第十八章平行四邊形專項突破練9

特殊四邊形的折疊問題榮德基2UDDE類型1平行四邊形的折疊問題1.[2024滄州校級期中]如圖，將平行四邊形紙片

ABCD

折疊，使點C落在AD邊上的點C′處，若∠1=58°,∠2=42°,則∠C的度數(shù)為(

B

)A.100°B.109°C.126.5°D.130°2.在-ABCD

中，AC

與BD相交于點0,∠AOB=60°,BD=4,

將△ABC沿直線AC

翻折后，點B

落在點B′處，那么DB

'的長為2

●3.

[2024邯鄲二模]如圖，在平行四邊形紙片ABCD中

，AB=AC,點E,F

分別在AD,BC

上，沿EF

折疊平行四邊形紙片，使點A,C

互相重

合，點B

落在點G的位置.(

1

)

求

證

：△CED≌△CFG;證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠B=∠D.由折疊的性質(zhì)可得，AB=CG,∠B=∠G,∠BAD=∠GCE,∴∠BCD=∠GCE,CD=CG,∠D=∠G.∵∠ECD+∠BCE=∠BCD,∠BCE+∠FCG=∠GCE,∴∠ECD=∠FCG,

∴△CED≌△CFG(ASA).(2)若∠BCD=130°,

求∠AEF

的度數(shù).解：∵

四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD,AD//BC.

∵∠BCD=130°,

∴∠B=50°.∵AB=AC,

∴∠ACB=∠B=50°.∴∠DAC=∠ACB=50°

.∵EF

為折痕，點A與點C重合，∴AC⊥EF,∴∠AOE=90°,∴∠AEF=180°-∠DAC-∠AOE=40°.3

一4.

[2024石家莊一模]如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3

cm,BC=4

cm,點F是AD

上一點(不與點A,D重合),連接BF,將△BAF沿BF翻折

，

點A的對應(yīng)點記作A'.(1)當(dāng)點A′落在直線CF

上

時

，CF

的長是4

cm;(

2

)

當(dāng)

點A′落在直線BD上

時

，AF的長是

2

cm.類型2

矩形的折疊問題5.

[2024廊坊廣陽區(qū)月考]如圖，將長方形紙片ABCD

折疊，使點D

與點B

重合，點C落在點G處

，

折痕為EF.(

1

)

求

證

：BE=BF;證明：∵AD//BC,∴∠DEF=∠BFE.由折疊的性質(zhì)可得∠DEF=∠BEF,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF.(2)若AB=

√3,AD=2

√3,求△BGF

的面積.解：由長方形的性質(zhì)可得CD=AB=

√3,∠C=90°,BC=AD=2√3.由折疊的性質(zhì)可得GF=CF,BG=CD=√3,∠G=∠C=90°.設(shè)GF=CF=x,則BF=2√3-x,在Rt△BGF中，由勾股定理，得BF2=BG2+FG2,∴(2

√3-x)2=(

√3)2+x2,

解

類型3菱形的折疊問題6.如圖，把菱形ABCD

沿AH

折疊，使B點落在BC上的E點處，若∠B=70°

,則∠EDC

的大小為

(

A

)A.15°

B.20°C.30°D.25°(第6題)7.

[2024張家口校級調(diào)研]如圖，在菱形ABCD

中，∠B=45°,AE

為BC邊上的高，將△ABE

沿AE

所在直線翻折，得到△AB'E,

若CB′=√2-1,則菱形的邊長為(

C)(第7題)C.1A

D.√2B.28.如圖，點E

為菱形紙片ABCD

中AB

邊上一點，連接DE,D

E=DA,

將菱形紙片沿DE折疊，點A的對應(yīng)點F恰好落在BC邊上，則∠A的度數(shù)為72°

.類型4

正方形的折疊問題9.新考法結(jié)論辨析[2024保定蓮池區(qū)期末]甲、乙兩人各用一張正方形

紙片ABCD折出一個45°的角(如圖),兩人的做法如下.甲：將紙片沿對角線AC

折疊，使B

點落在D

點上，則∠1=45°

.乙：將紙片沿AM,AN折疊，分別使點B,D落在對角線AC上的點P

處

，則∠MAN=45°.A.甲、乙都對

B.甲對、乙錯

C.甲錯、乙對

D.甲、乙都錯對于兩人的做法，下列判斷正確的是

(

A

)10.如圖，在正方形ABCD

中，AB=12,點E在CD上，且CD=3DE,將△ADE沿AE對折至△AFE,

延長EF交BC于點G,連接AG,CF,則BG=

6

.11.如圖，在正方形紙片ABCD中，E是BC邊上一點(不與點B,C

重合),將正方形紙片沿AE

折疊，使

點B落在點F處，延長EF

交CD于點G,

連接AG.(1)求證：△ADG≌△AFG;證明：∵四邊形ABCD

是正方形，∴AB=AD,∠B=∠D=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì)得，∠AFE=∠B

=90°,AF=AB,∴AF=AD,∠AFG=∠D=90°.在Rt△ADG和Rt△AFGF∴Rt△ADG≌Rt△AFG(HL).E(2)若AB=2.①求△CEG的周長；解：∵AB=2,∴BC=CD=2.∵Rt△ADG≌Rt△AFG,∴DG=FG.由折疊的性質(zhì)得BE=FE.∴△CEG的周長為CE+EF+FG+CG=CE+BE+DG+CG=BC+CD=4.②若E是BC

的中點，EM是∠CEG的平分線，求GM的長.解：過點M

作MH⊥EG

于點H,

如圖所示.∵EM是∠CEG

的平分線，∠C=90°,∴HM=CM.A∴Rt△EHM≌Rt△ECM(HL),∴EH=EC.∵E是BC

的中點，∴

BE=CE.∵BE=FE,∴EH=FE,

即點F和點H重合.設(shè)CG=x,則FG=DG=2-x.∵AB=BC=2,∴CE=BE=EF=1,