專題01集合和常用邏輯用語

目錄

第一部分考向速遞洞察考向，感知前沿

第二部分題型歸納梳理題型，突破重難

題型01元素與集合及元素特性

題型02集合間的基本關系

題型03集合的基本運算

題型04充分條件與必要條件

題型05全稱量詞與存在量詞

題型06集合新定義

題型07以集合與常用邏輯用語為載體的創(chuàng)新題

第三部分分層突破固本培優(yōu)，精準提分

A組·基礎保分練

B組·重難提升練

1．（集合的概念）（2025·江西·模擬預測）8月20日《黑神話悟空》風靡全球，下列幾組對象可

以構成集合的是（）

A．游戲中會變身的妖怪B．游戲中長的高的妖怪

C．游戲中能力強的妖怪D．游戲中擊敗后給獎勵多的妖怪

【答案】A

【分析】根據集合的確定性依次判斷選項即可.

【詳解】對A：游戲中會變身的妖怪可以構成集合，故A正確；

對B、C、D：不滿足集合的確定性，故不能構成集合，故B、C、D錯誤.

故選：A.

2．（集合的基本運算）（2025·四川廣安·模擬預測）設集合M{(x,y)|yf(x),xD}，

N{(x,y)|x2,yR}，則MN等于（）

A．2,f2B．2,f2或

C．2,f2D．

【答案】B

【分析】根據2D和2D兩種情況判斷得出.

【詳解】分兩種情況：

當2D時，MN{(2,f(2))}；當2D時，MN

故MN{(2,f(2))}或MN

故選：B

3．（集合的基本運算）（（2025·吉林長春·一模）已知集合A{高，考，必，勝}，B{吉，大，

必，勝}，則AB（）

A．{吉，大，高，考}B．{必，勝}

C．{金，榜，題，名}D．{吉，大，高，考，必，勝}

【答案】D

【分析】根據并集的含義即可得到答案.

【詳解】根據并集的含義得AB{吉，大，高，考，必，勝}.

故選：D.

4．（集合的基本運算）（2025·廣東·二模）對于任意集合M,N，下列關系正確的是（）

e痧

A．MMNNMNB．MNMNMNMMNN

e痧

C．MMNNMND．MN(MN)MNMMNN

【答案】B

【分析】利用韋恩圖進行判斷即可得到結果.

【詳解】

ee

對于A：如圖所知，MNN為區(qū)域①，所以MMNNM，故A錯誤；

eee痧

對于B：MNMN為區(qū)域①和③；MNM為區(qū)域③，MNN為區(qū)域①，則MNMMNN也為

為區(qū)域①和③；兩邊相等，故B正確；

ee

對于C：MNN為區(qū)域①，MMNN為區(qū)域①，不等于區(qū)域②（區(qū)域②為MN），故C錯誤；

eee痧

對于D：MN(MN)為區(qū)域①和③；而MNM為區(qū)域③，MNN為區(qū)域①，所以MNMMNN

為空集，所以D錯誤；

故選：B.

1

5．（集合間的關系及基本運算）（2025·廣東·模擬預測）已知集合A{2,b,ab}，B{1,a,}，

b

則（）

1

A．當ab時，集合AB含有2個元素

2

B．集合AB中的元素個數可能為5

a

C．當AB時，2

b

D．當a0時，AB

【答案】ABD

【分析】根據各選項的條件，可驗證AD正確；通過舉例子可判斷B正確；通過舉反例可排除C項.

11111

【詳解】對于A，當ab時，則A{,,2}，B,1,2，此時AB,2，故A正確；

24222

11

對于B，取a2，b3，則A2,3,6，B,1,2，此時AB,1,2,3,6，故B正確；

33

1a

對于C，取a6，b3，此時A2,3,18，B,1,6，AB，而有2，故C錯誤；

3b

1

對于D，當a0時，A{0,2,b}，B{0,1,}，

b

根據集合元素的互異性，必有b1，

1

若AB，則兩集合除0外的元素也應相同，即{2,b}{1,}，

b

11

這需要滿足“21且b”（顯然不成立）或“2且b1”，后者要求b1，

bb

與集合B元素互異性的要求b1矛盾，故假設AB不成立，因此AB，故D正確，

故選：ABD．

x2

6．（集合新定義·多選題）（2025·陜西·模擬預測）定義集合運算：ABx,yA,B.

