(shù)估計(jì)等，這些先驗(yàn)估計(jì)不僅有助于證明解的存在性和唯一性，還能用于研究解的長時(shí)間行為和整體吸引子的性質(zhì)。例如，通過能量估計(jì)可以證明解在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生爆破，保證解的全局存在性，同時(shí)可以利用能量的衰減性質(zhì)來分析整體吸引子的吸引性和穩(wěn)定性。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1非線性波動(dòng)方程概述非線性波動(dòng)方程是一類描述波動(dòng)現(xiàn)象的偏微分方程，其一般形式可表示為：\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-c^2\Deltau=f(u,\frac{\partialu}{\partialt},\frac{\partialu}{\partialx_1},\cdots,\frac{\partialu}{\partialx_n})其中，u=u(x_1,x_2,\cdots,x_n,t)是關(guān)于空間變量x_1,x_2,\cdots,x_n和時(shí)間變量t的未知函數(shù)，代表波動(dòng)的物理量，如位移、電場強(qiáng)度、溫度等；c為波速，它決定了波動(dòng)傳播的快慢，在不同的物理介質(zhì)中，波速會(huì)有所不同，例如在空氣中聲波的傳播速度與在水中的傳播速度差異顯著；\Delta=\frac{\partial^2}{\partialx_1^2}+\frac{\partial^2}{\partialx_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partialx_n^2}是拉普拉斯算子，用于刻畫空間中的變化率，反映了波動(dòng)在空間中的擴(kuò)散和傳播特性；f(u,\frac{\partialu}{\partialt},\frac{\partialu}{\partialx_1},\cdots,\frac{\partialu}{\partialx_n})是非線性項(xiàng)，它體現(xiàn)了波與波之間、波與介質(zhì)之間的非線性相互作用，是使得方程具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的關(guān)鍵因素。這種非線性相互作用可以導(dǎo)致波的振幅、頻率、傳播方向等發(fā)生復(fù)雜的變化，使得非線性波動(dòng)方程的解呈現(xiàn)出與線性波動(dòng)方程解截然不同的特性。從物理意義上講，非線性波動(dòng)方程能夠描述許多現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜波動(dòng)現(xiàn)象。在光學(xué)領(lǐng)域，它可用于描述光在非線性介質(zhì)中的傳播。當(dāng)光在某些特殊的光學(xué)材料中傳播時(shí)，材料的光學(xué)性質(zhì)會(huì)隨著光的強(qiáng)度發(fā)生變化，這種非線性效應(yīng)使得光的傳播不再滿足簡單的線性規(guī)律。例如，在自聚焦現(xiàn)象中，由于非線性項(xiàng)的作用，光在傳播過程中會(huì)逐漸聚焦，形成高強(qiáng)度的光斑，這對(duì)于激光加工、光通信等領(lǐng)域的研究具有重要意義。在聲學(xué)中，非線性波動(dòng)方程可用于解釋強(qiáng)聲波的傳播特性。當(dāng)聲波的強(qiáng)度足夠大時(shí)，聲波與介質(zhì)之間的相互作用會(huì)呈現(xiàn)出非線性特征，導(dǎo)致聲波的波形發(fā)生畸變，產(chǎn)生諧波等復(fù)雜現(xiàn)象，這對(duì)于超聲無損檢測、噪聲控制等應(yīng)用至關(guān)重要。在地震學(xué)中，它可用于研究地震波在地球內(nèi)部的傳播。地球介質(zhì)的復(fù)雜性使得地震波在傳播過程中會(huì)發(fā)生非線性相互作用，這種相互作用會(huì)影響地震波的傳播路徑、能量衰減等，對(duì)于地震的預(yù)測和評(píng)估具有重要的理論價(jià)值。在不同的領(lǐng)域中，非線性波動(dòng)方程有著豐富多樣的具體表現(xiàn)形式。在彈性力學(xué)中，考慮彈性桿的橫向振動(dòng)問題時(shí)，可得到如下形式的非線性波動(dòng)方程：\rhoA\frac{\partial^2u}{\partialt^2}+EI\frac{\partial^4u}{\partialx^4}+\alpha(\frac{\partialu}{\partialx})^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0其中，\rho是材料的密度，A是彈性桿的橫截面積，E是彈性模量，I是截面慣性矩，\alpha是與材料和幾何形狀相關(guān)的常數(shù)。這個(gè)方程中的非線性項(xiàng)\alpha(\frac{\partialu}{\partialx})^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}反映了彈性桿在大變形情況下的非線性力學(xué)行為，對(duì)于研究彈性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和振動(dòng)特性具有重要作用。在流體力學(xué)中，描述淺水波傳播的Korteweg-deVries（KdV）方程是一類重要的非線性波動(dòng)方程，其形式為：\frac{\partialu}{\partialt}+6u\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partial^3u}{\partialx^3}=0其中，u表示水波的高度，t是時(shí)間，x是空間坐標(biāo)。該方程中的非線性項(xiàng)6u\frac{\partialu}{\partialx}體現(xiàn)了水波的非線性相互作用，而色散項(xiàng)\frac{\partial^3u}{\partialx^3}則描述了水波的色散特性，即不同頻率的波具有不同的傳播速度。KdV方程能夠很好地解釋淺水波中孤立子的形成和傳播現(xiàn)象，對(duì)于海洋學(xué)、水利工程等領(lǐng)域的研究具有重要意義。在等離子體物理中，非線性薛定諤方程（NLS）常被用于描述等離子體中的波動(dòng)現(xiàn)象，其形式為：i\frac{\partial\psi}{\partialt}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi}{\partialx^2}+|\psi|^2\psi=0其中，\psi是復(fù)值函數(shù)，代表等離子體中的波函數(shù)，i是虛數(shù)單位。方程中的非線性項(xiàng)|\psi|^2\psi反映了等離子體中波與粒子之間的非線性相互作用，對(duì)于研究等離子體的穩(wěn)定性、波的傳播和激發(fā)等問題具有關(guān)鍵作用。2.2強(qiáng)阻尼項(xiàng)的作用與影響強(qiáng)阻尼項(xiàng)在具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程中扮演著至關(guān)重要的角色，其對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生著多方面的深刻影響。從能量角度來看，強(qiáng)阻尼項(xiàng)的主要作用是耗散能量。在實(shí)際的物理系統(tǒng)中，能量的耗散是普遍存在的現(xiàn)象，而強(qiáng)阻尼項(xiàng)正是這種能量耗散機(jī)制在方程中的數(shù)學(xué)體現(xiàn)。例如，在一個(gè)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中，阻尼力會(huì)阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，使得系統(tǒng)的機(jī)械能逐漸轉(zhuǎn)化為熱能等其他形式的能量，從而導(dǎo)致振動(dòng)的振幅逐漸減小。在具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程中，強(qiáng)阻尼項(xiàng)通過與速度相關(guān)的項(xiàng)來實(shí)現(xiàn)能量的耗散。