第七章萬有引力與宇宙航行第三節(jié)萬有引力理論的成就課堂引入“給我一個支點，我可以撬動地球。”

——阿基米德疑惑：地球質(zhì)量約為6×1024kg，設杠桿支點距離地球1m，阿基米德在另一端能產(chǎn)生的作用力為600N，根據(jù)杠桿原理可知杠桿大約長1億光年。阿基米德能做到嗎？課堂引入如果有人說他能稱出地球的質(zhì)量，你信嗎？我可以明確天體運動的相關物理量環(huán)繞天體m軌道半徑r中心天體半徑R中心天體M一、“稱量”地球的質(zhì)量若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即黃金代換式地面的重力加速度g和地球半徑R在卡文迪什之前就已知道，一旦測得引力常量G，就可以算出地球的質(zhì)量M。因此，卡文迪什被稱為“第一個稱出地球質(zhì)量的人”。一、“稱量”地球的質(zhì)量算一算：設地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半徑R=6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，試估算地球的質(zhì)量。還有其他方法嗎？方法一：重力加速度法(g、R）科學真是迷人。根據(jù)零星的事實，增加一點猜想，竟能贏得那么多的收獲！

——馬克·吐溫一、“稱量”地球的質(zhì)量算一算：已知月球繞地球周期T=27.3天，月地平均距離r=3.84×108m，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，試估算地球的質(zhì)量。方法二：環(huán)繞法（T、r）忽略太陽及其他天體對月球的引力。如果測出了某行星的公轉(zhuǎn)周期T、軌道半徑r，能不能由此求出太陽的質(zhì)量M？二、“稱量”太陽的質(zhì)量猜想：二、“稱量”太陽的質(zhì)量拓展：把地球繞太陽的公轉(zhuǎn)看作是勻速圓周運動，已知軌道半徑約為1.5×1011m，引力常量G=6.67×10－11N·m2/kg2，估算太陽的質(zhì)量。方法二：環(huán)繞法（T、r）注意：環(huán)繞法只能求出中心天體的質(zhì)量。二、“稱量”太陽的質(zhì)量拓展一：若知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)線速度v和軌道半徑r，能否估算太陽的質(zhì)量？拓展二：若知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)角速度ω和軌道半徑r，能否估算太陽的質(zhì)量？拓展三：若知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)線速度v和公轉(zhuǎn)周期T，能否估算太陽的質(zhì)量？基本思路：三、計算天體的密度g、R法T、r法同理:可用v-r、ω-r、v-T等求質(zhì)量的方法求天體的密度。r=R四、發(fā)現(xiàn)未知天體到了18世紀，人們已經(jīng)知道太陽系有7顆行星，其中1781年發(fā)現(xiàn)的第七顆行星——天王星的運動軌道有些“古怪”：根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道與實際觀測的結(jié)果總有一些偏差。天王星疑問：是天文觀測數(shù)據(jù)不準確？是萬有引力定律的準確性有問題？還是天王星軌道外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星？天王星英國劍橋大學的學生亞當斯和法國年輕的天文學家勒維耶相信未知行星的存在。他們根據(jù)天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846年9月23日晚，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”——海王星。四、發(fā)現(xiàn)未知天體(英)亞當斯(法)勒維耶海王星發(fā)現(xiàn)之后，人們發(fā)現(xiàn)它的軌道也與理論計算的不一致。于是幾位學者用亞當斯和勒維耶列的方法預言另一顆行星的存在。在預言提出之后，1930年3月14日，湯博發(fā)現(xiàn)了這顆行星——冥王星。四、發(fā)現(xiàn)未知天體筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星海王星的軌道之外殘存著太陽系形成初期遺留的物質(zhì)，近100年來，人們在這里發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。但是因為距離遙遠，太陽的光芒到達那里已經(jīng)十分微弱了，在地球附近很難看出究竟。盡管如此，黑暗寒冷的太陽系邊緣依然牽動著人們的心，探索工作從來沒有停止過。冥王星鬩[xì]神星哈雷依據(jù)萬有引力定律，用一年時間計算了它們的軌道。