第一章

三角形的證明1三角形內角和定理第1課時

三角形內角和定理的證明

課堂引入探究與應用 課堂小結與檢測問題：我們知道,三角形三個內角的和等于180°.你還記得這個結論的探索過程嗎?課堂引入

【探究】三角形內角和定理的證明探究與應用(1)如圖,如果只把∠A移動到∠1的位置,那么你能說明這個結論嗎?

如果不移動∠A,那么你還有什么方法可以達到同樣的效果?【嘗試·交流】

【探究】三角形內角和定理的證明探究與應用【嘗試·交流】

(2)你能說說這個結論的證明思路嗎?請試著寫出證明過程,并與同伴進行交流.

證明:如圖,延長BC到D,過點C作射線CE,使CE∥BA,則∠1=∠A,∠2=∠B.∵點B,C,D在同一條直線上,∴∠1+∠2+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.這時的CD,CE稱為輔助線，輔助線通常畫成虛線.

【探究】三角形內角和定理的證明【概括新知】三角形內角和定理:

三角形三個內角的和等于180°.探究與應用【應用】例如圖,在?ABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是?ABC的角平分線,

求∠ADB的度數.

探究與應用

探究與應用

變式訓練探究與應用

【嘗試·思考】探究與應用

我們已經探索過“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等”這個結論,你能用有關的基本事實和已經學習過的定理證明它嗎?

探究與應用【歸納】1.定理兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.(AAS)2.根據全等三角形的定義,我們可以得到:全等三角形的對應邊相等、對應角相等.【拓展提升】1.已知:如圖,AB∥CD,點E在AC上.求證:∠CAB=∠CED+∠CDE.探究與應用

探究與應用解：∵∠A=75°，∠B=50°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-50°=55°，∴∠CED+∠CDE=180°-∠C=180°-55°=125°由折疊性質可得∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE，∵∠1=180°-∠CDE-∠C'DE=180°-2∠CDE∠2=180°-∠CED-∠C'ED=180°-2∠CED∴∠1+∠2=360°-2(∠CED+∠CDE)=360°-250°=110°，又∵∠1=20°，∴∠2=90°．

達標測評

BA課堂小結與檢測

達標測評

課堂小結與檢測解：∵∠B=42°，∠C=58°，∴∠BAC=180°-42°-58°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=40°，∴∠ADC=180°-∠DAC-∠C=180°-40°-58°=82°，∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠DAC=50°．第一章

三角形的證明1三角形內角和定理第2課時

三角形內角和的推論探究與應用 課堂小結與檢測

【探究】三角形內角和定理的推論探究與應用

解：如圖，其他的外角有：∠5、∠6、∠7、∠8、∠9

【探究】三角形內角和定理的推論探究與應用

【探究】三角形內角和定理的推論探究與應用【思考·交流】

觀察下圖,∠1與其他角有什么關系?請證明你的結論,并與同伴進行交流.解：如圖∵∠1(外角)+∠4(相鄰的內角)=180°∴∠1=180°-∠4又∵∠2+∠3+∠4=180°.∴∠2+∠3=180°-∠4.∴∠1=∠2+∠3.

【探究】三角形內角和定理的推論【概括新知】

三角形內角和的推論:(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.探究與應用

探究與應用只要具備什么條件,就能說明AD∥BC?

探究與應用你學過哪些關于角的不等關系的定理?這里能直接使用嗎?你遇到的困難是什么?你能通過添加輔助線,構造出直接使用相關定理的圖形嗎?D

探究與應用∠3>∠2>∠150

達標測評

DC課堂小結與檢測

達標測評

課堂小結與檢測

達標測評

課堂小結與檢測證明：∵CP平分∠ACE，∴∠PCE=∠PCA∵∠PCE＞∠B，∠BAC＞∠PCA，∴∠BAC＞∠B．第一章

三角形的證明1三角形內角和定理第3課時

多邊形的內角和

課堂引入探究與應用 課堂小結與檢測

小明和小亮經常到如圖所示的廣場進行體育鍛煉.這個廣場中心的邊緣是一個五邊形.你能設法求出它的五個內角的和嗎?與同伴進行交流.課堂引入

【探究1】多邊形內角和探究與應用【操作交流】

小明、小亮分別利用圖中的圖形求出了五邊形的五個內角的和,你知道他們是怎么做的嗎?你還有其他的方法嗎?解:小明:連接多邊形的一個頂點與不相鄰的頂點,把五邊形分成三個三角形,

可得五邊形內角和=3×180°=540°;小亮:在五邊形內部取一點,與五邊形各頂點相連,把五邊形分成五個三角形,

可得五邊形內角和=5×180°-360°=540°;還可以在五邊形邊上取一點(除五邊形的頂點外),連接與其不相鄰的頂點,

可得五邊形內角和=4×180°-180°=540°

【探究1】多邊形內角和探究與應用【嘗試·思考】(1)按照上面圖(1)的方法,六邊形能分成多少個三角形?n(n是大于或等于3的自然數)邊形呢?你能確定n邊形的內角和嗎?(2)按照圖(2)的方法再試一試.解：按照圖(1)的方法,可把六邊形分成4個三角形,n邊形能分成(n-2)個三角形,從而得到n邊形的內角和=(n-2)·180°;按照圖(2)的方法,可把六邊形分成6個三角形,n邊形能分成n個三角形,從而得到n邊形的內角和=180°n-360°,也就是(n-2)·180°.