假設(shè)方程中強(qiáng)阻尼項(xiàng)的形式為\alpha\frac{\partialu}{\partialt}（其中\(zhòng)alpha為大于零的阻尼系數(shù)），當(dāng)系統(tǒng)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，\frac{\partialu}{\partialt}不為零，強(qiáng)阻尼項(xiàng)\alpha\frac{\partialu}{\partialt}會(huì)對(duì)系統(tǒng)做功，且該功為負(fù)功，這意味著它會(huì)從系統(tǒng)中吸收能量，進(jìn)而使得系統(tǒng)的總能量逐漸減少。這種能量耗散特性對(duì)解的增長起到了顯著的抑制作用。當(dāng)方程不存在強(qiáng)阻尼項(xiàng)時(shí)，解可能會(huì)隨著時(shí)間的推移而無限增長。例如，對(duì)于一些簡單的線性波動(dòng)方程，在沒有阻尼的情況下，波的振幅可能會(huì)保持不變或者持續(xù)增大，這取決于初始條件和外部激勵(lì)。然而，當(dāng)引入強(qiáng)阻尼項(xiàng)后，情況會(huì)發(fā)生明顯變化。由于強(qiáng)阻尼項(xiàng)不斷地從系統(tǒng)中耗散能量，解的增長會(huì)受到限制，無法無限制地增大。以一個(gè)具體的具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-c^2\Deltau+\alpha\frac{\partialu}{\partialt}=f(u)為例，通過能量估計(jì)法可以得到系統(tǒng)的能量泛函E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}((\frac{\partialu}{\partialt})^2+c^2|\nablau|^2)dx，對(duì)E(t)求導(dǎo)并結(jié)合方程進(jìn)行分析，可得\frac{dE(t)}{dt}=-\alpha\int_{\Omega}(\frac{\partialu}{\partialt})^2dx+\int_{\Omega}f(u)\frac{\partialu}{\partialt}dx。由于-\alpha\int_{\Omega}(\frac{\partialu}{\partialt})^2dx這一項(xiàng)始終為負(fù)，它會(huì)不斷地消耗系統(tǒng)的能量，使得E(t)隨著時(shí)間的增加而逐漸減小，從而有效地抑制了解u的增長。為了更直觀地說明強(qiáng)阻尼項(xiàng)對(duì)解的行為的影響，考慮一個(gè)具體的數(shù)值模擬例子。假設(shè)我們有一個(gè)一維的具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+0.5\frac{\partialu}{\partialt}=u^3，在區(qū)間[0,1]上，滿足邊界條件u(0,t)=u(1,t)=0，初始條件為u(x,0)=\sin(\pix)，\frac{\partialu}{\partialt}(x,0)=0。通過有限差分法對(duì)該方程進(jìn)行數(shù)值求解，我們可以得到不同時(shí)刻解的分布情況。在沒有強(qiáng)阻尼項(xiàng)（即\alpha=0）時(shí)，隨著時(shí)間的增加，解的振幅會(huì)迅速增大，并且在整個(gè)區(qū)間上呈現(xiàn)出劇烈的振蕩。然而，當(dāng)引入強(qiáng)阻尼項(xiàng)（\alpha=0.5）后，解的振幅在初始階段雖然也會(huì)有所增大，但隨著時(shí)間的推移，由于強(qiáng)阻尼項(xiàng)的能量耗散作用，振幅會(huì)逐漸減小，振蕩也會(huì)逐漸減弱，最終趨于平穩(wěn)。這一實(shí)例清晰地展示了強(qiáng)阻尼項(xiàng)能夠改變解的增長趨勢(shì)和振蕩特性，使得系統(tǒng)的行為更加穩(wěn)定和可預(yù)測。此外，強(qiáng)阻尼項(xiàng)還會(huì)影響解的漸近行為。在長時(shí)間的演化過程中，系統(tǒng)會(huì)逐漸趨近于一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)，而強(qiáng)阻尼項(xiàng)在這個(gè)過程中起到了加速收斂的作用。由于強(qiáng)阻尼項(xiàng)持續(xù)地耗散能量，系統(tǒng)能夠更快地?cái)[脫初始條件的影響，進(jìn)入到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的漸近狀態(tài)。例如，在一些熱傳導(dǎo)問題中，強(qiáng)阻尼項(xiàng)可以使得溫度分布更快地達(dá)到平衡狀態(tài)，減少了達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間。在研究具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程的整體吸引子時(shí)，強(qiáng)阻尼項(xiàng)的這種作用使得我們更容易確定吸引子的存在性和性質(zhì)。因?yàn)樗軌驅(qū)⑾到y(tǒng)的所有軌道吸引到一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)，從而滿足整體吸引子的定義。強(qiáng)阻尼項(xiàng)在具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程中具有耗散能量、抑制解的增長、影響解的漸近行為等重要作用，對(duì)理解方程所描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有關(guān)鍵意義。2.3整體吸引子的定義與性質(zhì)在動(dòng)力系統(tǒng)的研究框架下，整體吸引子是一個(gè)極為關(guān)鍵的概念，對(duì)于理解系統(tǒng)的長期行為和演化趨勢(shì)具有核心意義。從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義來講，設(shè)(X,d)是一個(gè)完備的度量空間，S(t)是定義在X上的連續(xù)半群，即滿足S(0)=I（I為恒等映射），S(t+s)=S(t)S(s)對(duì)任意t,s\geq0成立，且S(t)關(guān)于t連續(xù)。若存在X中的一個(gè)非空緊子集A，滿足以下兩個(gè)條件，則稱A為S(t)的整體吸引子：不變性：S(t)A=A，對(duì)于所有t\geq0。這意味著吸引子A在半群S(t)的作用下保持不變，即從吸引子A中的任意一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t的演化，仍然會(huì)落在吸引子A內(nèi)。例如，在一個(gè)簡單的物理振動(dòng)系統(tǒng)中，如果將系統(tǒng)的所有可能的穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)看作吸引子，那么無論經(jīng)過多長時(shí)間的振動(dòng)，系統(tǒng)的狀態(tài)始終會(huì)在這個(gè)吸引子所包含的狀態(tài)集合內(nèi)。吸引性：對(duì)于X中的任意有界子集B，有\(zhòng)lim_{t\to+\infty}d(S(t)B,A)=0，其中d(S(t)B,A)=\sup_{x\inS(t)B}\inf_{y\inA}d(x,y)。這表明吸引子A能夠吸引系統(tǒng)中從任意有界子集出發(fā)的軌道，隨著時(shí)間趨于無窮，這些軌道會(huì)無限接近吸引子A。例如，在一個(gè)化學(xué)反應(yīng)系統(tǒng)中，無論初始反應(yīng)物的濃度如何（只要在有界范圍內(nèi)），隨著反應(yīng)的進(jìn)行，系統(tǒng)最終都會(huì)趨近于由吸引子所描述的穩(wěn)定反應(yīng)狀態(tài)。整體吸引子的不變性和吸引性蘊(yùn)含著深刻的物理和數(shù)學(xué)意義。不變性保證了吸引子作為系統(tǒng)長期行為的一種穩(wěn)定表征，它所包含的狀態(tài)是系統(tǒng)在長時(shí)間演化過程中能夠持續(xù)維持的狀態(tài)。這種穩(wěn)定性使得吸引子在研究系統(tǒng)的漸近行為時(shí)具有重要價(jià)值，因?yàn)樗峁┝艘粋€(gè)不變的參考框架，有助于我們理解系統(tǒng)在長時(shí)間尺度下的動(dòng)力學(xué)特性。吸引性則體現(xiàn)了吸引子對(duì)系統(tǒng)中各種可能狀態(tài)的匯聚作用，它反映了系統(tǒng)在演化過程中的一種趨勢(shì)，即無論初始狀態(tài)如何，系統(tǒng)最終都會(huì)被吸引到吸引子所代表的狀態(tài)集合中。這種吸引作用使得我們能夠?qū)ο到y(tǒng)的未來狀態(tài)進(jìn)行一定程度的預(yù)測，因?yàn)闊o論系統(tǒng)從何處開始，它都會(huì)朝著吸引子所指示的方向發(fā)展。在動(dòng)力系統(tǒng)研究中，整體吸引子占據(jù)著核心地位。