發(fā)現(xiàn)1531年、1607年和1682年出現(xiàn)的這三顆彗星軌道看起來如出一轍，他大膽預言，這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星（圖7.3-3），周期約為76年，并預言它將于1758年底或1759年初再次回歸。1759年3月這顆彗星如期通過了近日點，它最近一次回歸是1986年，它的下次回歸將在2061年左右。五、預言哈雷彗星回歸潮汐現(xiàn)象牛頓還用月球和太陽的萬有引力解釋了潮汐現(xiàn)象，用萬有引力定律和其他力學定律，推測地球呈赤道處略為隆起的扁平形狀。潮汐，是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象，是指海水在天體（主要是月球和太陽）引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運動。習慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐，而海水在水平方向的流動稱為潮流。對于r、v、ω、T、an五個量“一定四定”，“一變四變”質(zhì)量為m的天體繞質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動：六、幾個重要的關系式Mm四個重要推論r越大，V越小r越大，w越小r越大，T越大r越大，an越小高軌低速周期長，低軌高速周期短課堂小結(jié)【典例1】（2020·武漢市第三中學高一期中）牛頓時代的科學家們圍繞萬有引力的研究經(jīng)歷了大量曲折頑強而又閃爍智慧的科學實踐。在萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)歷程中，下列敘述不符合史實的是（）A．開普勒研究了第谷的行星觀測記錄，提出了開普勒行星運動定律B．根據(jù)天王星的觀測資料，牛頓利用萬有引力定律計算出了海王星的軌道C．卡文迪許在實驗室中比較準確地測出了引力常量G的數(shù)值D．牛頓將行星與太陽、地球與月球、地球與地面物體之間的引力規(guī)律推廣到宇宙中的一切物體，得出了萬有引力定律典例分析【正確答案】B【典例2】（2020·浙江高一模擬）(多選）如圖所示為中國月球探測工程的標志，它以中國書法的筆觸，勾勒出一輪明月和一雙踏在其上的腳印，象征著月球探測的終極夢想。若宇宙飛船在月球表面繞月飛行的周期為T，月球的半徑為R，引力常量為G，若飛船只受月球引力的作用，利用上述數(shù)據(jù)能算出()A．飛船的質(zhì)量 B．月球的質(zhì)量C．月球的密度 D．飛船的向心加速度典例分析【正確答案】BCD【典例3】（2021·全國高一課時練習）2019年諾貝爾物理獎獲獎者——瑞士日內(nèi)瓦大學教授米歇爾·馬約爾和迪迪?！た迤澰?995年發(fā)現(xiàn)了一顆距離我們50光年的行星，該行星圍繞它的恒星運動。這顆行星離它的恒星非常近，只有太陽到地球距離的二十分之一，公轉(zhuǎn)周期只有4天。由此可知，該恒星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的（）A．20倍 B．14倍 C．16倍 D．1倍典例分析【正確答案】D【典例4】（2021·全國高一練習）(多選)2020年7月23日12時41分，長征五號運載火箭在中國文昌航天發(fā)射場點火起飛，成功將天問一號火星探測器送入預定軌道。假設天問一號在著陸之前繞火星表面做近地圓周運動的半徑為r1、周期為T1；火星繞太陽做圓周運動的半徑為r2、周期為T2，引力常量為G。根據(jù)以上條件能得出（）A．火星的密度B．太陽對火星的引力大小C．天問一號的質(zhì)量D．關系式典例分析【正確答案】AB【典例5】（2021·全國高一練習）（多選）2020年6月23日，我國第55顆北斗導航衛(wèi)星成功發(fā)射，標志著北斗三號全球系統(tǒng)星座的部署已經(jīng)全面完成。該衛(wèi)星為地球同步軌道衛(wèi)星。已知同步衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運動的周期為T、軌道半徑為r，地球半徑為R，引力常量為G，下列說法正確的是（）A．地球的質(zhì)量為B．地球的平均密度為C．靜止在赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度為D．同步衛(wèi)星的加速度為典例分析【正確答案】CD【解析】小球位移偏向角為θ：?v0【典例6】宇航員站在某星球的一個斜坡上，以初速度v0水平扔出一個小球，經(jīng)過時間t小球落在斜坡上，經(jīng)測量斜坡傾角為θ，星球半徑為R，引力常量為G，求星球的質(zhì)量。典例分析練習與應用1.已知月球的質(zhì)量是7.3×10kg，半徑是1.7×10km。223（1）月球表面的自由落體加速度有多大？（2）這對宇航員在月球表面的行走會產(chǎn)生什么影響？（3）若宇航員在地面上最多能舉起質(zhì)量為m的物體，他在月球表面最多能舉起質(zhì)量是多少的物體？解：（1）

