第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡匯交力系分為平面匯交力系和空間匯交力系。力系中各力的作用線匯交于一點(diǎn)，且位于同一平面內(nèi)的力系稱為平面匯交力系；力系中各力作用線匯交于一點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)的力系稱為空間匯交力系。平面匯交力系是一種最簡單的基本力系。本節(jié)將采用幾何法和解析法研究平面匯交力系的合成和平衡問題。一、平面匯交力系合成與平衡的幾何法1．平面匯交力系的合成設(shè)有作用于剛體上匯交于同一點(diǎn)O的三個力F1

、F2

、F3

，如圖2-1（a）所示。根據(jù)力的可傳性原理，可以將各力沿著其作用線移至O點(diǎn)，成為平面共點(diǎn)力系［圖2-1（b）］，依據(jù)力的三角形法則，將這些力依次相加。下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡在O點(diǎn)，按照一定的比例尺做矢量OA，要求OA=F1

，再從A點(diǎn)做矢量AB，要求AB平行且等于F2

，于是根據(jù)力的三角形法則可知矢量OB即表示力F1

和F2

的合力F12

［圖2-1（c）］。同理，再從B點(diǎn)做矢量BC平行且等于F3

，于是矢量OC即表示力F12

與F3

的合力，也就是F1

、F2

和F3

的合力FR

。其大小和方向都可以在圖上測量得出。合力的作用線通過匯交點(diǎn)O［圖2-1（d）］。應(yīng)該指出，在圖2-1（c）中，中間矢量OB可以不必畫出，只要把各個矢量首尾相接，形成多邊形OABC，最后將F1

的始端A與F3

的末端C相連，得到的矢量OC就是合力FR的大小與方向。這個多邊形OABC稱為力多邊形。代表合力的OC邊稱為力多邊形的封閉邊。這種用力的多邊形來求合力的方法就是平面匯交力系合成的幾何法，稱為力多邊形法則。上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡其實(shí)，力的疊加順序可以任意改變，因?yàn)槭噶考臃M足交換律。不同的力疊加順序?qū)⒌玫讲煌螤畹牧Χ噙呅危鐖D2-1（e）為按照F2

、F3

、F1

的順序疊加的情況。可以看出，雖然力多邊形的形狀截然不同，但最后的合成結(jié)果完全一樣。由此可得到力多邊形的矢序規(guī)則如下：①各分力的矢量沿著環(huán)繞力多邊形邊界的同一方向首尾相接。由此而組成的力多邊形OABC上有缺口，故稱為不封閉的力多邊形。②合力矢等于封閉邊，箭頭與最后一個分力矢的箭頭相碰。③力的合成與力矢的先后次序無關(guān)。上述方法可以進(jìn)一步推廣到平面匯交力系有n個力的情形，可得出如下結(jié)論：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個合力，合力的作用線通過力系的匯交點(diǎn)，合力矢等于原力系中所有力的矢量和，可由力多邊形的封閉邊來表示。上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡2．平面匯交力系的平衡根據(jù)上面的分析可以知道，平面匯交力系合成的結(jié)果通常是一個不等于零的合力。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是，力系的合力等于零。其矢量表達(dá)式為力系平衡的幾何條件是，力系的力多邊形自行封閉，如圖2-2所示。上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡二、平面匯交力系合成與平衡的解析法1．力在坐標(biāo)軸上的投影設(shè)力F作用于A點(diǎn)，如圖2-4所示。在力F作用線所在的平面內(nèi)任意取坐標(biāo)系Oxy，從力矢AB兩端向x軸、y軸作垂線，得垂足a、b和a‘、b’，則線段ab和a‘b’分別稱為力F在x軸和y軸上的投影，記作Fx和Fy

