2025-2026學(xué)年上學(xué)期階段性期末評(píng)價(jià)八年級(jí)數(shù)學(xué)（RJ）（滿分：120分考試時(shí)間：100分鐘）一、選擇題．（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.若分式有意義，則x的取值是（）A. B. C. D.2.漢字是中華文明的標(biāo)志，從公元前16世紀(jì)殷商后期的被認(rèn)為是漢字的第一種形式的甲骨文到今天，產(chǎn)生了金文、小篆、隸書(shū)、楷書(shū)、草書(shū)、行書(shū)等多種字體，每種字體都有著各自鮮明的藝術(shù)特征．下面的小篆體字是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.3.若，則的值為（）A B. C.1 D.64.“墻角數(shù)枝梅，凌寒獨(dú)自開(kāi)、遙知不是雪，為有暗香來(lái)．”出自宋代詩(shī)人王安石的《梅花》．梅花的花粉直徑約為，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則的值為（）A-4 B. C.4 D.55.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.6.“孔子周游列國(guó)”是流傳很廣的故事．有一次他和學(xué)生到離他們住的驛站30里的書(shū)院參觀，學(xué)生步行出發(fā)1小時(shí)后，孔子坐牛車出發(fā)，牛車的速度是步行的倍，孔子和學(xué)生們同時(shí)到達(dá)書(shū)院，設(shè)學(xué)生步行的速度為每小時(shí)里，則可列方程為（）A. B. C. D.7.如圖，把長(zhǎng)短確定的兩根木棍、的一端固定在處，和第三根木棍擺出．木棍固定，木棍繞轉(zhuǎn)動(dòng)，得到，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明（）A.有三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等C.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等8.若關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.且C.且 D.9.如圖，中，是邊上的點(diǎn)，先將沿著翻折，翻折后的邊交于點(diǎn)，又將沿著翻折，點(diǎn)恰好落在上，此時(shí)，則原中的度數(shù)為（）A B. C. D.10.對(duì)于正數(shù)，規(guī)定，例如：，，則的值為（）A. B.2023 C.2024 D.二、填空題．（每小題3分，共15分）11.寫出一個(gè)分母為a的最簡(jiǎn)分式，可以是______．12.在中，，若，則m的值是______．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)D位于第四象限，若，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是______．14.如圖①，桿AB可以繞轉(zhuǎn)軸A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在A點(diǎn)正上方固定一個(gè)小定滑輪C，細(xì)繩通過(guò)定滑輪與桿的另一端B相連，并將桿AB從水平位置緩慢向上拉起．圖②是其示意圖，已知，當(dāng)桿AB與水平面夾角為30°時(shí)，測(cè)得，此時(shí)點(diǎn)B到AD的距離為_(kāi)_____．15.如示意圖，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作∠ABC的角平分線BF交AE于G，點(diǎn)D是射線BF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在△ABC外部，連接AD．∠C＝2∠ADB，當(dāng)△ADG為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為_(kāi)___________三、解答題．（本大題共8個(gè)小題，共75分）16.計(jì)算：（1）；（2）．17.如圖，F(xiàn)是的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．18.小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“m”看不清楚：．（1）她把這個(gè)數(shù)“m”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；（2）小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：原分式方程無(wú)解．”請(qǐng)你求出原分式方程中“m”代表的數(shù)是多少．19.如圖，已知中，，在上有一點(diǎn)D，延長(zhǎng)，并在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使．（1）作圖：作的平分線，交于點(diǎn)F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接，求證：．20.在今年的全國(guó)兩會(huì)上，國(guó)家衛(wèi)生健康委表示將持續(xù)推進(jìn)“體重管理年”行動(dòng)，實(shí)施“體重管理年”3年行動(dòng)，普及健康生活方式．為滿足社區(qū)居民健身的需要，市政府準(zhǔn)備采購(gòu)若干套健身器材免費(fèi)提供給社區(qū)，經(jīng)考查，有、兩種型號(hào)的健身器材可供選擇．已知每套型健身器材的價(jià)格比每套型健身器材的價(jià)格多萬(wàn)元，用萬(wàn)元購(gòu)買型健身器材的數(shù)量與用萬(wàn)元購(gòu)買型健身器材的數(shù)量相等，（1）求每套型健身器材的價(jià)格；（2）市政府計(jì)劃采購(gòu)這兩種健身器材共套，總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元，則至少購(gòu)買型健身器材多少套？21.設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字（）．例如，當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是．（1）嘗試：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，______；……（2）歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．22.下面是小花學(xué)習(xí)了“分式方程”后所作課堂學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：元旦義賣，某班準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)多2元，用200元購(gòu)進(jìn)甲種商品和用120元購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量相同．求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元．