2y

15

若集合ABxN1x4，Cx,yyx，則ABC（）

63

A．B．4,1

22

C．1,D．4,1,6,

33

【答案】D

2

【分析】求出A,B后可求得ABC4,1,6,，故可得正確的選項

3

22

【詳解】由題設可得AB2,3，AB4,1,4,,6,1,6,，

33

1521515215

因為14，4，16，6，

6336363363

2

故ABC4,1,6,，

3

故選：D.

7．（集合新定義）（2025·湖南·二模）給定整數n3，有n個實數元素的集合S，定義其相伴數

集Taba,bS,ab，如果minT1，則稱集合S為一個n元規(guī)范數集．（注：minX表示數集X中

的最小數）．對于集合M0.1,1.1,2,2.5、N1.5,0.5,0.5,1.5，則（）

A．M是規(guī)范數集，N不是規(guī)范數集B．M是規(guī)范數集，N是規(guī)范數集

C．M不是規(guī)范數集，N是規(guī)范數集D．M不是規(guī)范數集，N不是規(guī)范數集

【答案】C

【分析】利用規(guī)范數集的定義，逐項判斷即可得解.

【詳解】集合M0.1,1.1,2,2.5中，2M,2.5M，則|22.5|0.51，

即M的相伴數集中的最小數不是1，因此M不是規(guī)范數集；

集合N1.5,0.5,0.5,1.5，|1.5(0.5)|1,|0.50.5|1,|0.51.5|1，

|1.50.5||0.51.5|2,|1.51.5|3，

即N的相伴數集中的最小數是1，因此N是規(guī)范數集.

故選：C

8．（集合新定義·多選題）（2025·湖南邵陽·模擬預測）給定實數集A，定義集合

MmRaA,都有ma，若M是非空集合，則稱集合M中最小的元素為集合A的上確界，記作supA.

以下說法正確的是（）

A．若數集A中有2025個元素，則supA一定存在

B．若數集A中沒有最大值，則supA不存在

C．若數集A，B有上確界，則數集ab∣aA,bB一定也有上確界，為supAsupB

D．若數集A，B有上確界，則數集ab∣aA,bB一定也有上確界，為supAsupB

【答案】AC

【分析】根據集合的上確界的概念判斷A，結合反比例函數的性質利用集合的上確界的概念判斷B，結合

不等式的性質利用集合的上確界的概念判斷C，舉反例判斷D.

【詳解】對于A，若數集A中有2025個元素，則數集A中的元素一定有最大值，

數集A一定有上確界，故A正確；

11

對于B，若Axx,n1，當n1時，x1，

nn

則數集A中的元素沒有最大值，

aA，都有ma，m1，

supA1，即數集A中有上確界，故B錯誤；

對于C，若數集A，B有上確界，設supAm，supBn，

由上確界的定義可知，對于aA，bB，都有am，bn，abmn，

即supab∣aA,bBmnsupAsupB，故C正確；

對于D，若A2,1，B1,2，則數集A，B有上確界，且supA1，supB2，

此時ab∣aA,bB4,2,1，

則supab∣aA,bB12supAsupB，故D錯誤.

故選：AC

9．（充分條件與必要條件）（24-25高三上·浙江·模擬預測）“其身正，不令而行；其身不正，雖

令不從”出自《論語·子路》．意思是：當政者本身言行端正，不用發(fā)號施令，大家自然起身效法，政令將會

暢行無阻；如果當政者本身言行不正，雖下命令，大家也不會服從遵守．根據上述材料，“身正”是“令行”

的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】結合題意判斷“身正”和“令行”之間的邏輯關系，即得答案.