（2）在月球上人行走起來會感覺很輕松，習慣在地球表面上行走的人，在月球表面行走時都是跳躍前進的。（3）最多能夠舉起6m的物體。

練習與應用2.根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律說明：為什么不同物體在地球表面的自由落體加速度都是相等的？為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的??？因為在地球表面，對于質(zhì)量為m的物體有：對于質(zhì)量不同的物體，得到的結(jié)果是一致的，即與物體本身的質(zhì)量m無關。根據(jù)萬有引力定律有：高山的r較大，所以在高山上的重力加速度g較小。解：

練習與應用3.某人造地球衛(wèi)星沿圓軌道運行，軌道半徑是6.8×10km，周期是5.6×10s。試從這些數(shù)據(jù)估算地球的質(zhì)量。33衛(wèi)星繞地球做圓周運動的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力來提供，故有：解：

練習與應用4.地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓。天文學家哈雷成功預言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，預測下次飛近地球?qū)⒃?061年。（1）根據(jù)開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的多少倍？解：（1）根據(jù)開普勒第三定律有：

第七章萬有引力與宇宙航行專題雙星與多星系統(tǒng)宇宙中，有兩顆星在一起組成的穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，有三顆星的，也有更多顆星體組成的穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。它們除相互吸引外，幾乎不受外界其他星體的干擾。課堂引入相距較近、僅在彼此的引力作用下運行的兩顆恒星稱為雙星。在銀河系中，雙星的數(shù)量非常多，估計不少于單星。研究雙星，不但對于了解恒星形成和演化過程的多樣性有重要的意義，而且對于了解銀河系的形成和演化，也是一個不可缺少的方面。一、雙星系統(tǒng)1.兩顆恒星均繞共同的中心做勻速圓周運動，軌道半徑r1、r2與兩恒星間距離L的關系為r1＋r2＝L；2.兩恒星之間萬有引力分別提供了兩恒星的向心力，即兩顆恒星受到的向心力Fn大小相等；3.兩顆恒星與旋轉(zhuǎn)中心時刻三點共線，即兩顆恒星角速度ω相同，周期T相同。一、雙星系統(tǒng)的特點O對m1:對m2:【計算1】如圖，雙星的質(zhì)量分別為m1、m2，它們之間的距離為L，求各自圓周運動的半徑r1、r2的大小及r1、r2的比值。規(guī)律：m越大，旋轉(zhuǎn)半徑越小，離中心越近。r1+r2=L二、雙星系統(tǒng)的規(guī)律r1r2m2m1Lor1r2m2m1Lo對m1:對m2:【計算2】如圖，雙星的質(zhì)量分別為m1、m2，它們之間的距離為L，軌道半徑分別為r1和r2，求它們的線速度v1、v2的比值。二、雙星系統(tǒng)的規(guī)律【計算3】如圖，A、B為雙星系統(tǒng)，它們之間的距離為L，軌道半徑分別為r1和r2，若運動周期為T，求兩星的總質(zhì)量。r1r2BALo二、雙星系統(tǒng)的規(guī)律對A:對B:①①+②得：②三等三反三等：有相同的周期T、角速度、向心力（大小）。三反：轉(zhuǎn)動半徑r、線速度v、向心加速度a都與星球的質(zhì)量成反比。三求解求r，對M2：2約掉M得對M1：14343+得則總質(zhì)量M總質(zhì)量的表達式：圓心O離質(zhì)量較大的星球較近則三、三星系統(tǒng)三星系統(tǒng)是指有三顆恒星組成的恒星系統(tǒng)，一般是由一對雙星和另一顆距離較遠的星組成的一個雙星系統(tǒng)。這三顆恒星的距離相對于其他恒星很遠，因此三星系統(tǒng)受其他星體引力影響通常忽略不計。三、三星系統(tǒng)ABC類型一：直線等間距排列如圖，A、B、C三顆星質(zhì)量相等。對A，B、C對A的萬有引力提供A做勻速圓周運動的向心力；對C，A、B對C的萬有引力提供A做勻速圓周運動的向心力;B在連線的中點處，所受的合力為零。【計算1】設每顆星的質(zhì)量均為m，軌道半徑為R,求第一種形式（直線等間距排列）下星體的線速度和周期;三、三星系統(tǒng)【解析】對A受力分析如圖：①②③B和C對A的萬有引力提供A做勻速圓周運動的向心力。ABCO三、三星系統(tǒng)類型二：正三角形排列ABCO【計算2】假設質(zhì)量均為m的正三角形排列的三顆星體的運動周期，求該種形式下任意兩星體間距s為多少？三、三星系統(tǒng)【解析】設星體做圓周運動的半徑為r,則相鄰兩星體間距離sFFn對A受力分析如圖：