題目：元旦義賣，某班準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)多2元，用200元購(gòu)進(jìn)甲種商品和用120元購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量相同．求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元．方法分析問(wèn)題列出方程解法一設(shè)…等量關(guān)系：甲商品數(shù)量=乙商品數(shù)量解法二設(shè)…等量關(guān)系：甲商品進(jìn)價(jià)一乙商品進(jìn)價(jià)=2（1）解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．A、甲種商品每件進(jìn)價(jià)x元B．乙種商品每件進(jìn)價(jià)x元C．甲種商品購(gòu)進(jìn)x件（2）根據(jù)以上解法分別求出甲、乙兩種商品進(jìn)價(jià)．（3）若商店計(jì)劃用不超過(guò)144元的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共40件，至多購(gòu)進(jìn)甲種商品多少件？23.數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：_________，_________．（2）類比探究：如圖2，在和中，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等時(shí)，三角形為等邊三角形，等邊三角形有一些特殊的性質(zhì)，在等邊三角形中，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，且，若的邊長(zhǎng)為1，，則的長(zhǎng)_________．2025-2026學(xué)年上學(xué)期階段性期末評(píng)價(jià)八年級(jí)數(shù)學(xué)（RJ）（滿分：120分考試時(shí)間：100分鐘）一、選擇題．（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.若分式有意義，則x的取值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件是分母不為零求解即可．【詳解】解：∵分式有意義，∴分母，∴的取值是，故選：B．2.漢字是中華文明的標(biāo)志，從公元前16世紀(jì)殷商后期的被認(rèn)為是漢字的第一種形式的甲骨文到今天，產(chǎn)生了金文、小篆、隸書(shū)、楷書(shū)、草書(shū)、行書(shū)等多種字體，每種字體都有著各自鮮明的藝術(shù)特征．下面的小篆體字是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，要注意：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐選項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、該圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、該圖形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；故選：D．3.若，則的值為（）A. B. C.1 D.6【答案】A【解析】【分析】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式右邊利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算后與左邊比較即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．故選A．4.“墻角數(shù)枝梅，凌寒獨(dú)自開(kāi)、遙知不是雪，為有暗香來(lái)．”出自宋代詩(shī)人王安石的《梅花》．梅花的花粉直徑約為，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則的值為（）A-4 B. C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先確定左邊第一個(gè)非零數(shù)字前面零的個(gè)數(shù)，取其相反數(shù)得到n值；將小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在左邊第一個(gè)非零數(shù)字后面，確定a值，寫成的形式即可．本題考查了絕對(duì)值小于1的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法，按照左邊第一個(gè)非零數(shù)字前面零的個(gè)數(shù)，取其相反數(shù)得到n值；將小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在左邊第一個(gè)非零數(shù)字后面，確定a值，確定這兩個(gè)關(guān)鍵要素是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，故，故選：B．5.下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，積的乘方，合并同類項(xiàng)，平方差公式，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，積的乘方，合并同類項(xiàng)，平方差公式逐項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】解：A、，原計(jì)算正確，不符合題意；B、，原計(jì)算正確，不符合題意；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意；D、，原計(jì)算正確，不符合題意；故選：C．6.“孔子周游列國(guó)”是流傳很廣的故事．有一次他和學(xué)生到離他們住的驛站30里的書(shū)院參觀，學(xué)生步行出發(fā)1小時(shí)后，孔子坐牛車出發(fā)，牛車的速度是步行的倍，孔子和學(xué)生們同時(shí)到達(dá)書(shū)院，設(shè)學(xué)生步行的速度為每小時(shí)里，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)學(xué)生步行的速度為每小時(shí)里，則孔子做牛車的速度為每小時(shí)里，然后根據(jù)時(shí)間路程速度列出方程即可．【詳解】解：設(shè)學(xué)生步行的速度為每小時(shí)里，則孔子做牛車的速度為每小時(shí)里，由題意得，，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出分式方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7.如圖，把長(zhǎng)短確定的兩根木棍、的一端固定在處，和第三根木棍擺出．木棍固定，木棍繞轉(zhuǎn)動(dòng)，得到，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明（）A.有三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B.有兩邊分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等C.兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等D.