【詳解】由題意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分條件；

又其身不正，雖令不從，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要條件，

綜合知“身正”是“令行”的充要條件，

故選：C．

10．（全稱量詞與存在量詞）（24-25高三上·河南周口·模擬預測）命題“存在偶數a，使數據3，

4，1，a，5，7的中位數是偶數”的否定為（）

A．對任意的偶數a，數據3，4，1，a，5，7的中位數是奇數

B．對任意的偶數a，數據3，4，1，a，5，7的中位數不是偶數

C．存在奇數a，使數據3，4，1，a，5，7的中位數是奇數

D．不存在奇數a，使數據3，4，1，a，5，7的中位數不是偶數

【答案】B

【分析】根據特稱命題的否定是全稱命題判斷即可.

【詳解】命題“存在偶數a，使數據3，4，1，a，5，7的中位數是偶數”的否定為“對任意的偶數a，數據3，

4，1，a，5，7的中位數不是偶數”.

故選：B

4

11．（全稱量詞與存在量詞）（2025·四川綿陽·模擬預測）若命題P：“x0,2，都有x4”，

x

則命題P的否定為（）

44

A．x0,2，都有x4B．x0,2，都有x4

xx

44

C．x0,2，使得x4D．x0,2，使得x4

xx

【答案】C

【分析】根據存全稱詞命題的否定是存在量詞命題分析判斷.

【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

4

所以命題P的否定為“x0,2，使得x4”.

x

故選：C.

01元素與集合及元素特性

1．（2025·陜西漢中·二模）已知集合A2m3nmZ,nN，則（）

A．3AB．253AC．4AD．123A

【答案】C

【分析】根據有理數和無理數的概念以及無理數數的拆分，對各個選項判斷即可.

【詳解】因為A2m3nmZ,nN，

設32m3n,則：有理數部分：02mm0，無理數部分:33nn1，

m0Z,n1N,符合條件，所以3A，故A錯誤；

設2532m3n,則有理數部分:22mm1，無理數部分:533nn5，

m1Z,n5N,符合條件，故253A，故B錯誤；

設42m3n,則：有理數部分:42mm2，無理數部分：03nn0N，故4A,故C正確；

設1232m3n,則有理數部分：12mm0.5(非整數，矛盾)，故123A，故D錯誤．

故選：C.

2．（2025·江西·一模）已知集合Ax|x23x100，則（）

A．4AB．2AC．3AD．5A

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求集合，判斷各元素與集合關系，即可得答案.

【詳解】由題設Ax|(x2)(x5)0{x|2x5}，

結合各選項，A、B、D錯，C對.

故選：C

3．（2025·甘肅慶陽·二模）已知集合A1,a1,a2，且2A，則實數a的值為．

【答案】3

【分析】因為2A，則a12或a22，由此可解出a，再代入集合A驗證，需要滿足集合的互異性，

由此可得答案.

【詳解】因為2A，所以分為以下兩種情況：

①a12a3或1，當a3時，集合A1,2,5滿足題意；

當a1時，集合A1,2,1，違反了集合的互異性，故舍去；

②a22a0，此時集合A1,1,2，違反了集合的互異性，故舍去；

綜上所述，a3.

故答案為：3.

n2

4．（2025·陜西西安·一模）已知mR，nR，若集合m,,1m,mn,0，則m2025n2025（）

m

A．0B．1C．1D．1或-1

【答案】C

【分析】由兩集合相等及分式的分母不為0可求出n，再利用集合相等和互異性求m，代入計算m2025n2025

即可.

nn

【詳解】因為0m,,1，m0，所以0，故n0，

mm

2

此時集合為m,0,1m,m,0，根據集合相等，必有m21，解得m1或m1．

當m1時，不滿足集合元素的互異性，

當m1時，集合為{1,0,1}，符合條件.

2025

所以m2025n20251020251．

故選：C.

02集合間的基本關系

5．（2025·江西·模擬預測）（多選）已知集合Axax6，B2,3，下列結論正確的是（）

A．若a0，則ARB．若a0，則A

C．若BA，則a2D．若BA，則a可以取3

【答案】AC

【分析】把a0代入，求解判斷AB；利用集合的包含關系求解判斷CD.

【詳解】對于AB，若a0，則任意實數x均滿足0x6，因此AR，A正確，B錯誤；

2a6

對于CD，由BA，得，解得a2，C正確，D錯誤.

