第四章因式分解4.1因式分解初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級下冊1.理解并掌握因式分解的概念.(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.理解因式分解與整式乘法之間的關(guān)系，并能夠運(yùn)用其解決問題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)993－99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴進(jìn)行交流.小明是這樣做的：993－99＝99×992－99×1＝99×(992－1)＝99×9

800＝98×99×100.所以，993－99能被100整除.在這里，解決問題的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)式化成了幾個(gè)數(shù)乘積的形式.993－99還能被哪些正整數(shù)整除？情境引入01因式分解問題1

(1)如圖，一塊草坪被分成三部分，你能用不同的方法表示草坪的總面積嗎？不同的表示面積方法之間有什么關(guān)系？提示方法一m(a＋b＋c).方法二ma＋mb＋mc.不同的表示面積方法之間有相等關(guān)系，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).(2)左右兩邊的式子有什么關(guān)系？請用“>”“<”或“＝”表示：x2－2x

x(x－2)；

x2－y2

(x＋y)(x－y)；

x2＋2x＋1

(x＋1)2.

觀察上邊左右兩欄的幾個(gè)等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？提示左邊一欄是多項(xiàng)式，右邊一欄是把多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式乘積的形式.＝＝＝知識梳理把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式

的形式，這種變形叫作

，也可稱為

.其中，每個(gè)整式都叫作這個(gè)多項(xiàng)式的因式.注意點(diǎn)：對于因式分解的定義應(yīng)明確以下幾點(diǎn)：(1)因式分解是一種恒等變形；(2)因式分解是把和的形式化為積的形式的變形，即把多項(xiàng)式化為積的形式；(3)積中的各因式都是整式；(4)每個(gè)因式在指定范圍內(nèi)都不能再分解，即分解徹底.乘積因式分解分解因式例1下列從左到右的變形中是因式分解的有①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y).A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)√解析由因式分解的概念是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，得①③不是因式分解，②④是因式分解.反思感悟判定一個(gè)等式是因式分解的條件：(1)左邊是多項(xiàng)式；(2)右邊是積的形式；(3)右邊的因式全是整式.跟蹤訓(xùn)練1

(1)下列各式從左到右的變形為因式分解的是A.x2－y2＝(x－y)2B.x2－8x＋16＝(x－4)2C.(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2D.a2－4＋3a＝(a＋2)(a－2)＋3a√解析x2－y2≠(x－y)2，故A不符合題意；x2－8x＋16＝(x－4)2，所以從左到右的變形為因式分解，故B符合題意；(a＋2)(a－1)＝a2＋a－2，是整式乘法，所以不是因式分解，故C不符合題意；a2－4＋3a＝(a＋2)(a－2)＋3a，等式的右邊不是幾個(gè)整式的積，不符合因式分解的定義，故D不符合題意.

解①因式分解是針對多項(xiàng)式來說的，故①不是因式分解；②等號右邊不是幾個(gè)整式乘積的形式，故②不是因式分解；③是因式分解；④等號右邊不是幾個(gè)整式乘積的形式，故④不是因式分解；⑤等號右邊不是幾個(gè)整式乘積的形式，故⑤不是因式分解.故①②④⑤不是因式分解，③是因式分解.因式分解與整式乘法的關(guān)系2問題2計(jì)算下列各式，根據(jù)左面的算式填空：(1)3x(x－1)＝

；3x2－3x＝(

)(

)；

(2)(m＋4)(m－4)＝

；m2－16＝(

)(

)；

(3)(y－3)2＝

；y2－6y＋9＝(

)2；

3x2－3x3xx－1m2－16m＋4m－4y2－6y＋9y－3(4)觀察同一行中，左右兩邊的等式有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示

聯(lián)系：左右兩式是同一多項(xiàng)式的不同表現(xiàn)形式.區(qū)別：左邊一欄是整式乘法，右邊一欄是因式分解.兩者運(yùn)算是相反的.(5)整式乘法與因式分解有什么關(guān)系？舉例說明.提示

因式分解與整式乘法是互逆過程.知識梳理整式乘法與因式分解是互逆的恒等變形.例2

若多項(xiàng)式x2＋ax＋b分解因式的結(jié)果為a(x－2)(x＋3)，求a，b的值.解∵x2＋ax＋b＝a(x－2)(x＋3)＝ax2＋ax－6a，∴a＝1，b＝－6a＝－6.反思感悟?qū)τ诖祟悊栴}，掌握因式分解與整式乘法為互逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵，應(yīng)先把分解因式后的結(jié)果展開，再與原多項(xiàng)式各項(xiàng)對應(yīng)的系數(shù)比較，使其分別相等即可.跟蹤訓(xùn)練2

(1)若x2＋mx＋4＝(x－2)2，則下列結(jié)論正確的是A.等式從左到右的變形是乘法公式，m＝4B.等式從左到右的變形是因式分解，m＝4C.等式從左到右的變形是乘法公式，m＝－4D.等式從左到右的變形是因式分解，m＝－4√解析∵x2＋mx＋4＝(x－2)2，∴x2＋mx＋4＝x2－4x＋4，則m＝－4，原等式從左到右的變形是因式分解，從右到左的變形是乘法公式.(2)若81－xk＝(9＋x2)(3＋x)(3－x)，那么k的值是A.2 B.3C.4 D.5√解析∵81－xk＝(9＋x2)(3＋x)(3－x)，∴81－xk＝(9＋x2)(9－x2)＝81－x4，∴k＝4.課堂小結(jié)1.下列式子從左到右的變形是因式分解的是A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25課堂練習(xí)√2.把x2－3xy2分解因式，結(jié)果正確的是A.(x＋3xy)(x－3xy)B.x(x－3xy)C.x2(1－3xy2)D.x(x－3y2)√課堂練習(xí)3.根據(jù)2ab(

)＝4a3b3＋6a2b－2ab2，將4a3b3＋6a2b－2ab2分解因式得4a3b3＋6a2b－2ab2＝

.

2a2b2＋3a－b2ab(2a2b2＋3a－b)課堂練習(xí)4.根據(jù)如圖所示的拼圖過程，寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解：__________________________.

x2＋6x＋8解析四個(gè)獨(dú)立圖形的面積和為x2＋2x＋4x＋4×2＝x2＋6x＋8，組合圖形面積為(x＋2)(x＋4)，∴x2＋6x＋8＝(x＋2)(x