。投影的符號規(guī)定為，從a到b（或從a‘到b’）的指向，即與坐標(biāo)軸的正向相同為正，反之為負(fù)。如已知力F的大小F和力F與x軸及y軸的正向間夾角分別為α、β，則由圖2-4可知：上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡即力在某軸上的投影等于力的大小乘以力與該軸方向間夾角的余弦。該定義對于力的投影值是正或負(fù)的情況都同樣適合，也適合任何一種矢量在軸上的投影。若將力F沿正交的x、y坐標(biāo)軸方向分解，如圖2-4所示，則所得的分力Fx和Fy的大小與力F在相應(yīng)的軸上的投影Fx和Fy的絕對值相等。但是當(dāng)Ox、Oy兩軸不正交時，沒有上述關(guān)系。此外還應(yīng)注意，力的投影是代數(shù)量，而力的分力是矢量，投影不必指明作用點(diǎn)，而分力必須作用在原力的作用點(diǎn)。上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡反之，若已知力F在正交坐標(biāo)軸上的投影為Fx

和Fy

，則由幾何關(guān)系可求出力F的大小和方向?yàn)槭街校篶osα和cosβ稱為力F的方向余弦。2．合力投影定理設(shè)有一平面匯交力系(F1

，F(xiàn)2

，F(xiàn)3)，作用線相交于點(diǎn)O［圖2-5（a）］，從平面內(nèi)任意一點(diǎn)A作力多邊形ABCD，則矢量AD即表示該力系的合力FR的大小與方向。上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡取坐標(biāo)系Oxy，將所有的力投影到x軸上，由圖2-5（b）可知：將上述關(guān)系推廣到有任意n個力組成的平面匯交力系中，得上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡即合力在任意坐標(biāo)軸上的投影等于各分力在同一坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。為了表達(dá)簡便，各分力在x軸和y軸上的代數(shù)和常簡單記為∑Fx和∑Fy。3．平面匯交力系合成與平衡的解析法的含義及應(yīng)用平面匯交力系合成與平衡的解析法以合力投影定理為依據(jù)。算出合力FR

