試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)上海南匯中學(xué)2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)滿分：100分完成時(shí)間：90分鐘命題人：高二數(shù)學(xué)命題組一、填空題（每小題3分，共12題，共36分）1．已知集合，，則.2．若扇形的面積是，圓心角為2弧度，則半徑是.3．已知，則.4．將化為形式，其中，則.5．若，是第四象限角，則.6．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.7．若，化簡(jiǎn)的結(jié)果是.8．已知且，且函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)，的值域?yàn)?9．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，其中，，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第象限.10．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.11．偶函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，若，則關(guān)于的不等式的解集是12．對(duì)于函數(shù)，，若存在正常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).已知函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.二、選擇題（每小題3分，共4題，共12分）13．已知實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．14．已知，則角的終邊所在的象限為第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四15．設(shè))，則“函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1）”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件16．定義函數(shù)，其中，符號(hào)表示，中的較大者.現(xiàn)有以下命題：①為偶函數(shù)；②若不等式對(duì)一切都成立，則實(shí)數(shù)的最大值為1；③當(dāng)時(shí)，的最小值為9；④“”是“”成立的充要條件.正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答題（共5題，共52分）17．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧希瘮?shù)的定義域?yàn)榧?(1)若全集為，求：(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為（1）求的值；（2）求的值．19．某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購(gòu)買(mǎi)臺(tái)機(jī)器人的總成本萬(wàn)元.(1)若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買(mǎi)多少臺(tái)？(2)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)臺(tái)智能機(jī)器人，需要安排人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實(shí)驗(yàn)可得，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量（單位：件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為件，當(dāng)機(jī)器人日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，若完成這些分揀任務(wù)，求所需要的傳統(tǒng)的人工數(shù)量.20．設(shè)，函數(shù)．(1)是否存在，使函數(shù)為奇函數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明；(3)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．設(shè)表示不小于的最小整數(shù)，例如，，.(1)解方程；(2)設(shè)，求在區(qū)間上的值域；(3)已知函數(shù)的值域?yàn)椋耶?dāng)或或時(shí)，取到最大值1，當(dāng)或或時(shí)，取到最小值，現(xiàn)設(shè)實(shí)數(shù)，，，若對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．【分析】由交集的定義，計(jì)算即可.【詳解】，，.故答案為：2．【分析】根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)圓心角為2弧度所對(duì)的弧的弧長(zhǎng)為，半徑為，所以有，故答案為：3．【分析】根據(jù)齊次式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以故答案為?．##【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式求解即可.【詳解】，所以.又，所以.故答案為：.5．【分析】利用二倍角的正弦公式求解.【詳解】解：因?yàn)椋沂堑谒南笙藿?，所以，所以，故答案為?．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)解析式求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，.所以.故答案為：7．【分析】先利用二倍角公式將轉(zhuǎn)化，再結(jié)合的取值范圍判斷的正負(fù)，最后化簡(jiǎn)根式.【詳解】，因?yàn)椋?，所?故答案為：8．【分析】由函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)先算出，然后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，所以，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，所以，即，故答案為：9．一【分析】先由不等式解集求出，再代入指數(shù)函數(shù)，根據(jù)圖象平移即可得出答案.【詳解】由題可得方程的兩根為1和2，根據(jù)韋達(dá)定理，得，所以函數(shù)為，相當(dāng)于（單調(diào)遞減且經(jīng)過(guò)一、二象限）向下平移兩個(gè)單位（經(jīng)過(guò)二、三、四象限），因此圖象不經(jīng)過(guò)第一象限.故答案為：一.10．或【分析】求解方程的根，即可分情況討論求解.【詳解】令，得，令，解得或.函數(shù)的零點(diǎn)只能從中產(chǎn)生.要使恰有兩個(gè)零點(diǎn)，分以下情況討論：1)零點(diǎn)為和，需滿足，解得.2)零點(diǎn)為和，需滿足，即2<λλ≤3λ≤6，解得.3)零點(diǎn)為和，需滿足，即λ>3λ≤2λ≤6，該不等式組無(wú)解.