3a6

故選：AC.

6．（2025·廣西·模擬預測）已知集合AxZ|x3k2,kZ,BxZ|x6k1,kZ，則（）．

A．ABB．ABC．BAD．AB

【答案】C

【分析】先證明對任意x0B，則x0A，再證明2A，但2B，由此可得結論.

【詳解】對任意x0B，存在k0Z，使得x06k01，

由于x06k013(2k01)2，令k2k01，則kZ，所以x03k2A，故BA，

1

又2A（當k0時），但2B（由6k12解得kZ），所以B是A的真子集，

2

故選：C

7．（2025·安徽·一模）已知全集為R，集合Ax|2x2，集合Bx|x240，則下列關系正

確的是（）

A．ABB．BA

ee

C．RABD．ARB

【答案】D

痧B(yǎng),A

【分析】先求出集合B，再根據補集的定義求出RR，從而確定包含關系，最后判斷各選項即可．

【詳解】x240，解得x2或x2，

Bx|x2或x2，

e，

RBx|2x2

Ax|2x2，

eAx|x2或x2，

R

AeBBeA

R，R，故A，B，C錯誤，D正確，

故選：D．

8．（2025·河南許昌·模擬預測）已知集合A{2,0,1}，B{x4ax0}，若AB，則a的取值范圍是（）

A．(2,)B．(,4)C．(,2)(4,)D．(2,4)

【答案】D

【分析】根據集合的包含關系直接得到答案.

42a0,

【詳解】因為AB，所以解得2a4，

4a0,

即a的取值范圍是(2,4).

故選：D.

2

9．（2025·陜西安康·模擬預測）已知集合AxNx5x0，從集合A的非空子集中任取兩個集合B1，

B2，則它們的交集為空集的概率為（）

51051

A．B．C．D．

721217

【答案】C

【分析】解一元二次不等式，求出集合A中的元素，計算集合A的所有非空子集的個數，分類討論其中兩

個集合B1，B2交集為空集的情況數，計算概率即可.

【詳解】由x25x0，解得0x5，所以A1,2,3,4，共有24115個非空子集，

13

當B1中有一個元素時，B2是剩下三個元素的非空子集，則有C4(21)28種情況，

22

當B1中有兩個元素時，B2是剩下兩個元素的非空子集，則有C4(21)18種情況，

3

當B1中有三個元素時，B2是剩下一個元素的非空子集，則有C414種情況，

28184

根據對稱性可知，其中有一半是重復的情況，則B，B交集為空實際有25種不同情況，

122

255

任取兩個集合B1，B2交集為空集的概率為2.

C1521

故選：C.

03集合的基本運算

e

10．（2025·云南昆明·模擬預測）已知全集UR，集合Ax|x5，Bxx2，則AUB（）

A．xx5B．xx5

C．x|x2,或x5D．x|5x2

【答案】A

e

【分析】解不等式求得A，進而求得UB，根據集合的并集運算，即可求得答案.

∣e∣e∣

【詳解】依題意，Ax5x5，UBxx2，故AUBxx5.

故選：A.

11．（2025·貴州六盤水·模擬預測）已知集合AxRx3x10，BxR3x1，則AB（）

A．x1x0B．x0x3C．x3x0D．xx1

【答案】A

【分析】解出集合A、B后，借助交集定義即可得.

【詳解】AxRx3x10x1x3，

Bx3x1xx0，故ABx1x0.

故選：A.

∣2，e

12．（2025·遼寧大連·一模）已知集合A{yylog2x2x5,1x2}則RA（）

A．y|ylog25或y3B．y|y2或y3

∣

C．{y∣2y3}D．{ylog25y3}

【答案】B

e

【分析】利用對數函數的性質結合題目所給條件計算求出集合A，進而求出RA.

2

【詳解】令fxx22x5x14,x1,2，函數圖象開口向上，

當x1時，fx取最小值f14，

2

當x1時，f1248，

2

當x2時，f22145，

所以4fx8

23

所以2log22log2fxlog223，

所以集合Ay|2y3，

e

所以RAy|y2或y3.