的投影FRx

和FRy

后，可以按式（2-4）求得合力的大小及方向：式中：α表示合力FR

與x軸的夾角（銳角）。這種應(yīng)用投影求合力的方法，稱為解析法或投影法。上一頁下一頁返回第一節(jié)平面匯交力系的簡化與平衡平面匯交力系平衡的充要條件是該力系的合力FR為零，則由式（2-6）可知：式（2-7）稱為平面匯交力系的平衡方程。由此可知，平面匯交力系解析法平衡的充要條件是，力系中所有的力在作用面內(nèi)兩個任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式（2-7）是兩個獨(dú)立的方程式，可以求解兩個未知量。在求解平衡問題時，若事先無法判別未知力的方向，可以任意假設(shè)。經(jīng)過列方程后解出的結(jié)果如果為正值，則說明假設(shè)力的方向正確；如果為負(fù)值，則說明假設(shè)力的方向與實(shí)際指向相反。上一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡一、平面力對點(diǎn)之矩的概念及計算圖2-8所示的扳手轉(zhuǎn)動螺母，力F在垂直于螺母軸線的平面內(nèi)，使扳手和螺母繞中心O點(diǎn)轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗(yàn)可知，加在扳手上的力越大，越容易轉(zhuǎn)動螺母；力作用線離螺母中心越遠(yuǎn)，越省力，轉(zhuǎn)動螺母也就越容易。類似的經(jīng)驗(yàn)和理論分析表明：力F使物體繞某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，與力F的大小和點(diǎn)O至力作用線的垂直距離h有關(guān)，并且與力使物體產(chǎn)生的轉(zhuǎn)向有關(guān)。由于在平面內(nèi)物體繞某點(diǎn)只有兩種不同的轉(zhuǎn)向，因此完全可以用正負(fù)號來加以區(qū)分。于是，在力學(xué)中引入力對點(diǎn)之矩的物理量來度量力F使物體繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，并記為MO(F)=±Fh（2-8）下一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡式中：點(diǎn)O稱為矩心，h稱為力臂。力對點(diǎn)之矩可用一代數(shù)量表示。其絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)號通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時針方向轉(zhuǎn)動時為正，反之為負(fù)。應(yīng)該指出，力矩必須與矩心相對應(yīng)，不指明矩心來談力矩沒有任何意義。而矩心的位置可以是力作用面內(nèi)任意一點(diǎn)，并非一定是剛體內(nèi)固定的轉(zhuǎn)動中心。從幾何的角度看，力F對點(diǎn)O的矩在數(shù)值上等于△OAB面積的2倍，如圖2-9所示。此外，力沿著作用線移動時，力對點(diǎn)的矩保持不變；若力的作用線通過矩心，則它對矩心的力矩為零。上一頁下一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡在國際單位制中，力矩的單位是N·m（牛頓·米）或kN·m（千牛頓·米）。在計算力系的合力對某點(diǎn)O的矩時，常用到合力矩定理：平面匯交力系的合力對某點(diǎn)O的矩等于各分力對O點(diǎn)矩的代數(shù)和，即該定理建立了合力對點(diǎn)的矩與分力對同一點(diǎn)的矩的關(guān)系，其也可運(yùn)用于有合力的其他力系。它提供了計算力對點(diǎn)的矩的另一種方法，此外它還可以用于確定力系合力作用線的位置。上一頁下一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡二、平面力偶理論1．力偶與力偶矩力偶的定義：由兩個大小相等、方向相反且不共線的平行力組成的力系，記作(F,F')。如圖2-12所示，力偶所在的平面稱為力偶的作用面，力偶中的兩個力之間的垂直距離d稱為力偶臂。在實(shí)際中，人們兩個手指擰鋼筆帽、雙手駕駛方向盤等都是力偶的作用，如圖2-13所示。力偶無合力，本身又不平衡，是一個基本的力學(xué)量。力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力偶矩來描述。上一頁下一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡力偶矩等于力偶中力的大小與力偶臂的乘積，它是代數(shù)量。其符號規(guī)定：力偶使物體逆時針轉(zhuǎn)動時為正，順時針為負(fù)，用M表示，即其單位為N·m或kN·m。2．平面力偶的性質(zhì)與力偶的等效定理力偶對物體的作用效應(yīng)，取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面，這就是力偶的三要素。平面力偶的性質(zhì)是，力偶沒有合力，因此不能與一個力等效；力偶只能與一個力偶等效；力偶矩與矩心點(diǎn)位置無關(guān)。平面力偶的等效定理：在同一平面內(nèi)兩個力偶等效的必要與充分條件是兩個力偶矩相等。上一頁下一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡由此定理可得如下推論：（1）當(dāng)保持力偶矩不變的情況下，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，而不改變它對剛體的作用。（2）當(dāng)保持力偶矩不變的情況下，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不改變它對剛體的作用。對于力偶而言，無須知道力偶中力的大小和力偶臂的長度，只需知道力偶矩就可以了。力偶無合力，對物體沒有移動效應(yīng)，其轉(zhuǎn)動效應(yīng)又完全取決于力偶矩。力偶矩的描述如圖2-14所示。上一頁下一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡3．平面力偶系的合成與平衡1）平面力偶系的合成作用在同一平面上的一組力偶稱為平面力偶系，由上面平面力偶的等效定理得，平面力偶系可以合成為一個合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和，即2）平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的必要與充分條件是合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶矩的代數(shù)和為零：上一頁下一頁返回第二節(jié)平面力偶系的簡化與平衡式（2-12）為平面力偶系的平衡方程。由于只有一個平衡方程，因此只能求解一個未知量。上一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡一、平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化力系向一點(diǎn)簡化是較為簡便且具有普遍性的力系簡化方法，此方法的理論基礎(chǔ)是力的平移定理。根據(jù)力的平衡定理可以把剛體上平面任意力系分解為一個平面匯交力系和一個平面力偶系。1．力的平移定理根據(jù)力的可傳性原理，將作用于剛體上某點(diǎn)的力F沿其作用線移動，不會改變力對剛體的作用效應(yīng)。但如果將作用在剛體內(nèi)某點(diǎn)力F移動到與其作用線平行的另外一點(diǎn)，若想要平行移動后不改變原力對剛體的作用效應(yīng)，則必須附加一定的條件。下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡設(shè)力F作用于剛體上的A點(diǎn)，為了將力F平行移動到剛體內(nèi)另外一點(diǎn)O［圖2-17（a）］，又不改變其作用效應(yīng)，可以進(jìn)行如下等效變換：先在O點(diǎn)施加平行于力F的一對平衡力F‘和F’‘，且令F’=-F‘’=F［圖2-17（b）］。根據(jù)加減平衡力系公理，所加的一對力并不改變原來的力F對剛體的作用效應(yīng)，即力F［圖2-17（a）］與力系(F‘,F’‘,F)［圖2-17（b）］等效。圖2-17（b）中力F與F’‘構(gòu)成力偶，力系又可看作由作用于O點(diǎn)的力F’和力偶(F,F‘’)組成，可用圖2-17（c）中所示力系表示，即為力F向O點(diǎn)平移的最終結(jié)果。力偶(F,F‘’)稱為附加力偶，其力偶矩M=Fd，而力F對O點(diǎn)的矩MO（F）=Fd，附加力偶(F,F'')的力偶矩M為M=Fd=MO（F）