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或.11．【分析】令，通過(guò)的奇偶性和單調(diào)性來(lái)確定的奇偶性和單調(diào)性，再將變形為，再利用奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】令，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，，在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，又也是上的偶函數(shù)，由得，又，即，，解得故答案為：12．【分析】結(jié)合的圖象以及圖象變換的知識(shí)求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?所以作出函數(shù)的圖象如圖，因?yàn)榈膱D象是由的圖象向左平移個(gè)單位所得，由圖可知，當(dāng)時(shí)，使得對(duì)任意的，都有恒成立，所以存在正常數(shù)，使得函數(shù)具有性質(zhì)，且.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：13．B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性，逐一分析各項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋鶕?jù)不等式的傳遞性，所以，故選項(xiàng)A一定成立；對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)不都為正數(shù)時(shí)，該不等式無(wú)意義，例如當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故選項(xiàng)B不一定成立；對(duì)于選項(xiàng)C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C一定成立；對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)D一定成立.故選：B14．C【分析】借助象限角的三角函數(shù)符號(hào)判斷即可得.【詳解】由，則角的終邊所在的象限為第三象限.故選：C.15．C【分析】由圖象過(guò)點(diǎn)解得a的值的集合，再由奇函數(shù)解得a的值的集合，由兩個(gè)集合相等確定充要條件關(guān)系.【詳解】∵的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴又∵∴∵為奇函數(shù)，∴∴“的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)”是“為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.16．C【分析】函數(shù)等價(jià)于.利用奇偶性判斷①，利用分離常數(shù)法，判斷②.利用絕對(duì)值三角不等式判斷③.由判斷④.【詳解】函數(shù)等價(jià)于，這是一個(gè)偶函數(shù)，故①正確.對(duì)于②，不等式等價(jià)于，即,由于，故，故②正確.對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，,兩式相加得,，而，，以此類推，可得,等號(hào)成立時(shí),,故③正確.對(duì)于④，，，即，這對(duì)任意的都成立，故不是它的充要條件.故④錯(cuò)誤.故選:C17．(1)(2)【分析】（1）由函數(shù)有意義進(jìn)行求解；（2）求出集合，由,則進(jìn)行求解．【詳解】（1）對(duì)于函數(shù),由,得,得,若全集為，則.（2）對(duì)于函數(shù),由,得,得,若,則,得,得實(shí)數(shù)的取值范圍為：18．（1）（2）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意，由三角函數(shù)的定義可得與的值，進(jìn)而可得出與的值，從而可求與的值就，結(jié)合兩角和正切公式可得答案；（2）由兩角和的正切公式，可得出的值，再根據(jù)的取值范圍，可得出的取值范圍，進(jìn)而可得出的值.由條件得cosα＝，cosβ＝.∵α，β為銳角，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)∵tan2β＝＝＝，∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.∵α，β為銳角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝19．(1)(2)【分析】（1）由總成本，得到平均成本，再利用基本不等式，求解即可.（2）引進(jìn)臺(tái)機(jī)器人后，求得分段函數(shù)的最大值，再除以，求解即可.【詳解】（1）購(gòu)買(mǎi)臺(tái)機(jī)器人的總成本萬(wàn)元，每臺(tái)機(jī)器人的平均成本，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，應(yīng)買(mǎi)臺(tái)．（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為件；當(dāng)時(shí)，件.臺(tái)機(jī)器人每日的總分揀量為件，完成這些分揀任務(wù)所需要的傳統(tǒng)人工數(shù)為人.20．(1)存在使函數(shù)為奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析(2)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先求出定義域，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)奇偶性與單調(diào)性得出，再根據(jù)二次函數(shù)圖象求解最大值即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，所以定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則，即，解得，所以，，符合題意．（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，任取，且，，因?yàn)椋?，則，所以，即在上單調(diào)遞增．（3）當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)且為奇函數(shù)，所以，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上有解，且在的最大值為，所以，解得．21．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)的定義可得，即可根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）根據(jù)的定義，寫(xiě)出的表達(dá)式，即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解的最大值，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步得在上恒成