【探究1】多邊形內角和探究與應用【概括新知】

定理:n邊形的內角和是(n-2)·180°

從n邊形的一個頂點可以引出(n-3)條對角線,把n邊形分成(n-2)個三角形.從而得出:n邊形的內角和是(n-2)·180°.

【探究】多邊形內角和探究與應用【應用】

例(教材例1)如圖,四邊形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠B與∠D有怎樣的關系?解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°

【探究2】正多邊形的內角探究與應用【操作·思考】(1)正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形、正八邊形的每個內角分別是多少度?(2)怎樣計算正多邊形每個內角的度數（1）解：正三角形的每個內角為：180°÷3=60°；正方形的每個內角為：360°÷4=90°；正五邊形的每個內角為：（5-2）×180°÷5=108°；正六邊形的每個內角為：（6-2）×180°÷6=120°；正八邊形的每個內角為：（8-2）×180°÷8=135°．（2）正多邊形每個內角的度數=內角和除以邊數

【探究3】剪掉一個角后的圖形的內角和探究與應用【思考·交流】

剪掉一張長方形紙片的一個角后，剩下的紙片是幾邊形？它的內角和是多少度？與同伴進行交流.解：因為剪掉一個角以后，多邊形的邊數可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當截線為經過長方形對角2個頂點的直線時，剩余圖形為三角形，內角和為180°；當截線為經過長方形一組對邊的直線時，剩余圖形是四邊形，內角和360°；當截線為只經過長方形一組鄰邊的一條直線時，剩余圖形是五邊形，內角和為540°．【拓展提升】1.一個多邊形截去一個角后,形成另一個多邊形的內角和為720°,那么原多邊形的邊數為 (

)A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或72.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=45°.直線l與邊AB,AD分別相交于點M,N,則∠1+∠2=

.

探究與應用D

達標測評1.一個多邊形的邊數是10,這個多邊形的內角和是 (

)A.1800°

B.1440°

C.1980°

D.540°2.一個多邊形的內角和等于1800°,則它的邊數是 (

)A.5 B.6 C.8D.123.在四邊形ABCD中,∠A,∠B,∠C,∠D的度數比為1∶3∶3∶5,則∠D= (

)A.20° B.90° C.130° D.150°BD課堂小結與檢測D

達標測評4.一個多邊形的內角和等于900°,它是

邊形.

5.一個多邊形除去一個內角后,其余內角的和為1680°,它是

邊形.

課堂小結與檢測七十二第一章

三角形的證明1三角形內角和定理第4課時

多邊形的外角和

知識關聯探究與應用 課堂小結與檢測問題:(1)什么是三角形的外角?(2)三角形的外角有哪些性質?

知識關聯

三角形內角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角,稱為三角形的外角.①三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.②三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

【探究】多邊形的外角和定理探究與應用【情境問題】

如圖,小剛在公園沿著五邊形步道按逆時針方向慢跑.(1)小剛每次從五邊形步道的一條邊轉到下一條邊時,跑步方向改變的角是哪個角?在圖上標出這些角.(1)如圖跑步方向改變的角是:∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.51234

【探究】多邊形的外角和定理探究與應用【情境問題】

(2)他每跑完一圈,跑步方向改變的角的總和是多少度?說說你的理由,并與同伴進行交流.(2)跑步方向改變的角的總和是360°.理由:方法一:以小明自身轉過的度數計算,轉過一周,剛好是360°;方法二:用量角器量出度數后計算;方法三:把各個外角都剪出來,再拼在一起,類似驗證三角形內角和的方法;

【探究】多邊形的外角和定理探究與應用【情境問題】

(2)他每跑完一圈,跑步方向改變的角的總和是多少度?說說你的理由,并與同伴進行交流.方法四:利用內角與相鄰的外角互補的關系推理得出:∵∠1+∠EAB=180°,∠2+∠ABC=180°,∠3+∠BCD=180°,∠4+∠CDE=180°,∠5+∠DEA=180°,∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.∵五邊形的內角和為(5-2)×180°=540°,即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.

【探究】多邊形的外角和定理探究與應用【思考·交流】

如果公園的步道是六邊形、八邊形,那么結果會怎樣?與同伴進行交流.六邊形或八邊形的外角和都等于是360°。

【探究】多邊形的外角和定理探究與應用【概括新知】

說明:多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角.在每個頂點處取這個多邊形的一個外角,它們的和叫做這個多邊形的外角和.

多邊形的外角和等于360°.

【探究】多邊形的外角和定理探究與應用【應用】

例(教材例2)一個多邊形的內角和等于它的外角和的3倍,它是幾邊形?解: