專題07解三角形中最值、類中線、內(nèi)切圓等8大題型

內(nèi)容導(dǎo)航

熱點聚焦方法精講能力突破

熱點聚焦·析考情

鎖定熱點，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點題型，明確命題趨勢下的核心考查方向。

題型引領(lǐng)·講方法

系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對應(yīng)高頻熱點題型的解題策略與實戰(zhàn)方法技巧。

能力突破·限時練

實戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點經(jīng)典題目，限時訓(xùn)練，實現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。

近三年：1、解三角形是近3年的高考命題熱點，常以解答題為主，但也會考察選擇填空題，?？疾閮?nèi)容、

頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點是正余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，也會考察解三角形中的最值范

圍問題．

預(yù)測2026年：解三角可能會考一道最值中檔試題，考察解三角形類中線最值問題，與平面向量相結(jié)合，也

可能考察三角形中的內(nèi)切圓問題。

熱點題型：

題型01求對邊對角三角形面積最大值范圍問題題型02對邊對角的銳角三角形面積問題

題型03非對邊對角的銳角三角形面積問題題型04解三角形中對邊對角求周長最值范圍問題

題型05銳角ABC的對邊對角求周長最值范圍問題題型06解三角形中的類中線問題處理策略

題型07解三角形中的外接圓問題題型08解三角形中的內(nèi)切圓問題

題型01求對邊對角三角形面積最大值范圍問題

解｜題｜策｜略

解題思路：余弦定理+不等式a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab取等號

秒殺思路：60角等邊，非60等腰面積最大

【精選例題】

【例1】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A為銳角，ABC的面積為S，且

2

22a

bctanA4S.

2sin2A

(1)求A；

(2)若a1，求S的最大值.

【詳解】（1）解決解三角形問題，看到既有切又有弦要考慮切化弦，看到邊的平方要想到余弦定理代換

2

22a22sinA12

因此本題由bctanA4S得，bc4sinAcosA4sinAcosA4bcsinAa，

2sin2AcosA2

222

22222bca

化簡得，4sinAbc8sinAcosAbca，又根據(jù)余弦定理cosA，則代入上式可得

2bc

1π

a24a2sin2A,即sinA，因為A為銳角，所以A.

26

abc

（2）秒殺技巧：等腰三角形面積最大，所以知道，解得

sin30sin75sin75

sin75232162

bca2sin45302，所以

sin3022222

2

1162123

SABCmaxbcsinA

22224

11b2c2a23

大題解題步驟：SbcsinAbc，由cosA，b2c23bc12bc，則bc23，

242bc2

12323

Sbc，所以S的最大值為.當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號

444

【例2】在①asinC3ccosA；②abcsinBsinCsinA3bsinC；③acosC3asinCbc這

三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.

在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（填條件序號）.

(1)求角A；

(2)a2，求SABC的最大值.

注:如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分.

π

【答案】(1)選①或②或③，A；(2)3

3

【詳解】（1）解：若選①，解題思路：看到既有邊又有角，要統(tǒng)一為角或者邊。

因此本題因為asinC3ccosA，由正弦定理可得sinAsinC3sinCcosA，因為A、C0,π，則sinA0，

π

sinC0，所以，sinA3cosA0，所以，tanA3，故A；

3

若選②，解題思路：都是正弦想到化為邊即為邊的平方的關(guān)系，再用余弦定理。

因此本題因為abcsinBsinCsinA3bsinC，由正弦定理可得

2

3bcbcabcabca2b2c2a22bc，所以，b2c2a2bc，由余弦定理可得

b2c2a21π

cosA，因為A0,π，故A；

2bc23

若選③，解題思路：看到既有邊又有角，要統(tǒng)一為角或者邊，看到三個角的關(guān)系要想到化為兩個角

因此本題acosC3asinCbc，由正弦定理可得

sinAcosC3sinAsinCsinBsinCsinACsinCsinAcosCcosAsinCsinC，所以，

π

3sinAsinCcosAsinCsinC，因為A、C0,π，則sinC0，則3sinAcosA1，即2sinA1，

6

π1ππ5ππππ

可得sinA，因為0Aπ，則A，所以，A，故A.

62666663

（）秒殺技巧：等邊三角形面積最大，113

2SbcsinA223

ABCmax222

π

大題解題步驟：因為A，由余弦定理可得a2b2c22bccosAb2c2bc4，由基本不等式可得

3

2211333

4bcbc2bcbcbc，即bc4，所以，S△bcsinAbcbc43，當(dāng)且

ABC22244

僅當(dāng)bc2時，等號成立，故SABC的最大值為3.

【例3】已知函數(shù)f(x)sinx(0).

2

(1)當(dāng)時，求函數(shù)f(x)的最小正周期以及它的圖象相鄰兩條對稱軸的距離；

3

2

(2)設(shè)2，在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f(A)sinA,a2，求ABC面積的最

3

大值.

3

【答案】(1)最小正周期為3π，相鄰兩條對稱軸的距離為π；(2)2

2

2π

2T3π13

【詳解】（1）f(x)sinx的最小正周期為2，它的圖象相鄰兩條對稱軸的距離為Tπ；

3322

221

（2）由題意得sin2AsinA，即2sinAcosAsinA，因為A0,π，所以sinA0，故cosA，由

333

22

bc41222bc

余弦定理得，即bc4，由基本不等式得b2c22bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時，等號成立，

2bc33

2bc2221322

故42bc，解得bc3，其中sinA1cosA，故ABC面積bcsinA2，故ABC

33223

面積的最大值為2.

【例4】ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，其面積為S，且4Sb2c2a2.

(1)求A；

(2)已知a22，求S的取值范圍.

π2221

【答案】(1)A；(2)0S222【詳解】（1）因為三角形的面積為4Sbca4bcsinA，則

42

b2c2a2π

sinAcosA，所以tanA1，又A(0,π)，則A；

2bc4

b2c2a22

（2）由于cosA，所以b2c282bc2bc8，即22bc8bc842，bc取等

2bc2

11212

號，故SbcsinAbc842222，故0S222

22222

【變式訓(xùn)練】

1.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bacosCcsinA．

(1)求A；

(2)若a2，求ABC面積的最大值．

π

【答案】(1)A；(2)【詳解】（1）因為bacosCcsinA，由正弦定理得sinBsinAcosCsinCsinA，

421

又sinBsinACsinAcosCcosAsinC，所以sinAcosCcosAsinCsinAcosCsinCsinA，即

π

cosAsinCsinCsinA，又C0,π，則sinC0，所以tanA1，又因A0,π，所以A；

4

4

（2）由余弦定理得a2b2c22bccosA，即4b2c22bc2bc2bc，所以bc422，

22

12

當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號，所以S△bcsinAbc21，即ABC面積的最大值為21．

ABC24

2.已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，acosAC2cbcosBC.

(1)求角A的大??；

(2)若a6，求ABC面積的最大值.

π

【答案】(1)A；(2)93【詳解】（1）解：因為acosAC2cbcosBC，由正弦定理可得

3

sinAcosπB2sinCsinBcosπA，即sinAcosB2sinCcosAsinBcosA，所以，

1

2sinCcosAsinAcosBcosAsinBsinABsinC，因為A、C0,π，則sinC0，所以，cosA，

2

π1

故A.（2）解：由余弦定理可得36a2b2c22bccosAb2c22bcb2c2bc2bcbcbc，

32

11333

即bc36，當(dāng)且僅當(dāng)bc6時，等號成立，所以，S△bcsinAbcbc3693，

ABC22244

故ABC面積的最大值為93.

2ca

3.已知ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，其對邊分別為a、b、c，若cosCtanBsinC．

b

(1)求角B的值；

(2)若b2，求ABC面積S的最大值．

π2casinCsinB

【答案】(1)B；(2)3【詳解】（1）解：因為cosCtanBsinC，所以，

3bcosB

2casinBsinCsinBsinCcosBcosCcosBcosCsinBsinC

cosC

bcosBcosBcosB

cosBCcosπAcosA2sinCsinAcosA

，且cosB0，由正弦定理可得，即

cosBcosBcosBsinBcosB

1

2sinCcosBsinAcosBcosAsinBsinABsinC，因為C0,π，則sinC0，則cosB，又因

2

πππ

為B0,,π，故B（.2）解：由余弦定理b2a2c22accosB，可得4a2c2ac2acacac.

223

13

當(dāng)且僅當(dāng)ac時取得等號，所以ac4.所以，ABC面積SacsinBac3，所以，ABC面積S

24

的最大值為3．

AB

4.從①asincsinA；②sin2Asin2Bsin2CsinAsinB0；③ccosB2abcosC0，這三個條

2

件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．

在

ABC中，三邊a,b,c分別是角

A,B,C的對邊，若______.