（2-13）上一頁下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡上述等效變換稱為力的平移定理，即將作用于剛體上A點(diǎn)的力F平行移動到該剛體內(nèi)的任意一點(diǎn)O，為了不改變力F的作用效果，必須同時附加一個力偶，附加力偶的力偶矩等于力F對新作用點(diǎn)O之矩。2．平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡化1）主矢與主矩設(shè)平面任意力系F1

，F(xiàn)2

，…，F(xiàn)n

分別作用在剛體的A1

，A2

，…，An

各點(diǎn)上［圖2-18（a）］，在力系作用面內(nèi)任取一點(diǎn)O，稱為簡化中心。根據(jù)力的平移定理，將力系中的每一個力分別向O點(diǎn)平移，得到作用于O點(diǎn)的力F'1

，F(xiàn)'2

，…，F(xiàn)'n

，以及一組相應(yīng)的附加力偶，其力偶矩分別為M1

，M2

，…，Mn

［圖2-18（b）］。這些附加力偶的力偶矩分別為上一頁下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡這樣，原來的平面任意力系經(jīng)過平移可等效為兩個簡單力系：平面匯交力系和平面力偶系。之后再分別合成這兩個力系。2）固定端約束物體的一部分固嵌于另一物體所構(gòu)成的約束，稱為固定端約束。例如，基礎(chǔ)中的細(xì)石混凝土對預(yù)制混凝土柱的約束［圖2-19（a）］、車床的刀架對車刀的約束［圖2-19（b）］、車床的卡盤對工件的約束［圖2-19（c）］、飛機(jī)的機(jī)身對機(jī)翼的約束、插入地面的電線桿受到的約束等，都是固定端約束。固定端約束的特點(diǎn)是既能限制物體的移動，又能限制物體的轉(zhuǎn)動，即約束與被約束物體之間被認(rèn)為是完全剛性連接的。上一頁下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡3．平面任意力系的簡化結(jié)果分析平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，可得到兩個簡單的力系，即平面匯交力系和平面力偶系。進(jìn)一步分別合成這兩個力系，可得到一個主矢（合力）和一個主矩（合力偶）。在不同的情況下，可能出現(xiàn)以下四種更為簡單的結(jié)果。1）簡化為一個力偶2）簡化為通過簡化中心的合力3）簡化為通過另一點(diǎn)的合力4）平面任意力系平衡上一頁下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡二、平面任意力系的平衡條件和平衡方程對平面任意力系的簡化結(jié)果進(jìn)行分析可知，若主矢等于零，僅表明匯交力系平衡，若主矩等于零，僅表明力偶系平衡。顯然，平面任意力系若是平衡的，力系的主矢和主矩必須同時都為零。反之，若力系的主矢和主矩均為零，則物體處于平衡狀態(tài)，該力系是平衡力系。因此，物體在平面任意力系作用下平衡的充要條件為力系向任意點(diǎn)O簡化的主矢和主矩都等于零，即上一頁下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡式（2-21）表明平面任意力系平衡的解析條件是，力系中的各個力在作用面內(nèi)任選的兩個坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，以及各個力對作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。式（2-21）稱為平面任意力系的平衡方程，其中前兩個方程為投影方程，后一個為力矩方程。由這三個獨(dú)立方程可以求解三個未知量。平面任意力系的平衡方程還有另外兩種形式。三、平面平行力系的平衡方程當(dāng)平面任意力系中的各個力作用線相互平行時，稱為平面平行力系。平面平行力系是平面任意力系的特殊情況。上一頁下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡其平衡方程可由平面任意力系平衡方程導(dǎo)出。如圖2-28所示，物體受平面平行力系F1

