2026屆新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)恒成立與能成立問題命題熱度：本專題是歷年高考命題?？嫉膬?nèi)容，屬于中高檔題目，具有一定的難度，三種題型都有所考查，分值約為5~10分.考查方向：考查重點(diǎn)一是不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍；二是不等式能成立求參數(shù)的取值范圍，包含雙變量的恒成立、能成立求參數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題

(2025·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-3(a∈R).(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f(x)在(0，f(0))處的切線方程；例1由題設(shè)f(x)=ex+x-3，則f'(x)=ex+1，且f(0)=-2，f'(0)=2，∴曲線y=f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y+2=2x，即2x-y-2=0.解

解當(dāng)1-a≥0，即a≤1時(shí)，g'(x)≥0，則g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)=0，符合題意；當(dāng)1-a<0，即a>1時(shí)，g'(0)<0，而當(dāng)x→+∞時(shí)，g'(x)→+∞，∴?x0∈(0，+∞)，使g'(x0)=0，即在[0，x0)上，g'(x)<0，在(x0，+∞)上，g'(x)>0，∴g(x)在[0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，從而g(x)min=g(x0)<g(0)=0，與g(x)≥0恒成立矛盾，不符合題意，綜上，a≤1.解

解又g'(x)=ex-x-a，故g'(0)=1-a≥0，即a≤1，下證，當(dāng)a≤1時(shí)，g(x)≥0恒成立.∵g″(x)=ex-1≥e0-1=0，∴g'(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，∴g'(x)≥g'(0)=e0-a=1-a≥0，∴g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)≥g(0)=0恒成立，故a≤1.解

解

解

解∴g'(x)=ex-x，g″(x)=ex-1≥e0-1=0，∴g'(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，∴g'(x)≥g'(0)=1>0，∴g(x)在[0，+∞)上單調(diào)遞增，又g'(0)=1，g(0)=0，∴曲線g(x)在x=0處的切線方程為y-0=1·(x-0)，即y=x，故當(dāng)x≥0時(shí)，y=ax的圖象在y=x圖象的下方，∴a≤1.解由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的策略(1)求最值法.將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.(2)分離參數(shù)法.一是參數(shù)全分離，將參數(shù)分離出來，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的取值范圍；二是參數(shù)半分離，把不等式分解成f(x)<g(x)或f(x)>g(x)的形式，要調(diào)節(jié)參數(shù)a與x的位置，使f(x)與g(x)的作圖更方便，一般分為一條動(dòng)直線與一條曲線.(3)利用端點(diǎn)效應(yīng)(必要性探路)，先利用端點(diǎn)處需滿足的必要條件縮小參數(shù)的取值范圍，而往往得到的范圍即為所求，再去做充分性論證即可.規(guī)律方法跟蹤演練1

(2025·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx-x2，a∈R.(1)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

解(2)若f(x)+x2-x≤-1恒成立，求a的取值范圍.

解

解

解

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解考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題

例2

解

x(-∞，0)0(0，2)2(2，+∞)f'(x)-0+0-f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減(2)對?x1∈[-1，0]，總存在x2∈[2，e2]，使f(x1)≤g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解

解x22(2，e)e(e，e2)e2h'(x2)

+0-

h(x2)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減不等式能成立問題可類比恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別.含參數(shù)的不等式能成立(存在性)問題的轉(zhuǎn)化方法：若a>f(x)在x∈D上能成立，則a>f