(1)求C；

(2)若c2，求

ABC

的面積的最大值．

πABπC

【答案】(1)；(2)3【詳解】（1）解：若選條件①，由asincsinA，可得sinAsin()sinCsinA，

3222

CCCCCπ

即sinAcossinCsinA，因為A(0,π)，所以sinA0，可得cossinC2sincos，因為(0,)，

222222

CC1Cππ

可得cos0，所以sin，所以，可得C.若選條件②，由sin2Asin2Bsin2CsinAsinB0，

222263

a2b2c21

根據(jù)正弦定理得a2b2c2ab0，即a2b2c2ab，由余弦定理得cosC，因為

2ab2

π

C(0,π)，所以C.若選條件③：由ccosB2abcosC0，可得sinCcosB2sinAsinBcosC0，

3

即sinCcosB2sinAcosCsinBcosC0，因為sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，可得

1π

sinA2sinAcosC，又因為A(0,π)，所以sinA0，所以cosC，因為C(0,π)，所以C.

23

π

（2）解：由（1）知：C且c2，又由余弦定理得c2a2b22abcosC，即

3

π

4a2b22abcosa2b2ab2ababab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，所以ab4，則

3

11π

S△ABCabsinC4sin3，所以

ABC

面積的最大值為3.

223

題型02對邊對角的銳角三角形面積問題

解｜題｜策｜略

解題思路：面積公式2R邊換角降冪公式輔助角公式銳角范圍求面積范圍

【精選例題】

2accosC

【例1】在銳角ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊，已知且b6，則銳角ABC

6cosB

面積的取值范圍為（）

A．0,43B．43,93C．63,93D．0,63

2accosC2accosC2sinAsinCcosC

【答案】C【詳解】且b6，,根據(jù)正弦定理得，,即

6cosBbcosBsinBcosB

π

2sinAsinCcosBsinBcosC，整理得2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsinA，A0,，sinA0，

2

abc6

1π2R43

2cosB1，解得cosB，B，sinAsinBsinC3，a43sinA，

23

2

12π

c43sinC,ABC的面積SacsinB123sinAsinC123sinAsinA

23

3131231cos2A

S123sinAcosAsinA123cosAsinAsinA63sin2A

222222

311ππ

63sin2Acos2A63sin2A33ABC為銳角三角形，0A，

22262

2ππππππ5ππ1

0CA，A，2A,，sin2A,1，

326266662

π

S63sin2A3363,93.故選：C.

6

【例2】已知函數(shù)fx2sinxcosx23sin2x3．

(1)求函數(shù)fx的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間，

(2)若A為銳角ABC的內(nèi)角，且fA3,a23，求ABC面積的取值范圍．

π5π

【答案】(1)最小正周期為π；單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ,kπ],kZ；(2)(23,33]

1212

π

【詳解】（1）函數(shù)fx2sinxcosx23sin2x3sin2x3cos2x2sin(2x)，所以函數(shù)f(x)的最

3

2πππππ5π

小正周期為Tπ，由2kπ2x2kπ,kZ，可得kπxkπ,kZ，即有函數(shù)f(x)

22321212

π5π

的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ,kπ],kZ.

1212

π3π

（2）若A為銳角ABC的內(nèi)角，且fA3,a23，可得sin(2A)，由0A，可得

322

abc23

ππ2ππππ2π4

2A，則2A，即A,BC.由正弦定理得，sinAsinBsinCπ，所以

3333333sin

3

1132π

b4sinB,c4sinC，所以ABC面積SbcsinA16sinBsin(B)

2223

31π

43sinB(cosBsinB)3sin2B3cos2B323sin(2B)3，又因為ABC為銳角三角形，

226

ππ

0B0B

22ππππ5π1π

則，即，解得B，所以2B，所以sin(2B)1，所以

π2ππ6266626

0C0B

232

23S33.故ABC面積的取值范圍是(23,33].

【專題訓(xùn)練】

1

1.設(shè)ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosCcb．

2

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a2，求銳角ABC的面積的取值范圍．

π231

【答案】(1)；(2),3【詳解】（1）因為acosCcb，所以由正弦定理，得

332

1

sinAcosCsinCsinB．又在ABC中，sinBsin(πB)sin(AC)sinAcosCcosAsinC，所以

2

111

sinAcosCsinCsinAcosCcosAsinC，則sinCcosAsinC，又0Cπ，則sinC0，所以cosA，

222

π

又0Aπ，所以A.

3

bca2444

（2）因為a2，則2，所以bsinB,csinC，

sinBsinCsinA3333

1144343

SABCbcsinAsinBsinCsinBsinC

223323

43π43312323

sinBsinBsinBcosBsinB2sinBcosBsinBsin2B1cos2B

3332233

π

0B

2331323π32

sin2Bcos2Bsin2B，因為ABC為銳角三角形，所以，解

3223363ππ

B

32

ππππ5π1π2323π3

得B,，所以2B，所以sin2B1，故sin2B3，則

62666263363

23

SABC,3.