它為我們理解系統(tǒng)的長期動(dòng)力學(xué)行為提供了一個(gè)關(guān)鍵的切入點(diǎn)。通過研究整體吸引子，我們可以深入了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性、周期性、混沌性等重要特性。例如，當(dāng)吸引子是一個(gè)單點(diǎn)集時(shí)，說明系統(tǒng)最終會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定的平衡態(tài)；當(dāng)吸引子是一個(gè)周期軌道時(shí)，表明系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出周期性的運(yùn)動(dòng)；而當(dāng)吸引子是一個(gè)具有復(fù)雜分形結(jié)構(gòu)的奇異吸引子時(shí)，則意味著系統(tǒng)可能處于混沌狀態(tài)，其行為具有高度的不確定性和對(duì)初始條件的敏感性。在研究氣象系統(tǒng)時(shí)，整體吸引子可以幫助我們理解氣候的長期變化趨勢(shì)，預(yù)測氣候的穩(wěn)定性和可能出現(xiàn)的極端情況。在研究生態(tài)系統(tǒng)時(shí)，吸引子可以揭示生態(tài)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)和可能的演化方向，對(duì)于生態(tài)保護(hù)和可持續(xù)發(fā)展具有重要的指導(dǎo)意義。三、一類具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程的模型建立3.1方程的具體形式本文深入研究的具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程的具體表達(dá)式為：u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)在上述方程中，u=u(x,t)表示關(guān)于空間變量x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)（x\in\Omega，\Omega是R^n中的有界區(qū)域，具有光滑邊界\partial\Omega）和時(shí)間變量t\geq0的未知函數(shù)。從物理意義上看，u可代表多種物理量，在彈性力學(xué)中，它可能表示彈性體的位移；在熱傳導(dǎo)問題中，可表示溫度分布；在電磁學(xué)中，還能表示電場強(qiáng)度或磁場強(qiáng)度等。不同的物理場景賦予u不同的物理內(nèi)涵，使得該方程在多個(gè)領(lǐng)域都具有重要的應(yīng)用價(jià)值。u_{tt}=\frac{\partial^2u}{\partialt^2}為二階時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)，它描述了u隨時(shí)間的變化加速度，反映了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化特性。在機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中，u_{tt}類似于物體運(yùn)動(dòng)的加速度，決定了物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變快慢。\Deltau=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2u}{\partialx_i^2}是拉普拉斯算子作用于u，用于刻畫u在空間中的變化率，體現(xiàn)了物理量在空間中的擴(kuò)散和傳播特性。例如，在熱傳導(dǎo)過程中，拉普拉斯算子表示熱量在空間中的擴(kuò)散趨勢(shì)，它決定了熱量從高溫區(qū)域向低溫區(qū)域傳遞的速度和方向。強(qiáng)阻尼項(xiàng)\alpha\Deltau_t（其中\(zhòng)alpha>0為阻尼系數(shù)）在方程中起著關(guān)鍵的能量耗散作用。如前文所述，它通過與速度相關(guān)的項(xiàng)（u_t=\frac{\partialu}{\partialt}表示u隨時(shí)間的變化率，類似于速度）來實(shí)現(xiàn)能量的耗散。在實(shí)際的物理系統(tǒng)中，阻尼是普遍存在的現(xiàn)象，它會(huì)阻礙系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，使得系統(tǒng)的能量逐漸減少。例如，在一個(gè)振動(dòng)的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)中，阻尼力會(huì)消耗系統(tǒng)的機(jī)械能，使振動(dòng)逐漸減弱。在該方程中，強(qiáng)阻尼項(xiàng)\alpha\Deltau_t就模擬了這種能量耗散機(jī)制，它對(duì)系統(tǒng)的長時(shí)間行為產(chǎn)生著重要影響，能夠抑制解的增長，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。非線性項(xiàng)f(u)體現(xiàn)了波與波之間、波與介質(zhì)之間的非線性相互作用，是導(dǎo)致方程具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的核心因素。其形式多種多樣，常見的有冪函數(shù)形式f(u)=|u|^pu（p>0）等。不同形式的非線性項(xiàng)會(huì)使方程的解呈現(xiàn)出截然不同的特性。以f(u)=|u|^pu為例，當(dāng)p取不同值時(shí)，方程的解在增長速度、穩(wěn)定性等方面都會(huì)有很大差異。當(dāng)p較小時(shí)，非線性作用相對(duì)較弱，解的行為可能更接近線性方程的解；而當(dāng)p較大時(shí)，非線性作用增強(qiáng)，解可能會(huì)出現(xiàn)諸如爆破、分岔等復(fù)雜現(xiàn)象。g(x)為已知的外力項(xiàng)，它表示系統(tǒng)受到的外部激勵(lì)，其具體形式取決于實(shí)際問題。在不同的物理場景中，外力項(xiàng)的來源和形式各不相同。在聲學(xué)問題中，g(x)可能表示外界施加的聲壓；在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，可能表示作用在結(jié)構(gòu)上的外力分布。外力項(xiàng)的存在會(huì)影響系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和響應(yīng)，它與方程中的其他項(xiàng)相互作用，共同決定了方程解的特性。3.2方程的初邊值條件設(shè)定為了確定方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)的唯一解，需要明確其初始條件和邊界條件。初始條件用于描述系統(tǒng)在初始時(shí)刻的狀態(tài)，它為方程的求解提供了起點(diǎn)，反映了系統(tǒng)的初始能量、位置等信息。邊界條件則規(guī)定了系統(tǒng)在邊界上的行為，它體現(xiàn)了系統(tǒng)與外界環(huán)境的相互作用，對(duì)解在整個(gè)區(qū)域內(nèi)的分布和性質(zhì)有著重要影響。初始條件設(shè)定如下：\begin{cases}u(x,0)=u_0(x),&x\in\Omega\\u_t(x,0)=u_1(x),&x\in\Omega\end{cases}其中，u_0(x)和u_1(x)是給定的已知函數(shù)。在實(shí)際物理問題中，u_0(x)代表物理量u在初始時(shí)刻t=0時(shí)在空間區(qū)域\Omega上的分布。例如，在研究彈性桿的振動(dòng)時(shí)，u_0(x)可以表示彈性桿在初始時(shí)刻的位移分布；在熱傳導(dǎo)問題中，u_0(x)可表示初始時(shí)刻的溫度分布。u_1(x)則表示物理量u在初始時(shí)刻的變化率分布，即速度分布（在振動(dòng)問題中）或熱流密度分布（在熱傳導(dǎo)問題中）等。邊界條件采用Dirichlet邊界條件：u(x,t)=0,\quadx\in\partial\Omega,t\geq0Dirichlet邊界條件表示在邊界\partial\Omega上，物理量u的值始終為零。這種邊界條件在許多實(shí)際問題中具有明確的物理意義。例如，在研究一個(gè)固定兩端的彈性弦的振動(dòng)時(shí)，弦的兩端固定在支撐點(diǎn)上，其位移始終為零，這就對(duì)應(yīng)了Dirichlet邊界條件。在研究有界區(qū)域內(nèi)的熱傳導(dǎo)問題時(shí)，如果邊界保持恒溫（設(shè)為零），也可以用Dirichlet邊界條件來描述。