2026屆新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)函數(shù)與方程思想函數(shù)的思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題得以解決.方程的思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決.思想概述方法一運(yùn)用函數(shù)相關(guān)概念的本質(zhì)解題在理解函數(shù)的定義域、值域、性質(zhì)等本質(zhì)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)、準(zhǔn)確地運(yùn)用它們解答問題.常見問題有求函數(shù)的定義域、解析式、最值，研究函數(shù)的性質(zhì).

例1√思路分析

[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0→f(x)為減函數(shù)→每一段都單調(diào)遞減→x=1左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值.

解析批注

在函數(shù)的第一段中，雖然沒有x=1，但當(dāng)x=1時(shí)，本段函數(shù)有意義，故可求出其對(duì)應(yīng)的“函數(shù)值”，且這個(gè)值是本段的“最小值”，為了保證函數(shù)是減函數(shù)，這個(gè)“最小值”應(yīng)不小于第二段的最大值，即f(1)，這是解題的一個(gè)易忽視點(diǎn).

√

解析批注

本題關(guān)鍵是理解“T同比不增函數(shù)”的含義，對(duì)于恒成立問題，一般是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.解決本類題目的關(guān)鍵是理解函數(shù)相關(guān)概念的本質(zhì)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象加以理解，嚴(yán)格按定義推導(dǎo)即可.規(guī)律方法方法二利用函數(shù)性質(zhì)解不等式、方程問題函數(shù)與方程、不等式相互聯(lián)系，借助函數(shù)的性質(zhì)可以解決方程的解的個(gè)數(shù)、參數(shù)取值范圍以及解不等式問題.

例2√思路分析

解不等式問題→比較兩個(gè)函數(shù)值的大小→判斷f(x)的單調(diào)性.設(shè)g(x)=f(x+2)=log3(3x+3-x)，則其定義域?yàn)镽，因?yàn)間(-x)=log3(3-x+3x)=g(x)，所以g(x)為偶函數(shù)，所以f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.設(shè)y=3x+3-x，則y'=3xln

3-3-xln

3=(3x-3-x)ln

3，令y'>0，則3x-3-x>0，得x>0，解析

解析批注

本題關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性脫掉f列出不等式，然后解不等式.(2)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿足(x-1)3+2025(x-1)=-1，(y-1)3+2025(y-1)=1，則x+y=

.

2思路分析

觀察兩方程形式特征→借助函數(shù)f(t)=t3+2

025t的單調(diào)性、奇偶性→f(x-1)=f(1-y)→求出x+y.令f(t)=t3+2

025t，則f(t)為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù).由f(x-1)=-1=-f(y-1)=f(1-y)，可得x-1=1-y，則x+y=2.解析批注

本題關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解.函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化：對(duì)于方程f(x)=0，可利用函數(shù)y=f(x)的圖象和性質(zhì)求解問題.規(guī)律方法方法三構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題在一些數(shù)學(xué)問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式，把要研究的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果.

例3√

解析

解析

解析

在構(gòu)造函數(shù)求解數(shù)學(xué)問題的過程中，要確定合適的變量，揭示函數(shù)關(guān)系使問題明晰化.規(guī)律方法專題訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.(2025·石家莊模擬)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是A.y=f(|x|) B.y=f(x2)C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x√因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，又因?yàn)閒(|-x|)=f(|x|)，所以y=f(|x|)是偶函數(shù)，A不符合題意；令F(x)=f(x2)，則F(-x)=f(x2)=F(x)，所以F(x)是偶函數(shù)，B不符合題意；令M(x)=x·f(x)，則M(-x)=(-x)·f(-x)=x·f(x)=M(x)，所以M(x)是偶函數(shù)，C不符合題意；令N(x)=f(x)+x，則N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x)，所以N(x)是奇函數(shù)，D符合題意.解析

√

解析3.(2025·上海模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為f'(x)，且當(dāng)x∈(-∞，0]時(shí)，f'(x)<1，則不等式f(x)-f(2026)≥x-2026的解集是A.(2026，+∞) B.[2026，+∞)C.(-∞，2026] D.(-∞，2026)√令g(x)=f(x)-x，當(dāng)x∈(-∞，0]時(shí)，g'(x)=f'(x)-1<0，所以g(x)在(-∞，0]上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，y=x為定義在R上的奇函數(shù)，所以g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減，所以由f(x)-f(2

026)≥x-2

026，可得f(x)-x≥f(2

026)-2

026，即g(x)≥g(2

026)，所以x≤2

026.解析

√

解析

解析

√

解析6.(2025·昭通模擬)已知函數(shù)f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)，若f(x)≤0，則a，b滿足的關(guān)系式為A.a-2b=1 B.a+2b=1C.a=2b D.a=-2b√f(x)=(-x3+ax2-x+a)log2(x+2b)=[x2(a-x)+(a-x)]log2(x+2b)=(x2+1)(-x+a)log2(x+2b)，又x2+1>0，所以f(x)≤0等價(jià)于(-x+a)log2(x+2b)≤0，又y=log2(x+2b)在定義域(-2b，+∞)上單調(diào)遞增，且零點(diǎn)為1-2b