3

2.在銳角ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且2bcsin2Ab2c2a2.

(1)求A；

(2)若ABC外接圓的半徑是1，求ABC面積的取值范圍.

222

313222bca

【答案】(1)A；(2),【詳解】（1）因為2bcsin2Abca，所以sin2AcosA，

62242bc

π1π

則2sinAcosAcosA，因為ABC是銳角三角形，所以0A，則cosA0，所以sinA，所以A；

226

abc

（2）因為ABC外接圓的半徑是1，所以2，則b2sinB,c2sinC，所以

sinAsinBsinC

115π13

sinBsinBsinBcosBsinB132

SABCbcsinAbcsinBsinCsinBcosBsinB

2462222

131cos2B11331π3

sin2Bsin2Bcos2Bsin2B，因為ABC是銳角三角形，

4222224234

π5ππππ

所以B0,,CB0,，所以B,，則

26232

ππ2ππ31π3313

2B,,sin2B,1,sin2B,，故ABC面積的取值范圍是

33332234224

313

,.

224

題型03非對邊對角的銳角三角形面積問題

解｜題｜策｜略

解題思路：秒殺：畫兩個直角三角形直接秒（注意兩邊都為開區(qū)間）

解答題步驟：正弦定理邊化角化為tan求解（注意角的范圍）

【精選例題】

π

【例1】已知a，b，c分別是ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，已知角A，b4，若ABC是銳角

3

三角形，則ABC的面積為S的取值范圍為.

【詳解】秒殺技巧：畫兩個直角三角形直接秒

SABC23,83

a4c

大題解題步驟：法一正弦定理化為三角函數(shù)求解：由正弦定理得π，所以

sinsinBsinC

3

π

π4sinC43sin(B)

asinB4sin23,c，故143sinC36，又

3sinBSABCacsinB3c23

2sinBsinBtanB

π

0B

2ππ31

因為ABC是銳角三角形，所以，故B，所以tanB，03，故

2ππ623tanB

0B

32

6

2323,83，即ABC的面積為S的取值范圍為23,83

tanB

π

法二：余弦定理求邊的范圍求解，利用銳角余弦值為正。詳解因為A，b4，由余弦定理得

3

22222a2b2c2

bca，即16ca1，故22，為銳角三角形，則，即

cosA16c4caABC222

2bc8c2acb

a216c2①

，由①得22，解得，由②得22，解得或（舍

2216c4c16cc816c4cc16c2c0

ac16②

1

去），綜上2c8，所以SbcsinA3c(23,83).

ABC2

【例2】記銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcosA3acosB，2asinC3.

(1)求A.

(2)求ABC面積的取值范圍.

π333

【答案】(1)A；(2),.

682

b2c2a2a2c2b2

【詳解】（1）方法一：由余弦定理，得b3a，解得c3.又2asinC3，

2bc2ac

asinC1π

所以由正弦定理，得sinA.又ABC為銳角三角形，所以A.

c26

方法二：由題意知，bcosA2asinCacosB.由正弦定理得sinBcosA2sinAsinCsinAcosB，所以

sinBcosAcosBsinA2sinAsinC，所以sinBA2sinAsinC，即sinC2sinAsinC；又因為sinC0，

1ππ

所以sinA，又因為A0,，所以A.

226

csinB3sinAC3sinAcosC3cosAsinC33

（2）由正弦定理，得b；因為ABC為

sinCsinCsinC2tanC2

π

0C

2ππ3

銳角三角形，所以，解得C，所以tanC3，所以b2.因為c3，所以

5ππ322

0BC

62

13333333

，所以故面積的取值范圍為,

S△ABCbcsinAbS△ABC.ABC.

248282

【專題訓(xùn)練】

π

1.已知銳角ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．且2asinCbc．

6

(1)求角A；

(2)若c1，求ABC面積的取值范圍．

π33π

【答案】(1)A；(2),【詳解】（1）因為2asinCbc，可得acosC3sinCbc，

3826

由正弦定理得sinAcosC3sinCsinBsinC，又因為sinBsinACsinAcosCcosAsinC，可得

ππ1

3sinAsinCsinCcosAsinC，且C0,，則sinC0，可得，則sinA，又因

23sinAcosA162

πππππππ

為A0,，則A,，可得A，所以A．

2663663

2

bccsinBsinπC

（2）由正弦定理，可得b，則ABC面積13sinB33

sinBsinCsinCSbcsinA

ABC24sinC4sinC

π

130C

sinCcosC2

32233，因為ABC為銳角三角形，故，解得

1