宇宙中存在一些離其他恒星很遠的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。四、四星系統(tǒng)

如圖，其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動，它們轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。Lr

另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于正三角形的中心0點，外圍三顆星繞O點做勻速圓周運動，它們轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小均相等，如圖。四、四星系統(tǒng)Lr

暗物質(zhì)(DarkMatter)是一種比電子和光子還要小的物質(zhì)，不帶電荷，不與電子發(fā)生干擾，能夠穿越電磁波和引力場，是宇宙的重要組成部分。五、暗物質(zhì)

暗物質(zhì)的密度非常小，但是數(shù)量龐大，因此它的總質(zhì)量很大，它們代表了宇宙中26%的物質(zhì)含量，其中人類可見的只占宇宙總物質(zhì)量的5%不到(約4.9%)。暗物質(zhì)無法直接觀測得到，但它能干擾星體發(fā)出的光波或引力，其存在能被明顯地感受到。課堂小結(jié)【典例1】（2020·河北滄州市一中高一期末）宇宙中兩個相距較近的星球可以看成雙星，它們只在相互間的萬有引力作用下，繞兩球心連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動。根據(jù)宇宙大爆炸理論，雙星間的距離在緩慢增加，設雙星仍做勻速圓周運動，則下列說法正確的是（）A．雙星相互間的萬有引力增大 B．雙星做圓周運動的周期增大C．雙星做圓周運動的角速度增大D．雙星做圓周運動的加速度增大典例分析【正確答案】B典例分析【正確答案】B【典例2】暗物質(zhì)（DarkMatter）是一種比電子和光子還要小的物質(zhì)，不帶電荷，不與電子發(fā)生干擾，能夠穿越電磁波和引力場，是宇宙的重要組成部分。瑞士天文學家弗里茲·扎維奇觀測螺旋星系旋轉(zhuǎn)速度時，發(fā)現(xiàn)星系外側(cè)的旋轉(zhuǎn)速度較牛頓引力預期的快，故推測必有數(shù)量龐大的暗物質(zhì)拉住星系外側(cè)，以使其不致因過大的離心力而脫離星系。假設暗物質(zhì)及其星體均勻分布在球形星系內(nèi)，觀察發(fā)現(xiàn)星系外側(cè)的旋轉(zhuǎn)速度較牛頓引力預期的快十倍以上。據(jù)此推測可知道暗物質(zhì)的質(zhì)量是其中恒星數(shù)量計算所得到的質(zhì)量值的倍數(shù)為（）A．1000倍之上B．100倍之上 C．10倍之上 D．2倍之上典例分析【正確答案】B典例分析【典例3】(多選)(2018·全國卷Ⅰ)2017年,人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學家們復原的過程,在兩顆中子星合并前約100s時,它們相距約400km,繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體,由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識,可以估算出這一時刻兩顆中子星 ()A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和C.速率之和 D.各自的自轉(zhuǎn)角速度典例分析【正確答案】BC【解析】由題可知雙中子星相距L約400km、萬有引力常量G、雙中子星做勻速圓周運動的頻率f=12Hz。由萬有引力提供向心力可得G=m1(2πf)2r1、G=m2(2πf)2r2,r1+r2=L,聯(lián)立解得:m1+m2=,故選項A錯誤,選項B正確;v1=2πfr1、v2=2πfr2解得v1+v2=2πfL,故選項C正確;各自的自轉(zhuǎn)角速度無法估算,故選項D錯誤。典例分析【正確答案】BC【典例4】(多選)太空中存在離其他恒星很遠、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是直線三星系統(tǒng)A——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)B——三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上．已知某三星系統(tǒng)A每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星體中心間的距離都為R；某三星系統(tǒng)