山東省臨沂市蘭陵縣第一中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.2．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A. B.C.或 D.或3．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，半焦距為c，過點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為P，若的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.4．兩個(gè)圓和的位置是關(guān)系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內(nèi)含5．七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，顧名思義，是由七塊板組成的.這七塊板可拼成許多圖形（1600種以上），如圖所示，某同學(xué)用七巧板拼成了一個(gè)“鴿子”形狀，若從“鴿子”身上任取一點(diǎn)，則取自“鴿子頭部”（圖中陰影部分）的概率是（）A. B.C. D.6．方程表示的圖形是A.兩個(gè)半圓 B.兩個(gè)圓C.圓 D.半圓7．2019年湖南等8省公布了高考改革綜合方案將采取“”模式即語文、數(shù)學(xué)、英語必考，考生首先在物理、歷史中選擇1門，然后在思想政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，一名同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，則該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的概率為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則取得最大值時(shí)n的值為（）A.2 B.3C.4 D.59．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.10．已知橢圓是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)以為對(duì)角線的橢圓內(nèi)接平行四邊形的一組鄰邊斜率分別為，則（）A.1 B.C. D.11．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.12．已知雙曲線的離心率，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，到雙曲線的上焦點(diǎn)的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為________.14．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的面積為_______15．若正數(shù)x、y滿足，則的最小值等于________.16．已知、均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知圓臺(tái)下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，是圓臺(tái)上底面圓上的點(diǎn)，且平面平面，，，、分別是、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若直線上平面且過點(diǎn)，試問直線上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點(diǎn)的所有可能位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值19．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)，且的面積等于（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線PB上時(shí)，直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過，請(qǐng)說明理由20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l交拋物線于不同的A、B兩點(diǎn).（1）若直線l的方程為，求線段AB的長(zhǎng)；（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-1，0)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'，求證：A'、F、B三點(diǎn)共線.21．（12分）已知拋物線過點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點(diǎn)使，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)M滿足（1）求M的軌跡方程；（2）設(shè)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，求點(diǎn)N的軌跡方程；（3）設(shè)M的軌跡與N的軌跡的交點(diǎn)為P、Q，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.2、D【解析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可﹒【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，方程為，即2x－y＝0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，∵直線過(1，2)，∴，∴，∴方程為，故選：D﹒3、D【解析】根據(jù)給定條件求出，再計(jì)算面積列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，由雙曲線對(duì)稱性不妨取漸近線，即，則，令坐標(biāo)原點(diǎn)為O，中，，又點(diǎn)O是線段的中點(diǎn)，因此，，則有，即，，，所以雙曲線的離心率為故選：D4、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關(guān)系，可得選項(xiàng).【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關(guān)系是相交，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵在于運(yùn)用判定兩圓的位置關(guān)系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，求出七巧板中“4”這一塊的面積，然后計(jì)算概率【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，由正方形中七巧板形狀知“4”這一塊是正方形，邊長(zhǎng)為，面積為，所以概率為故選：C6、D【解析】其中，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形【詳解】根據(jù)題意，，再兩邊同時(shí)平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點(diǎn)睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對(duì)應(yīng)，故方程的中未知數(shù)的的取值范圍對(duì)應(yīng)到圖形中的坐標(biāo)的取值范圍7、A【解析】先由列舉法計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后再求出該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課的基本事件的個(gè)數(shù)，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】由題意，記物理、歷史分別為、，從中選擇1門；記思想政治、地理、化學(xué)、生物為、、、，從中選擇2門；則該同學(xué)隨機(jī)選擇3門功課，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共個(gè)基本事件；該同學(xué)選到歷史、地理兩門功課所包含的基本事件有：，，共個(gè)基本事件；該同學(xué)選到物理、地理兩門功課的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題型.8、C【解析】根據(jù)單調(diào)性分析出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)有哪些即可求解.【詳解】由條件有，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.即，所以取得最大值時(shí)n的值為.故選：C9、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)椋?，所?故選：C10、C【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性和平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，因?yàn)槠叫兴倪呅我彩侵行膶?duì)稱圖形，所以也是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，即，，得：，即，故選：C11、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D12、B【解析】先根據(jù)離心率得，再根據(jù)拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點(diǎn)），解得，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，設(shè)為拋物線焦點(diǎn)，則，拋物線準(zhǔn)線方程為，因此到雙曲線的上焦點(diǎn)的距離與到直線的距離之和等于，因?yàn)?，所以，即，即雙曲線的方程為，選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.14、【解析】根據(jù)橢圓定義得出，進(jìn)而對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式得出的最小值，并求出的值，進(jìn)而求出面積.【詳解】由橢圓定義可知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.故答案為：.15、9【解析】把要求的式子變形為，利用基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.16、【解析】由基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因、均為正實(shí)數(shù)，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）存在，點(diǎn)與點(diǎn)重合.【解析】（1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】證明：因?yàn)闉閳A的一條直徑，且是圓上異于、的點(diǎn)，故，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：存在，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，則，，，，，，由直線平面且過點(diǎn)，以及平面，得，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則則，即，取，得，易知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由，得，即，解得，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.18、(1)見解析;(2).【解析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個(gè)法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】用空間向量求解立體幾何問題的注意點(diǎn)（1）建立坐標(biāo)系時(shí)要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)（2）用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論19、（1）（2）【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為,設(shè)，用“設(shè)而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為帶入后整理化簡(jiǎn)，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點(diǎn).【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由題意可知,直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線的方程為,設(shè)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為.聯(lián)立方程組，消去y可得：,所以.因?yàn)橹本€PB的方程為,且點(diǎn)D在直線PB上,所以則，所以，則,故，因?yàn)閗≠0,所以，則直線l的方程為，所以直線恒過定點(diǎn).20、（1）8；（2）證明見解析.【解析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求線段AB的長(zhǎng)；（2）設(shè)為，聯(lián)立拋物線由韋達(dá)定理可得，，應(yīng)用兩點(diǎn)式判斷是否為0即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，則，，∴，，所以.【小問2詳解】由題設(shè)，，又直線l經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0)，此時(shí)直線斜率必存在且不為0，可設(shè)為，聯(lián)立拋物線得：，則，，又，故，而，所以，所以A'、F、B三點(diǎn)共線.21、（1）拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）存在，且【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得，進(jìn)而求得拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo).（2）設(shè)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得的坐標(biāo).【小問1詳解】將代入得，所以拋物線