這種邊界條件的選擇與實(shí)際問題的物理背景密切相關(guān)，它限制了物理量在邊界上的取值，從而影響了整個(gè)區(qū)域內(nèi)物理量的分布和變化。通過給定合適的初始條件和邊界條件，可以將具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程與具體的物理問題緊密聯(lián)系起來，使得方程能夠準(zhǔn)確地描述實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，為進(jìn)一步研究方程的解以及整體吸引子的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。3.3模型的物理背景與應(yīng)用場景該具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)在物理學(xué)和工程學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域有著深厚的物理背景和廣泛的應(yīng)用場景。在物理學(xué)中，它可用于描述彈性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。例如，在研究橋梁、建筑等大型彈性結(jié)構(gòu)在外界荷載作用下的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，方程中的u可表示結(jié)構(gòu)的位移，u_{tt}反映了結(jié)構(gòu)振動(dòng)的加速度，\Deltau體現(xiàn)了位移在空間上的變化率，強(qiáng)阻尼項(xiàng)\alpha\Deltau_t模擬了結(jié)構(gòu)在振動(dòng)過程中由于材料內(nèi)摩擦、空氣阻力等因素導(dǎo)致的能量耗散，非線性項(xiàng)f(u)則考慮了材料在大變形情況下的非線性力學(xué)行為，如材料的非線性彈性、塑性等，而g(x)可代表外界施加的荷載，如風(fēng)力、地震力等。通過求解該方程，可以預(yù)測彈性結(jié)構(gòu)在不同工況下的振動(dòng)特性，為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和安全評(píng)估提供重要依據(jù)。在波的傳播領(lǐng)域，該方程具有重要的應(yīng)用價(jià)值。以地震波的傳播為例，地球介質(zhì)可視為具有一定阻尼特性的非線性介質(zhì)，地震波在其中傳播時(shí)，方程中的u可以表示地震波引起的介質(zhì)位移或應(yīng)力，\Deltau描述了地震波在空間中的擴(kuò)散和傳播特性，強(qiáng)阻尼項(xiàng)\alpha\Deltau_t反映了地震波在傳播過程中由于介質(zhì)的粘性、摩擦等因素導(dǎo)致的能量衰減，這種能量衰減使得地震波的振幅隨著傳播距離的增加而逐漸減小。非線性項(xiàng)f(u)考慮了地球介質(zhì)在強(qiáng)地震作用下的非線性響應(yīng)，如介質(zhì)的非線性彈性、塑性變形等，這些非線性效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致地震波的波形發(fā)生畸變、頻率成分發(fā)生變化等復(fù)雜現(xiàn)象。g(x)可以表示地震的震源機(jī)制，即地震波的初始激發(fā)源。通過研究該方程，可以深入理解地震波在地球內(nèi)部的傳播規(guī)律，提高地震預(yù)測的準(zhǔn)確性，為地震災(zāi)害的預(yù)防和減輕提供理論支持。在聲學(xué)領(lǐng)域，該方程可用于描述聲波在非線性聲學(xué)介質(zhì)中的傳播。例如，在研究高強(qiáng)度超聲波在生物組織中的傳播時(shí)，生物組織可看作是具有強(qiáng)阻尼和非線性特性的介質(zhì)。方程中的u可表示聲壓或質(zhì)點(diǎn)位移，u_{tt}表示聲壓或質(zhì)點(diǎn)位移隨時(shí)間的變化加速度，\Deltau體現(xiàn)了聲壓或質(zhì)點(diǎn)位移在空間中的變化率，強(qiáng)阻尼項(xiàng)\alpha\Deltau_t模擬了聲波在生物組織中傳播時(shí)由于組織的粘性、熱傳導(dǎo)等因素導(dǎo)致的能量損耗，這種能量損耗會(huì)使聲波的強(qiáng)度逐漸減弱。非線性項(xiàng)f(u)考慮了生物組織在高強(qiáng)度超聲波作用下的非線性聲學(xué)效應(yīng)，如非線性聲吸收、諧波產(chǎn)生等，這些非線性效應(yīng)對(duì)于醫(yī)學(xué)超聲成像、超聲治療等應(yīng)用具有重要影響。g(x)可以表示超聲換能器發(fā)出的初始聲波。通過求解該方程，可以更好地理解聲波在生物組織中的傳播特性，優(yōu)化超聲診斷和治療技術(shù)，提高醫(yī)學(xué)超聲的應(yīng)用效果。在電子學(xué)中，該方程可用于描述非線性傳感器的振動(dòng)。一些新型的傳感器，如微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）傳感器，在工作過程中會(huì)表現(xiàn)出非線性的振動(dòng)特性。方程中的u可表示傳感器的振動(dòng)位移，u_{tt}反映了振動(dòng)的加速度，\Deltau體現(xiàn)了位移在空間上的變化情況，強(qiáng)阻尼項(xiàng)\alpha\Deltau_t模擬了傳感器在振動(dòng)過程中由于空氣阻尼、結(jié)構(gòu)內(nèi)摩擦等因素導(dǎo)致的能量損失，這種能量損失會(huì)影響傳感器的靈敏度和響應(yīng)時(shí)間。非線性項(xiàng)f(u)考慮了傳感器材料在大變形情況下的非線性力學(xué)行為以及傳感器結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，這些非線性因素會(huì)導(dǎo)致傳感器的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系。g(x)可以表示外界作用在傳感器上的物理量，如壓力、加速度等。通過研究該方程，可以深入了解非線性傳感器的振動(dòng)特性，優(yōu)化傳感器的設(shè)計(jì)，提高傳感器的性能和可靠性。四、解的適定性分析4.1Galerkin逼近方法Galerkin逼近方法是求解偏微分方程的一種重要的數(shù)值方法，其基本原理基于變分原理和加權(quán)余量法。在求解具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程時(shí)，Galerkin逼近方法的核心思想是將方程的解近似表示為一組已知基函數(shù)的線性組合，通過將方程投影到由這些基函數(shù)張成的有限維子空間上，把無窮維的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為有限維的常微分方程組問題，從而簡化問題的求解過程。具體而言，設(shè)H是一個(gè)Hilbert空間，\{w_n\}_{n=1}^{\infty}是H中的一組完備正交基。對(duì)于所研究的具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)，我們假設(shè)其近似解u_m(x,t)可以表示為：u_m(x,t)=\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x)其中，a_n(t)是關(guān)于時(shí)間t的待定系數(shù)，m為有限維子空間的維數(shù)。通過選擇合適的基函數(shù)\{w_n\}，如三角函數(shù)系、多項(xiàng)式函數(shù)系等，我們可以使近似解u_m(x,t)滿足一定的邊界條件，從而更好地逼近原方程的解。將u_m(x,t)代入具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)中，得到：\sum_{n=1}^{m}a_n''(t)w_n(x)-\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))+\alpha\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)w_n(x))+f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))=g(x)為了確定系數(shù)a_n(t)，我們?cè)贖中選取測試函數(shù)w_j(x)（j=1,2,\cdots,m），并在區(qū)域\Omega上對(duì)上述方程兩邊同時(shí)與w_j(x)作內(nèi)積，即：\int_{\Omega}(\sum_{n=1}^{m}a_n''(t)w_n(x)-\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))+\alpha\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)w_n(x))+f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x)))w_j(x)dx=\int_{\Omega}g(x)w_j(x)dx利用基函數(shù)的正交性\int_{\Omega}w_n(x)w_j(x)dx=\delta_{nj}（\delta_{nj}為Kronecker符號(hào)，當(dāng)n=j時(shí)，\delta_{nj}=1；當(dāng)n\neqj時(shí)，\delta_{nj}=0）以及一些積分運(yùn)算和微分運(yùn)算規(guī)則，對(duì)上述等式進(jìn)行化簡。