哈爾濱德強(qiáng)高級(jí)中學(xué)學(xué)年度上學(xué)期期末考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題（Ⅰ卷）時(shí)間：分鐘滿(mǎn)分：分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共分，每小題四個(gè)選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)正確）1.等于（）A.35B.210C.D.21【答案】B【解析】【分析】按照排列數(shù)計(jì)算即可.【詳解】由題可知：.故選：B2.拋物線的焦點(diǎn)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)方程特點(diǎn)可求出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】的標(biāo)準(zhǔn)形式為，其焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，坐標(biāo)為.故選：C3.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)即可.第1頁(yè)/共19頁(yè)【詳解】因，，，.故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D4.在等差數(shù)列中，則其前項(xiàng)的和A.99B.198C.D.128【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列{a}中，a+a+a=27a6的值，再根據(jù)S=運(yùn)算求得結(jié)果．【詳解】∵等差數(shù)列{a}中，a+a+a=27，3（a+5d）=3a=27前項(xiàng)的和S==99故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，通項(xiàng)公式，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，并且加以正確的計(jì)算.5.已知圓與圓C完全覆蓋圓，C的半徑的最小值為（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】先判斷圓與圓外切，依題意只需使所求圓的半徑等于兩圓半徑之和即可.【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑為，則，故兩圓外切，第2頁(yè)/共19頁(yè)因圓C覆蓋圓，，所以圓半徑的最小值為.故選：A.6.若數(shù)列滿(mǎn)足的第100項(xiàng)為A.2B.3C.D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由可得：，記，有，由累加法得：，數(shù)列的第項(xiàng)為，故選B.考點(diǎn)：遞推數(shù)列及數(shù)列求和.7.已知為拋物線與拋物線交于，不在直線上，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，則直線的斜率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將點(diǎn)代入拋物線方程得，則拋物線方程為，根據(jù)直線與的傾斜角互補(bǔ)得，化簡(jiǎn)得，利用兩點(diǎn)間斜率求得，即可得解.【詳解】因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，得，所以拋物線方程為，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，易知直線、直線、直線的斜率存在，第3頁(yè)/共19頁(yè)則，，由題意，可得，所以，所以直線的斜率為定值.故選：C.8.已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，的導(dǎo)數(shù)為，且，則的范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)與，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷出兩函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】令，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，由，即，所以，令，則，第4頁(yè)/共19頁(yè)所以函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，由，即，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵是構(gòu)造出函數(shù)，屬于難題.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共分）9.若3男3女排成一排，則下列說(shuō)法正確的是（）A.共計(jì)有720種不同的排法B.男生甲在排頭或在排尾的排法總數(shù)為240種C.男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為240種D.男女生相間排法總數(shù)為36種【答案】ABC【解析】【分析】由全排列公式判斷A，B；由捆綁法判斷C；由插空法判斷D.【詳解】對(duì)于A，3男3女排成一排共有種不同的排法，故A正確；對(duì)于B，男生甲在排頭或在排尾的排法總數(shù)為種，故B正確；對(duì)于C，男生甲、乙相鄰的排法總數(shù)為種，故C正確；對(duì)于D，男女生相間排法總數(shù)為種，故D錯(cuò)誤故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)D.直線是曲線的切線第5頁(yè)/共19頁(yè)【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)單調(diào)性確定極值點(diǎn)和零點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令在在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)存在極小值，所以A選項(xiàng)不正確，B，C選項(xiàng)正確；由得或，因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，同理在點(diǎn)處的切線方程為，所以D選項(xiàng)不正確．故選：BC．已知等比數(shù)列q，的前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，可得，因此，，．進(jìn)而判斷出結(jié)論．【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，，若，則一定有，不符合不等式，第6頁(yè)/共19頁(yè)故，，．，，，，綜上可知，AC正確，BD錯(cuò)誤．故選：BD．12.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近，最小時(shí)，，，正確的是（）A.若的虛軸長(zhǎng)為2，則到的一條漸近線的距離為2B.的離心率為C.若的焦距為2，則到的兩條漸近線的距離之積小于D.若的焦距為10，當(dāng)最小時(shí)，則的周長(zhǎng)為【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)出雙曲線的右焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義以及題意得到，，對(duì)A，寫(xiě)出雙曲線的BC距以及離心率，求出雙曲線的方程，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出到的兩條漸近線的距離，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上即可求解，對(duì)D，根據(jù)題意可得，在中利用余弦定理求出，即可求解.【詳解】解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，，故當(dāng)最小時(shí)，即取得最小值，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，第7頁(yè)/共19頁(yè)設(shè)雙曲線的一條漸近線為：，故，即，，又，，成等差數(shù)列，故,即，即，又，將代入得：.對(duì)A，若的虛軸長(zhǎng)為2，則，設(shè)雙曲線的一條漸近線為：，則到的一條漸近線的距離為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由上述可知：，即，即，故B正確；對(duì)C，若的焦距為2，則，由得：，第8頁(yè)/共19頁(yè)故雙曲線的方程為：，雙曲線的漸近線方程為：，即，設(shè)，則到兩條漸近線的距離分別為：，，又在雙曲線上，故，即，到兩條漸近線的距離之積為：，故C正確；對(duì)D，若的焦距為10，則，由得：，則的周長(zhǎng)為：，又，，在中，由余弦定理得：,即，第9頁(yè)/共19頁(yè)故，故，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義，再根據(jù)最小時(shí)，，，成等差數(shù)列，找到的關(guān)系式，以及由，得到.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共分）13.