故選：B.

13．（2025·河南·三模）（多選）已知全集Uxx4,xZ，集合M1,2,a2，N1,1,2,a，

P3,1,2,3，若MN，則（）

A．a的取值有3個B．MP1,2

痧

C．PN3,1,0,1,2,3D．UMUP所有子集的個數為4

【答案】BCD

【分析】利用集合的包含關系結合集合元素的互異性可求出a的值，可判斷A選項；利用交集的定義可判

斷B選項；利用并集的定義可判斷C選項；利用集合的運算結合子集個數公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為M1,2,a2，N1,1,2,a，且MN，

則a21或a2a，且a1，a2，解得a0，故a的取值只有1個，故A錯誤；

對于B選項，M1,2,0，P3,1,2,3，所以MP1,2，故B正確；

對于C選項，N1,1,2,0，PN3,1,0,1,2,3，故C正確；

對于D選項，Uxx4,xZx4x4,xZ3,2,1,0,1,2,3，

ee痧

所以UM3,2,1,3，UP2,0,1，則UMUP2,1，

痧2

其UMUP的子集的個數為24，故D正確．

故選：BCD.

14．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）（多選）已知全集U1,2,3,4,5,6，集合AU,BU，且滿足：

I痧

AB3,5,UAUB2,4，則下列說法正確的為（）

A．4AB．6AUB

痧

C．集合A可能是1,3,5,6D．UAUB1,2,4,6

【答案】BCD

痧痧

【分析】由摩根定律UAUBUAB，UAUBUAB以及交并補混合運算知識即可求

解.

痧

【詳解】由題意知UAUBUAB2,4

所以AB1,3,5,6，

對于A，因為AB1,3,5,6，且4AB，所以4A，A選項錯誤；

對于B，由于AB1,3,5,6，所以6AB，B選項正確；

對于C，已知AB3,5，這意味著3,5既屬于A又屬于B，

痧

若A1,3,5,6，當B3,5時，UAB2,4,UA2,4,UB1,2,4,6,

此時滿足所有已知條件，故C選項正確；

痧痧

對于D，因為UAUBUAB，又AB3,5，所以UAUBUAB1,2,4,6，D選

項正確；

故選：BCD.

04充分條件與必要條件

15．（2025·廣西柳州·一模）設向量ax2,x，bx,1，則（）

A．“x1”是“a∥b”的必要條件B．“x3”是“ab”的必要條件

C．“x2”是“a∥b”的充分條件D．“x0”是“ab”的充分條件

【答案】D

【分析】由向量平行、垂直的坐標表示求得x，再結合充分、必要條件的概念逐個判斷即可.

2

【詳解】若a∥b，則x2x解得：x1或x2，

若ab，則x2xx0解得：x0或x3，

所以“x1”是“a∥b”的不必要條件，

“x3”是“ab”的不必要條件，

“x2”是“a∥b”的不充分條件，

“x0”是“ab”的充分條件，

故選：D

k

16．（2025·貴州六盤水·模擬預測）“函數f(x)x在(0,)上單調遞增”是“k0”的（）

x

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B

k

【分析】本題考查充分條件和必要條件的判斷，解題的關鍵在于分別判斷“函數f(x)x在(0,)上單

x

k

調遞增”能否推出“k0”以及“k0”能否推出“函數f(x)x在(0,)上單調遞增”.

x

kx2k

【詳解】求導得到f(x)1；

x2x2

因為函數f(x)在(0,)上單調遞增，所以f(x)0在(0,)恒成立，所以x2k0在(0,)恒成立，所以

k0，所以充分性不成立；

x2k

當k0時，在(0,)上f(x)0恒成立，所以f(x)在(0,)上單調遞增，必要性成立.

x2

故選：B

17．（2025·山東臨沂·模擬預測）已知l、m、n是直線，是平面，且m，n//，則“l(fā)m，ln”

是“l(fā)”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】由線面垂直的定義及判定定理即可判斷.