，F(xiàn)2

，…，F(xiàn)n

作用。取Ox坐標(biāo)軸與各個力的方向垂直，Oy坐標(biāo)軸與之平行，則所有的力在x軸上的投影必等于零，即∑Fxi=0。因此，由式（2-21）得平面平行力系的平衡方程為由式（2-22）可得平面平行力系的另一組平衡方程的形式上一頁下一頁返回第三節(jié)平面任意力系的簡化與平衡中：A、B兩點(diǎn)的連線不能與各力平行。由式（2-24）和式（2-25）可見，平面平行力系有兩個獨(dú)立的平衡方程，因此可解兩個未知量。上一頁返回第四節(jié)物體系的平衡問題及應(yīng)用一、物體系的平衡由多個物體通過約束相聯(lián)系而組成的系統(tǒng)稱為物體系。工程中的各種機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)都是物體系。物體系平衡問題的特點(diǎn)與分析方法如下：（1）物體系的平衡問題既與系統(tǒng)之外的其他物體對該系統(tǒng)的作用有關(guān)，也與物體系內(nèi)部各物體之間的相互作用有關(guān)。前者稱為系統(tǒng)的外力，后者稱為系統(tǒng)的內(nèi)力。內(nèi)力和外力的區(qū)分是相對的，依據(jù)所選取的研究對象而定。（2）若系統(tǒng)整體平衡，則該系統(tǒng)的每個物體及由若干物體組成的子系統(tǒng)也是平衡的。（3）可以根據(jù)問題的特點(diǎn)靈活選取研究對象。既可取系統(tǒng)整體或子系統(tǒng)為研究對象，也可取單個物體為研究對象。下一頁返回第四節(jié)物體系的平衡問題及應(yīng)用當(dāng)取系統(tǒng)整體或子系統(tǒng)為研究對象時，只考慮系統(tǒng)之外物體的作用力，不考慮系統(tǒng)的內(nèi)力。若需要求系統(tǒng)的內(nèi)力，則必須將系統(tǒng)拆開。（4）若系統(tǒng)由n個物體組成，每個物體在平面任意力系作用下平衡，則最多可列3n個獨(dú)立的平衡方程，最多可求解3n個未知量。特殊情況下，如系統(tǒng)中某些物體受平面匯交力系或平面平行力系作用，或是二力桿，則系統(tǒng)的獨(dú)立平衡方程數(shù)和能夠求解的未知量數(shù)相應(yīng)減少。二、靜定和超靜定問題每種力系作用下的獨(dú)立平衡方程數(shù)是一定的，因而能求解的未知量個數(shù)也是一定的。若所研究的問題中，未知量的個數(shù)等于獨(dú)立平衡方程數(shù)，則未知量可由平衡方程完全確定，稱這類問題為靜定問題。上一頁下一頁返回第四節(jié)物體系的平衡問題及應(yīng)用在工程實(shí)際中，有時為了提高結(jié)構(gòu)的剛度和堅固性，常常增加多余約束，從而使這些結(jié)構(gòu)的未知量的數(shù)目多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目，此時未知量不能全部由平衡方程求出，稱這類問題為超靜定問題?，F(xiàn)將解平面任意力系平衡問題的方法和步驟歸納如下：（1）首先弄清題意，明確要求，正確選擇研究對象。對于單個物體，只要指明某物體為研究對象即可。對于物體系統(tǒng)，往往要選兩個以上研究對象。如果選擇了合適的研究對象，再選擇適當(dāng)形式的平衡方程，即可使解題過程大為簡化。顯然，選擇研究對象時存在多種可能性。例如，可選物體系統(tǒng)和系統(tǒng)內(nèi)某個構(gòu)件為研究對象，也可選物體系統(tǒng)和系統(tǒng)內(nèi)由