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是______________【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再解不等式得結(jié)果【詳解】所以單調(diào)減區(qū)間是【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14.甲、乙等五名學(xué)生志愿者在校慶期間被分配到莘元館、求真館、科教館、未名園四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少一名志愿者，則甲、乙兩人各自獨(dú)立承擔(dān)一個(gè)崗位工作的分法共有____種．(用數(shù)字作答)【答案】72【解析】433種選擇，余下三人只能選擇剩下的兩個(gè)地方，總共有2×2×2×2，這8種里要去掉3個(gè)人都選擇同一個(gè)地方的情況，得到結(jié)果．【詳解】解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，設(shè)5個(gè)志愿者為甲、乙、丙、丁、戊．甲在莘元館、求真館、科教館、未名園四個(gè)地方選一個(gè)，有4種選擇，乙在剩下的3個(gè)地方選一個(gè)，有3種選擇丙、丁、戊三人只能選擇剩下的兩個(gè)地方，每人有2個(gè)選擇，總共有2×2×2＝8種，這8種里要去掉3個(gè)人都選擇同一個(gè)地方的情況即8﹣2＝6∴方法數(shù)為4×3×6＝72種故答案為72第10頁(yè)/共19頁(yè)【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)一定要分清做這件事需要分為幾步，每一步包含幾種方法，再根據(jù)分步乘法原理得到結(jié)果．本題是一個(gè)典型的排列組合的實(shí)際應(yīng)用．15.已知橢圓A是橢圓上的點(diǎn)，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則橢圓的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知等式化簡(jiǎn)變形可得三點(diǎn)共線，則可確定為角平分線和中線，根據(jù)三線合一得出為等腰三角形，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式求出三邊關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義將數(shù)據(jù)代入離心率公式即可.【詳解】取線段的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，且，所以為的中線，又因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)切圓的圓心，所以為的角平分線，所以為等腰三角形，，則的周長(zhǎng)為、面積為，為內(nèi)切圓半徑，根據(jù)三角形內(nèi)切圓半徑公式可得，整理得則，所以.故答案為：.第11頁(yè)/共19頁(yè)16.2024央視春晚魔術(shù)表演的背景是約瑟夫問(wèn)題，這是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：將數(shù)字按順時(shí)針排列在圓周上，首先取走數(shù)字2，然后按照順時(shí)針?lè)较颍扛粢粋€(gè)數(shù)字就取走一個(gè)數(shù)字，直到圓周上只剩下一個(gè)數(shù)字，將這個(gè)數(shù)字記為．例如時(shí)，操作可知，則___________．【答案】17【解析】【分析】根據(jù)題意探索，，，與之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，圓周上順時(shí)針排列時(shí)，可得，就是這個(gè)數(shù)中的第個(gè)數(shù)；當(dāng)圓周上順時(shí)針排列共個(gè)數(shù)是，所以，是這個(gè)數(shù)中的第個(gè)數(shù)；當(dāng)圓周上順時(shí)針排列共個(gè)數(shù)是，所以，是這個(gè)數(shù)中的第個(gè)數(shù)；當(dāng)圓周上順時(shí)針排列共個(gè)數(shù)是，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，其中第題分，題每題分，共分）17.已知圓經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）從點(diǎn)向圓C作切線，求切線方程．第12頁(yè)/共19頁(yè)【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)根據(jù)弦的中垂線過(guò)圓心,;(2)根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題可知,所以線段的中垂線的斜率等于1，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以線段的中垂線的直線方程為，即，聯(lián)立解得，所以圓心又因?yàn)榘霃降扔?所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的半徑為，則，若直線的斜率不存在，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，滿(mǎn)足題意;若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則切線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線距離，解得，所以切線方程為，即.所以切線方程為或.第13頁(yè)/共19頁(yè)18.等差數(shù)列滿(mǎn)足，，正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，是和的等比中項(xiàng)．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）【解析】1，用，，公式，進(jìn)而可求得，的值，可求得的通項(xiàng)公式；（2）由于，可用分組求和算得的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，解得，，所以，；又且，，所以，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋缘?4頁(yè)/共19頁(yè).19.已知函數(shù)，（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（II）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的極小值為.（2）【解析】【分析】I）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，令，則，所以的變化情況如下表：00+極小值所以時(shí)，取得極小值.(II)因?yàn)椋瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù),所以對(duì)恒成立.又，所以只要對(duì)恒成立,解法一：設(shè)，則要使對(duì)恒成立，只要成立，即，解得.解法二：要使對(duì)恒成立，因?yàn)椋詫?duì)恒成立，第15頁(yè)/共19頁(yè)因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以只要.20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，又，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(I)；(II)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(I)由得兩式相減可化為，從而可得結(jié)論；(II)由(I)知，利用裂項(xiàng)相消法求和，根據(jù)放縮法可得結(jié)論.詳解】(I)由,得得，故是公比為的等比數(shù)列，易知，，故;(II)易知.【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：(1)2）；（3）4）導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.第16頁(yè)/共19頁(yè)21.已知函數(shù)滿(mǎn)足：.（1）求的解析式；（2）若，且當(dāng)時(shí)，，求整數(shù)k的最大值.【答案】（1）2.【解析】【分析】(1)直接對(duì)f(x)求導(dǎo),然后令x=1,求出,再令x=0,求出,從而得到f(x)的解析式;(2)先求出g(x)的解析式,然后利用分離參數(shù)法求出k的范圍,進(jìn)一步得到整數(shù)k的最大值.【詳解】解:(1)∵,∴,令得,,即,令得,,∴函數(shù)的解析式為.(2)由(1)有,則,∴,故當(dāng)時(shí),等價(jià)于①,令,則,令函數(shù),易在上單調(diào)遞增,而,,所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),故在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),設(shè)此零點(diǎn)為,則.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.∴在內(nèi)