根據(jù)分部積分公式\int_{\Omega}u\Deltavdx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablavdx+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partial\nu}dS（其中\(zhòng)frac{\partialv}{\partial\nu}表示v沿邊界\partial\Omega的外法向?qū)?shù)），對(duì)于\int_{\Omega}\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_j(x)dx，有：\int_{\Omega}\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_j(x)dx=-\int_{\Omega}\nabla(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))\cdot\nablaw_j(x)dx+\int_{\partial\Omega}(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))\frac{\partialw_j(x)}{\partial\nu}dS由于我們選擇的基函數(shù)w_n(x)滿足Dirichlet邊界條件w_n(x)|_{\partial\Omega}=0，所以\int_{\partial\Omega}(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))\frac{\partialw_j(x)}{\partial\nu}dS=0，則\int_{\Omega}\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_j(x)dx=-\int_{\Omega}\nabla(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))\cdot\nablaw_j(x)dx。同理，對(duì)于\int_{\Omega}\alpha\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)w_n(x))w_j(x)dx，有\(zhòng)int_{\Omega}\alpha\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)w_n(x))w_j(x)dx=-\alpha\int_{\Omega}\nabla(\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)w_n(x))\cdot\nablaw_j(x)dx。將上述結(jié)果代入\int_{\Omega}(\sum_{n=1}^{m}a_n''(t)w_n(x)-\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))+\alpha\Delta(\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)w_n(x))+f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x)))w_j(x)dx=\int_{\Omega}g(x)w_j(x)dx中，得到：\sum_{n=1}^{m}a_n''(t)\int_{\Omega}w_n(x)w_j(x)dx+\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx-\alpha\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx+\int_{\Omega}f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_j(x)dx=\int_{\Omega}g(x)w_j(x)dx再利用基函數(shù)的正交性\int_{\Omega}w_n(x)w_j(x)dx=\delta_{nj}，進(jìn)一步化簡為：a_j''(t)+\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx-\alpha\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx+\int_{\Omega}f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_j(x)dx=\int_{\Omega}g(x)w_j(x)dx這樣，我們就得到了關(guān)于系數(shù)a_n(t)（n=1,2,\cdots,m）的一組常微分方程組，記為：\begin{cases}a_1''(t)+\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_1(x)dx-\alpha\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_1(x)dx+\int_{\Omega}f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_1(x)dx=\int_{\Omega}g(x)w_1(x)dx\\a_2''(t)+\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_2(x)dx-\alpha\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_2(x)dx+\int_{\Omega}f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_2(x)dx=\int_{\Omega}g(x)w_2(x)dx\\\cdots\\a_m''(t)+\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_m(x)dx-\alpha\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_m(x)dx+\int_{\Omega}f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_m(x)dx=\int_{\Omega}g(x)w_m(x)dx\end{cases}這是一個(gè)含有m個(gè)未知函數(shù)a_n(t)的二階常微分方程組，同時(shí)，根據(jù)初始條件u(x,0)=u_0(x)，u_t(x,0)=u_1(x)，我們可以得到關(guān)于a_n(0)和a_n'(0)的初始條件：\begin{cases}\sum_{n=1}^{m}a_n(0)w_n(x)=u_0(x)\\\sum_{n=1}^{m}a_n'(0)w_n(x)=u_1(x)\end{cases}對(duì)上述方程組兩邊同時(shí)與w_j(x)作內(nèi)積，利用基函數(shù)的正交性，可得：\begin{cases}a_j(0)=\int_{\Omega}u_0(x)w_j(x)dx\\a_j'(0)=\int_{\Omega}u_1(x)w_j(x)dx\end{cases}這樣，我們就得到了一個(gè)完整的常微分方程組初值問題。通過求解這個(gè)常微分方程組初值問題，我們可以得到系數(shù)a_n(t)（n=1,2,\cdots,m），進(jìn)而得到具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程的近似解u_m(x,t)=\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x)。隨著m的不斷增大，近似解u_m(x,t)在一定條件下會(huì)收斂到原方程的精確解u(x,t)。在實(shí)際應(yīng)用中，我們可以根據(jù)具體問題的精度要求和計(jì)算資源，選擇合適的m值，以獲得滿足需求的近似解。