第4章三角形4利用三角形全等測距離北師版

七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）情景導(dǎo)入判定三角形全等有哪些方法？①“SSS”：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。②“ASA”：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。③“AAS”：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。④“SAS”：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。新課探究測碉堡的距離閱讀課本P110

頁的材料，你知道我軍戰(zhàn)士運(yùn)用了什么知識(shí)測出我軍陣地與敵軍碉堡距離的嗎？“調(diào)整帽子”“保持剛才的姿態(tài)”的數(shù)學(xué)意義是什么?“調(diào)整帽子”即可改變視角的大小。帽檐向上移動(dòng)，視角變大，觀察到的范圍變大；帽檐向下移動(dòng)，視角變小，觀察到的范圍變小。“保持剛才的姿態(tài)”即保持視角不變。新課探究戰(zhàn)士所講述的方法中，已知條件是什么?要求的是什么?ACBD已知條件:①戰(zhàn)士的身高不變，AC=AC；②戰(zhàn)士與地面是垂直的(AC⊥BD)；③視角∠CAB=∠CAD。要求的是:敵碉堡(B)與我軍陣地(D)的距離。戰(zhàn)士所講述的方法中，

戰(zhàn)士的結(jié)論是什么?戰(zhàn)士的結(jié)論:只要按要求(如圖)測得DC

的長度即可。(BC=DC)你能用數(shù)學(xué)的知識(shí)說明BC=DC嗎?ACBD理由：在△ACB與△ACD中，∠BAC=∠DAC，AC=AC（公共邊），∠ACB=∠ACD=90°，△ACB≌△ACD（ASA）所以BC=DC。

ACBD利用三角形全等可以測量兩點(diǎn)之間的距離。不可測量或不方便測量的線段方便測量的線段構(gòu)造全等三角形利用全等三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)移線段。歸納總結(jié)觀察思考如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，你能幫小明設(shè)計(jì)一個(gè)方案，解決問題嗎？ABAB先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B點(diǎn)的點(diǎn)C;CED連接AC

并延長到D，使CD=CA；連接BC

并延長到E，使CE=CB，連接DE

并測量出它的長度即為AB

之間的距離.方案一：理由:在△ACB與△DCE中，所以△ACB≌△DCE（SAS）所以

AB=DE

(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∠BCA=∠ECD，AC=CD，BC=CE，因?yàn)锳BCEDABCD方案二：如圖，先作三角形ABC，再找一點(diǎn)D，使AD∥BC，并使AD=BC，連結(jié)CD，量CD的長即得AB之間的距離。理由:在△DAC與△BCA中，所以△DAC≌△BCA（SAS）所以AB=CD

(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∠DAC=∠BCA，DA=BC，AC=CA，因?yàn)锳BCD應(yīng)用舉例【例2】小強(qiáng)為了測量一幢高樓的高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點(diǎn)P.測得旗桿頂C視線PC與地面的夾角為∠DPC＝36°，測得樓頂A視線PA與地面的夾角∠APB＝54°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于10m，量得旗桿與樓之間距離為DB＝36m，小強(qiáng)計(jì)算出了樓高，樓高AB是多少米？【方法指導(dǎo)】根據(jù)題意可得△CPD≌△PAB(ASA)，進(jìn)而利用AB＝DP＝DB－PB求出即可．解：因?yàn)椤螩PD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，所以∠DCP＝90°－∠CPD＝54°＝∠APB.在△CPD和△PAB中，因?yàn)椤螩DP＝∠PBA，DC＝BP，∠DCP＝∠BPA，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△CPD≌△PAB.根據(jù)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”，所以DP＝AB.因?yàn)镈B＝36m，PB＝10m，所以AB＝DP＝DB－PB＝36－10＝26(m).答：樓高AB是26m．課堂小結(jié)利用三角形全等測距離原理方法數(shù)學(xué)思想全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等構(gòu)造全等三角形用三角形全等構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題隨堂練習(xí)1．如圖，將兩根等長鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′，BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測量工件，則AB的長等于容器內(nèi)徑A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是________Ｗ．SAS2．如圖，要測量河岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，先從B處出發(fā)沿與AB成90°角方向，向前走50m到C處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走50m到D處，在D處轉(zhuǎn)90°沿DE方向再走17m，到達(dá)E處，使A，C，E在同一直線上，那么A，B的距離為

m.173．如圖，兩根長12m的繩子，一端系在旗桿上的同一位置，另一端分別固定在地面上的兩個(gè)木樁上（繩結(jié)處的誤差忽略不計(jì)），現(xiàn)在只有一把卷尺，如何來檢驗(yàn)旗桿是否垂直于地面，請(qǐng)說明理由．解：用卷尺測量出BD是否與CD相等．理由如下：在△ABD和△ACD中，因?yàn)锳B＝AC，BD＝CD，AD＝AD，根據(jù)三角形全等的判定條件“SSS”，所以△ABD≌△ACD.根據(jù)“全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”，所以∠ADB＝∠ADC.又因?yàn)椤螦DB＋∠ADC＝180°，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC.4.如圖，把兩根鋼條AB，CD的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測量工件內(nèi)槽寬的工具(卡鉗)。

只要量得

AC的長度，就可知工件的內(nèi)徑BD是否符合標(biāo)準(zhǔn)。你明白其中的道理嗎?與同伴進(jìn)行交流。