【詳解】解：由n//得：

存在n，滿足n//n，

若l，則直線l垂直平面中任意一條直線，

m，n，lm，ln，

lm，ln'，m，n'是否相交不確定，l不一定成立，

“l(fā)m，ln”是“l(fā)”的必要不充分條件．

故選：B

18．（2025·河北秦皇島·三模）在平面直角坐標系中，“tansincos”是“為第四象限角”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用充分性與必要性的定義證明即可.

【詳解】先證必要性，若是第四象限的角，則1cos0,sin0,tan0，

sinsin

所以sincos，因為tansin，

cos1

所以tansin，所以tansincos，

所以，“tansincos”是“為第四象限角”的必要條件，

再證充分性，若tansincos，則可得不是第二，三象限的角且不是坐標軸上的角，

sinsin

所以0cos1，若sin0，則tansin與題設矛盾，

cos1

所以sin0，所以為第四象限角，

所以“tansincos”是“為第四象限角”的充要條件.

故選：C.

19．（25-26高三上·廣東·階段練習）記Sn為數列an的前n項和，設甲：an是等比數列，乙：Sn2Sn是

等比數列，則（）

A．甲是乙的充分不必要條件B．甲是乙的必要不充分條件

C．甲是乙的充要條件D．甲是乙的既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】分別討論an是等比數列的條件下，Sn2Sn是否是等比數列，以及Sn2Sn是等比數列的條

件下，an是否是等比數列，即可判斷.

【詳解】先判斷充分性：

若an是等比數列，設其公比為q，首項為a1，可得：

n1nn

n2nn2n11qa1qa1q(1q)，SSaaa

n2n1n1

Sn3Sn1an3an2a1qa1qa1q(1q)，

n

當q1時，Sn2Sna1q(1q)0，Sn2Sn不是等比數列，

SSaqn1(1q)

n3n11

當q1時，nq，Sn2Sn是等比數列，

Sn2Sna1q(1q)

綜上，當an是等比數列時，Sn2Sn不一定是等比數列，

故充分性不成立；

再判斷必要性：

若Sn2Sn是等比數列，

1,n1

可設an，

2,n2

此時，若n1，Sn2SnS3S1a3a24，

若n2，Sn2Snan2an14，

即Sn2Sn是等比數列，但an不是等比數列，

故必要性不成立；

綜上，甲是乙的既不充分也不必要條件.

故選：D.

05全稱量詞與存在量詞

20．（2025高三·全國·專題練習）已知命題p:x2,2，sinxex，則p為（）

A．x,22,，sinxexB．x2,2，sinxex

C．x,22,，sinxexD．x2,2，sinxex

【答案】D

【分析】含有量詞的命題的否定，只需要改量詞，否定結論即可.

【詳解】命題p:x2,2，sinxex的否定為p:x2,2，sinxex，

故選：D．

．（甘肅慶陽模擬預測）命題xe,x22的否定是（）

212025··“RQQ”

e22

A．xRQ,x2QB．xQ,x2Q

．xeQ,x22Q．e2

CRDxRQ,x2Q

【答案】D

【分析】由存在量詞命題的否定可得答案.

【詳解】命題xeQ,x22Q的否定是e，2

“R”“xRQx2Q”.

故選：D.

22．（2025·陜西榆林·一模）已知命題p：xR,x11；命題q：x0,x2x，則（）

A．p和q都是真命題B．p和q都是真命題

C．p和q都是真命題D．p和q都是真命題

【答案】B

【分析】結合命題否定的定義，找出對應反例的取值并依次判斷命題p,q的真假，即可求解

【詳解】命題p：xR,x11，當x0時，x11，故為假命題；

命題q：x0,x2x，當x1或x0時，x2x，故為真命題；

所以，p和q都是真命題，q和p是假命題.

故選：B

ππ

23．（2025·江西·三模）已知命題p：R，sincos，則下列結論正確的是（）

44

ππ

A．p為真命題，且命題p的否定為：R，sincos

44

ππ

B．p為真命題，且命題p的否定為：R，sincos

44

ππ

C．p為假命題，且命題p的否定為：R，sincos

44

ππ

D．p為假命題，且命題p的否定為：R，sincos

44

【答案】B

【分析】先判斷命題p的真假，再根據全稱命題的否定規(guī)則寫出命題p的否定，最后根據判斷結果選擇正

確選項.