4.2解的存在性證明利用Galerkin逼近方法得到的逼近解序列，我們可以進(jìn)一步證明具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)弱解的存在性。首先，對(duì)逼近解序列\(zhòng){u_m(x,t)\}進(jìn)行能量估計(jì)，以獲取其在特定函數(shù)空間中的有界性信息。對(duì)Galerkin逼近方程兩邊同時(shí)乘以a_j'(t)，并對(duì)j=1,2,\cdots,m求和，然后在區(qū)域\Omega上積分，得到：\begin{align*}&\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}a_j''(t)a_j'(t)w_j(x)dx+\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dxa_j'(t)\\&-\alpha\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dxa_j'(t)+\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_j(x)dxa_j'(t)\\&=\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}g(x)w_j(x)dxa_j'(t)\end{align*}對(duì)于\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}a_j''(t)a_j'(t)w_j(x)dx，根據(jù)積分的基本性質(zhì)，\inta_j''(t)a_j'(t)dt=\frac{1}{2}(a_j'(t))^2+C，所以\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}a_j''(t)a_j'(t)w_j(x)dx=\frac{1}{2}\fraci6yyce2{dt}\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}(a_j'(t))^2w_j(x)dx。對(duì)于\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dxa_j'(t)，根據(jù)分部積分公式\int_{\Omega}u\Deltavdx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablavdx+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partial\nu}dS，由于基函數(shù)滿足Dirichlet邊界條件，邊界項(xiàng)為0，所以\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dxa_j'(t)=\frac{1}{2}\fraccu2my26{dt}\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n(t)a_j(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx。對(duì)于-\alpha\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dxa_j'(t)，因?yàn)閈int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx是一個(gè)常數(shù)（與t無關(guān)），所以-\alpha\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n'(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dxa_j'(t)=-\alpha\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx(a_j'(t))^2，其小于等于0，這體現(xiàn)了強(qiáng)阻尼項(xiàng)的耗散作用，它會(huì)使系統(tǒng)的能量逐漸減少。對(duì)于\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}f(\sum_{n=1}^{m}a_n(t)w_n(x))w_j(x)dxa_j'(t)，根據(jù)非線性項(xiàng)f(u)的性質(zhì)（例如，假設(shè)f(u)滿足一定的增長條件，如|f(u)|\leqC(1+|u|^p)，p為某個(gè)正數(shù)），可以對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}g(x)w_j(x)dxa_j'(t)，根據(jù)g(x)的性質(zhì)（假設(shè)g(x)在L^2(\Omega)中），也可以對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。綜合以上各項(xiàng)，我們可以得到關(guān)于\sum_{j=1}^{m}\int_{\Omega}(a_j'(t))^2w_j(x)dx和\sum_{j=1}^{m}\sum_{n=1}^{m}a_n(t)a_j(t)\int_{\Omega}\nablaw_n(x)\cdot\nablaw_j(x)dx的能量估計(jì)不等式。通過對(duì)這個(gè)能量估計(jì)不等式在時(shí)間區(qū)間[0,T]上積分，并利用Gronwall不等式，可以得到逼近解序列\(zhòng){u_m(x,t)\}及其一階導(dǎo)數(shù)\{u_{mt}(x,t)\}在L^2(0,T;H_0^1(\Omega))和L^2(0,T;L^2(\Omega))中的有界性，即存在常數(shù)C，使得：\begin{cases}\int_{0}^{T}\|u_m(t)\|_{H_0^1(\Omega)}^2dt\leqC\\\int_{0}^{T}\|u_{mt}(t)\|_{L^2(\Omega)}^2dt\leqC\end{cases}這意味著逼近解序列\(zhòng){u_m(x,t)\}在L^2(0,T;H_0^1(\Omega))中有界，\{u_{mt}(x,t)\}在L^2(0,T;L^2(\Omega))中有界。根據(jù)弱收斂的性質(zhì)，有界序列在相應(yīng)的函數(shù)空間中存在弱收斂子列。所以存在\{u_m(x,t)\}的子列（仍記為\{u_m(x,t)\}），使得：\begin{cases}u_m\rightharpoonupu&\text{??¨}L^2(0,T;H_0^1(\Omega))\text{??-??±??????}\\u_{mt}\rightharpoonupu_t&\text{??¨}L^2(0,T;L^2(\Omega))\text{??-??±??????}\end{cases}接下來，需要證明u(x,t)就是原方程的弱解。對(duì)于任意的測試函數(shù)\varphi(x)\inH_0^1(\Omega)，將Galerkin逼近方程兩邊同時(shí)乘以\varphi(x)，并在區(qū)域\Omega上積分，得到：\begin{align*}&\int_{\Omega}u_{mt}(x,t)\varphi(x)dx+\int_{\Omega}\nablau_m(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx-\alpha\int_{\Omega}\nablau_{mt}(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx\\&+\int_{\Omega}f(u_m(x,t))\varphi(x)dx=\int_{\Omega}g(x)\varphi(x)dx\end{align*}當(dāng)m\to\infty時(shí)，對(duì)上式取極限。根據(jù)弱收斂的性質(zhì)，\int_{\Omega}u_{mt}(x,t)\varphi(x)dx\to\int_{\Omega}u_t(x,t)\varphi(x)dx，\int_{\Omega}\nablau_m(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx\to\int_{\Omega}\nablau(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx，-\alpha\int_{\Omega}\nablau_{mt}(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx\to-\alpha\int_{\Omega}\nablau_t(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx。對(duì)于\int_{\Omega}f(u_m(x,t))\varphi(x)dx，根據(jù)非線性項(xiàng)f(u)的性質(zhì)（例如，假設(shè)f(u)是連續(xù)的，并且滿足一定的增長條件），利用弱收斂的相關(guān)定理（如Mazur引理等），可以證明\int_{\Omega}f(u_m(x,t))\varphi(x)dx\to\int_{\Omega}f(u(x,t))\varphi(x)dx。因此，當(dāng)m\to\infty時(shí)，得到：\int_{\Omega}u_t(x,t)\varphi(x)dx+\int_{\Omega}\nablau(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx-\alpha\int_{\Omega}\nablau_t(x,t)\cdot\nabla\varphi(x)dx+\int_{\Omega}f(u(x,t))\varphi(x)dx=\int_{\Omega}g(x)\varphi(x)dx這表明u(x,t)滿足原方程的弱解定義，即u(x,t)是具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)在給定初邊值條件下的弱解。從而證明了該方程弱解的存在性。4.3解的唯一性證明設(shè)u_1(x,t)和u_2(x,t)是具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)在給定初邊值條件下的兩個(gè)弱解，即：\begin{cases}(u_1)_{tt}-\Deltau_1+\alpha\Delta(u_1)_t+f(u_1)=g(x)\\(u_2)_{tt}-\Deltau_2+\alpha\Delta(u_2)_t+f(u_2)=g(x)\end{cases}且滿足相同的初始條件u_1(x,0)=u_2(x,0)=u_0(x)，(u_1)_t(x,0)=(u_2)_t(x,0)=u_1(x)以及Dirichlet邊界條件u_1(x,t)=u_2(x,t)=0，x\in\partial\Omega，t\geq0。令v(x,t)=u_1(x,t)-u_2(x,t)，則v(x,t)滿足如下方程：v_{tt}-\Deltav+\alpha\Deltav_t+f(u_1)-f(u_2)=0初始條件為v(x,0)=0，v_t(x,0)=0，邊界條件為v(x,t)=0，x\in\partial\Omega，t\geq0。為了證明v(x,t)\equiv0，即u_1(x,t)=u_2(x,t)，我們采用能量方法對(duì)v(x,t)進(jìn)行估計(jì)。首先，對(duì)v_{tt}-\Deltav+\alpha\Deltav_t+f(u_1)-f(u_2)=0兩邊同時(shí)乘以v_t，并在區(qū)域\Omega上積分，得到：\int_{\Omega}v_{tt}v_tdx-\int_{\Omega}\Deltavv_tdx+\alpha\int_{\Omega}\Deltav_tv_tdx+\int_{\Omega}(f(u_1)-f(u_2))v_tdx=0對(duì)于\int_{\Omega}v_{tt}v_tdx，根據(jù)積分公式\inta_ta_tdt=\frac{1}{2}a_t^2+C，可得\int_{\Omega}v_{tt}v_tdx=\frac{1}{2}\fracyc2amei{dt}\int_{\Omega}(v_t)^2dx。對(duì)于-\int_{\Omega}\Deltavv_tdx，利用分部積分公式\int_{\Omega}u\Deltavdx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablavdx+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partial\nu}dS，由于v(x,t)滿足Dirichlet邊界條件v(x,t)=0，x\in\partial\Omega，所以\int_{\partial\Omega}v\frac{\partialv_t}{\partial\nu}dS=0，則-\int_{\Omega}\Deltavv_tdx=\int_{\Omega}\nablav\cdot\nablav_tdx=\frac{1}{2}\fracecoce62{dt}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx。對(duì)于\alpha\int_{\Omega}\Deltav_tv_tdx，因?yàn)閈int_{\Omega}\Deltav_tv_tdx=-\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dx（同樣利用分部積分和邊界條件），所以\alpha\int_{\Omega}\Deltav_tv_tdx=-\alpha\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dx\leq0，這體現(xiàn)了強(qiáng)阻尼項(xiàng)的耗散作用，它會(huì)使v相關(guān)的能量逐漸減少。對(duì)于\int_{\Omega}(f(u_1)-f(u_2))v_tdx，根據(jù)非線性項(xiàng)f(u)的性質(zhì)，假設(shè)f(u)滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L，使得|f(u_1)-f(u_2)|\leqL|u_1-u_2|=L|v|。則\int_{\Omega}(f(u_1)-f(u_2))v_tdx\leqL\int_{\Omega}|v||v_t|dx。由Young不等式ab\leq\frac{a^2}{2\epsilon}+\frac{\epsilonb^2}{2}（對(duì)于任意a,b\inR和\epsilon>0），對(duì)于L\int_{\Omega}|v||v_t|dx，令a=L|v|，b=|v_t|，\epsilon=1，可得L\int_{\Omega}|v||v_t|dx\leq\frac{L^2}{2}\int_{\Omega}v^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}(v_t)^2dx。將上述各項(xiàng)估計(jì)結(jié)果代入\int_{\Omega}v_{tt}v_tdx-\int_{\Omega}\Deltavv_tdx+\alpha\Deltav_tv_tdx+\int_{\Omega}(f(u_1)-f(u_2))v_tdx=0中，得到：\frac{1}{2}\fracsqma6ma{dt}\int_{\Omega}(v_t)^2dx+\frac{1}{2}\frac4goi2au{dt}\int_{\Omega}|\nablav|^2dx-\alpha\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dx+\frac{L^2}{2}\int_{\Omega}v^2dx+\frac{1}{2}\int_{\Omega}(v_t)^2dx\geq0整理可得：\frac6cam642{dt}\left(\int_{\Omega}(v_t)^2dx+\int_{\Omega}|\nablav|^2dx\right)+L^2\int_{\Omega}v^2dx\leq2\alpha\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dx設(shè)能量泛函E(t)=\int_{\Omega}(v_t)^2dx+\int_{\Omega}|\nablav|^2dx，則上式可寫為\frac{dE(t)}{dt}+L^2\int_{\Omega}v^2dx\leq2\alpha\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dx。因?yàn)関(x,0)=0，v_t(x,0)=0，所以E(0)=0。又因?yàn)閈int_{\Omega}|\nablav_t|^2dx\geq0，\int_{\Omega}v^2dx\geq0，對(duì)\frac{dE(t)}{dt}+L^2\int_{\Omega}v^2dx\leq2\alpha\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dx兩邊從0到t積分，得到：E(t)-E(0)+L^2\int_{0}^{t}\int_{\Omega}v^2dxds\leq2\alpha\int_{0}^{t}\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dxds即E(t)+L^2\int_{0}^{t}\int_{\Omega}v^2dxds\leq2\alpha\int_{0}^{t}\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dxds。