ππππ

【詳解】因為sinsincos.

4244

ππ

所以對于任意的R，sincos都成立，所以命題p為真命題.

44

ππππ

命題p:R,sincos是全稱命題，所以它的否定為R,sincos.

4444

ππ

命題p為真命題，且命題p的否定為R,sincos.

44

故選：B.

24．（2025·云南·模擬預測）已知命題：“x0,，2x2ax10”為假命題，則實數a的取值范圍是（）

A．,22B．,2

1

C．,1D．,

2

【答案】A

【分析】根據原命題為假命題得出其否定為真命題，再將問題轉化為不等式恒成立問題，最后利用基本不

等式求解實數a的取值范圍.

【詳解】已知命題“x(0,),2x2ax1<0”為假命題，根據特稱命題的否定為全稱命題，

可知其否定“x(0,),2x2ax10”為真命題.

由2x2ax10，x(0,)，移項可得ax2x21，

1

因為x>0，兩邊同時除以x，得到a2x在(0,)上恒成立.

x

1111

在2x中，因為x>0，所以2x和都是正實數，則2x22x22，

xxxx

12

當且僅當2x，即x時等號成立.

x2

11

因為a2x在(0,)上恒成立，所以a要小于等于2x的最小值22，

xx

即a22，

所以實數a的取值范圍是(,22].

故選：A.

06集合新定義

25．（2025·河南·一模）集合UmN1m101，集合MU，對任意x,yM，有xyM，則集合

M中元素個數的最大值是.

【答案】51

【分析】由題意，要使M中元素的個數最大，則101M，再應用抽屜原理及集合的性質分析其它元素與

集合M的關系，確定M的元素個數及集合M的可能情況，即可得.

【詳解】要使M中元素的個數最大，且x,yM，有xyM，必有101M，

此時其余元素分組為(1,100)、(2,99)、、(50,51)，共有50組，

注意每組的兩個元素必不能同時出現在集合M（因為它們的和為101），

所以，要使M中元素的個數最大，每組至多能取一個元素，即50組中共取50個元素，

由抽屜原理知，不可能從50組中取51個元素，否則必有兩個元素的和為101，不滿足xyM，

綜上，M中元素的個數最大為51個，

1011

如M51,52,53,,101、M1,3,5,7,,101均符合，元素個數為101511151.

2

故答案為：51

26．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一個元素都是整數，當存在整數a,cM,bM且abc時，

稱M為“間斷整數集”．集合{x∣1x10,xZ}的所有子集中，是“間斷整數集”的個數為．

【答案】968

【分析】根據子集中元素的個數分類，每一類都利用組合數計數，再剔除不滿足定義的子集，最后根據分

類加法計數原理求值即可.

【詳解】由題意，滿足“間斷整數集”定義的子集至少有2個元素，至多有9個元素，

按子集中元素的個數分類，

①當元素個數為2時，不滿足定義的子集有：

1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10，共9個；

2

此時滿足定義的子集有C109個，

②當元素個數為3時，不滿足定義的子集有：

1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,7,8,9,8,9,10，共8個；

3

此時滿足定義的子集有C108個，

③當元素個數為4時，不滿足定義的子集有：

1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8,6,7,8,9,7,8,9,10，共7個；

4

此時滿足定義的子集有C107個，

④當元素個數為5時，不滿足定義的子集有：

1,2,3,4,5,2,3,4,5,6,3,4,5,6,7,4,5,6,7,8,5,6,7,8,9,6,7,8,9,10，共6個；

5

此時滿足定義的子集有C106個，

⑤當元素個數為6時，不滿足定義的子集有：

1,2,3,4,5,6,2,3,4,5,6,7,3,4,5,6,7,8,4,5,6,7,8,9,5,6,7,8,9,10，共5個；

6

此時滿足定義的子集有C105個，

⑥當元素個數為7時，不滿足定義的子集有：

1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5,6,7,8,9,4,5,6,7,8,9,10，共4個；

7

此時滿足定義的子集有C104個，

⑦當元素個數為