由于E(0)=0，且E(t)\geq0，\int_{0}^{t}\int_{\Omega}v^2dxds\geq0，\int_{0}^{t}\int_{\Omega}|\nablav_t|^2dxds\geq0，所以E(t)=0，\int_{0}^{t}\int_{\Omega}v^2dxds=0，對(duì)于任意t\geq0。因?yàn)镋(t)=\int_{\Omega}(v_t)^2dx+\int_{\Omega}|\nablav|^2dx=0，且(v_t)^2\geq0，|\nablav|^2\geq0，所以v_t(x,t)=0，\nablav(x,t)=0，在\Omega\times[0,+\infty)上幾乎處處成立。又因?yàn)関(x,0)=0，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可知v(x,t)\equiv0，在\Omega\times[0,+\infty)上成立。這就證明了具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)在給定初邊值條件下的解是唯一的。4.4解的正則性研究在證明了具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程解的存在性與唯一性后，深入探究解的正則性是進(jìn)一步理解方程動(dòng)力學(xué)行為的關(guān)鍵。通過對(duì)方程進(jìn)行更高階的能量估計(jì)，可揭示解在更高階空間中的性質(zhì)。對(duì)具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)兩邊同時(shí)乘以u(píng)_{tt}，并在區(qū)域\Omega上積分，得到：\int_{\Omega}u_{tt}u_{ttdx}-\int_{\Omega}\Deltauu_{ttdx}+\alpha\int_{\Omega}\Deltau_tu_{ttdx}+\int_{\Omega}f(u)u_{ttdx}=\int_{\Omega}g(x)u_{ttdx}對(duì)于\int_{\Omega}u_{tt}u_{ttdx}，其值為\int_{\Omega}(u_{tt})^2dx，這一項(xiàng)反映了u關(guān)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)的能量。對(duì)于-\int_{\Omega}\Deltauu_{ttdx}，利用分部積分公式\int_{\Omega}u\Deltavdx=-\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablavdx+\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialv}{\partial\nu}dS，由于邊界條件u(x,t)=0，x\in\partial\Omega，所以邊界項(xiàng)\int_{\partial\Omega}u\frac{\partialu_{tt}}{\partial\nu}dS=0，則-\int_{\Omega}\Deltauu_{ttdx}=\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablau_{ttdx}。對(duì)于\alpha\int_{\Omega}\Deltau_tu_{ttdx}，同樣利用分部積分和邊界條件，可得\alpha\int_{\Omega}\Deltau_tu_{ttdx}=-\alpha\int_{\Omega}|\nablau_{tt}|^2dx，這體現(xiàn)了強(qiáng)阻尼項(xiàng)對(duì)更高階能量的耗散作用。對(duì)于\int_{\Omega}f(u)u_{ttdx}，根據(jù)非線性項(xiàng)f(u)的性質(zhì)，假設(shè)f(u)滿足一定的增長條件，如|f(u)|\leqC(1+|u|^p)，p為某個(gè)正數(shù)，可對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于\int_{\Omega}g(x)u_{ttdx}，根據(jù)g(x)的性質(zhì)（假設(shè)g(x)在H^k(\Omega)中，k為適當(dāng)?shù)恼麛?shù)），也可對(duì)其進(jìn)行估計(jì)。綜合以上各項(xiàng)，得到關(guān)于\int_{\Omega}(u_{tt})^2dx和\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablau_{ttdx}的能量估計(jì)不等式。通過對(duì)這個(gè)能量估計(jì)不等式在時(shí)間區(qū)間[0,T]上積分，并利用Gronwall不等式，可以得到u_{tt}在L^2(0,T;L^2(\Omega))和\nablau_{tt}在L^2(0,T;L^2(\Omega))中的有界性估計(jì)。進(jìn)一步，對(duì)u_{t}求空間導(dǎo)數(shù)，將方程兩邊同時(shí)乘以\Deltau_{t}，并在區(qū)域\Omega上積分，按照類似的步驟進(jìn)行能量估計(jì)，可得到\Deltau_{t}在L^2(0,T;L^2(\Omega))中的有界性估計(jì)。結(jié)合前面得到的u在L^2(0,T;H_0^1(\Omega))和u_{t}在L^2(0,T;L^2(\Omega))中的有界性，利用Sobolev嵌入定理等相關(guān)理論，可以推斷出解u在更高階空間H^s(\Omega)（s為適當(dāng)?shù)恼龑?shí)數(shù)）中的性質(zhì)。例如，若能證明u，u_{t}，u_{tt}以及它們的空間導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)空間中的有界性，可說明解u具有更高的正則性，即解u在空間和時(shí)間上的光滑性更好，這對(duì)于深入理解方程所描述的物理現(xiàn)象和系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為具有重要意義。五、整體吸引子的存在性證明5.1能量估計(jì)方法能量估計(jì)方法是研究偏微分方程解的性質(zhì)以及整體吸引子存在性的重要手段。對(duì)于具強(qiáng)阻尼項(xiàng)非線性波動(dòng)方程u_{tt}-\Deltau+\alpha\Deltau_t+f(u)=g(x)，構(gòu)造合適的能量泛函是能量估計(jì)的關(guān)鍵步驟?；诜匠痰慕Y(jié)構(gòu)和各項(xiàng)的物理意義，定義能量泛函E(t)如下：E(t)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(u_t^2+|\nablau|^2)dx+\int_{\Omega}F(u)dx-\int_{\Omega}g(x)udx其中，F(xiàn)(u)是f(u)的原函數(shù)，即F^\prime(u)=f(u)。\frac{1}{2}\int_{\Omega}u_t^2dx表示動(dòng)能部分，它反映了u隨時(shí)間變化的能量；\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nablau|^2dx代表勢(shì)能部分，體現(xiàn)了u在空間分布上的能量；\int_{\Omega}F(u)dx與非線性項(xiàng)f(u)相關(guān)，刻畫了非線性作用對(duì)能量的影響；-\int_{\Omega}g(x)udx則考慮了外力項(xiàng)g(x)對(duì)系統(tǒng)能量的貢獻(xiàn)。對(duì)能量泛函E(t)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，利用乘積求導(dǎo)法則(uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime以及積分與求導(dǎo)的交換法則（在滿足一定條件下），可得：\begin{align*}\frac{dE(t)}{dt}&=\frac{1}{2}\frac42iymsu{dt}\int_{\Omega}u_t^2dx+\frac{1}{2}\fracyk624sy{dt}\int_{\Omega}|\nablau|^2dx+\fracm6msyqc{dt}\int_{\Omega}F(u)dx-\fracg6osyke{dt}\int_{\Omega}g(x)udx\\&=\int_{\Omega}u_tu_{tt}dx+\int_{\Omega}\nablau\cdot\nablau_tdx+\int_{\Omega}f(u)u_tdx-\int_{\Omega}g(x)u_tdx\e