有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等【答案】D【解析】【分析】本題考查全等三角形判定，記住有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．根據(jù)全等三角形的判定方法即可判斷；【詳解】解：由題意可知：，滿足有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，但是與不全等，故選D．8.若關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B.且C.且 D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了解分式方程，分式方程的解，時(shí)刻注意分母不為這個(gè)條件．解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行解題．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解表示出，根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)求出的范圍即可．【詳解】解：分式方程去分母得：，解得：，

由方程的解是非負(fù)數(shù)，得到，且，

解得：且．故選：．9.如圖，中，是邊上的點(diǎn)，先將沿著翻折，翻折后的邊交于點(diǎn)，又將沿著翻折，點(diǎn)恰好落在上，此時(shí)，則原中的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查是圖形的折疊變換及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)和的倍數(shù)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)在中，得出，根據(jù)折疊和三角形內(nèi)角和定理得出，得，求出結(jié)果即可．【詳解】解：在中，則，根據(jù)折疊的性質(zhì)知：，，在中，則有：，即；，得，解得．故選：D．10.對(duì)于正數(shù)，規(guī)定，例如：，，則的值為（）A. B.2023 C.2024 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了分式的運(yùn)算，根據(jù)題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．利用函數(shù)性質(zhì)，將求和中的項(xiàng)配對(duì)，每對(duì)和為1，最后單獨(dú)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴有，即，，，，，這樣的組合共有對(duì)，又，∴原式=．故選：A．二、填空題．（每小題3分，共15分）11.寫出一個(gè)分母為a的最簡(jiǎn)分式，可以是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)分式定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡(jiǎn)分式定義．根據(jù)題意寫出一個(gè)分母為a的最簡(jiǎn)分式即可．【詳解】解：分母為a的最簡(jiǎn)分式，可以是．故答案為：．12.在中，，若，則m的值是______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形兩銳角互余．根據(jù)，，得出，求出，從而得出，即可得出答案．【詳解】解：∵中，，，∴，∴，∴，由可得，，∴；故答案為：2．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)D位于第四象限，若，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)．通過(guò)全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的確定方法來(lái)求解點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，，在中，（點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值），（點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值）．因?yàn)?，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)在軸正半軸，所以．點(diǎn)位于第四象限，在第四象限中，橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，所以的坐標(biāo)為．14.如圖①，桿AB可以繞轉(zhuǎn)軸A點(diǎn)在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在A點(diǎn)正上方固定一個(gè)小定滑輪C，細(xì)繩通過(guò)定滑輪與桿的另一端B相連，并將桿AB從水平位置緩慢向上拉起．圖②是其示意圖，已知，當(dāng)桿AB與水平面夾角為30°時(shí)，測(cè)得，此時(shí)點(diǎn)B到AD的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】作交于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，再利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，求解即可，【詳解】解：如圖：作交于點(diǎn)，∵，又∵，∴為等邊三角形，，中，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等邊三角形，做輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15.如示意圖，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作∠ABC的角平分線BF交AE于G，點(diǎn)D是射線BF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在△ABC外部，連接AD．∠C＝2∠ADB，當(dāng)△ADG為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為_(kāi)___________【答案】90°或108°【解析】【分析】設(shè)∠ADB＝x，則∠C＝2x，從而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三種情況：①當(dāng)AD＝DG時(shí)，∠DAG＝∠DGA；②當(dāng)AD＝AG時(shí)，∠ADG＝∠AGD；③當(dāng)AG＝DG時(shí)，∠GAD＝∠ADG＝x，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)∠ADB＝x，則∠C＝2x，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＝x，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，△ADG為等腰三角形時(shí)，存在三種情況：①當(dāng)AD＝DG時(shí)，∠DAG＝∠DGA，即x+45°+x+45°+x＝180°，x＝45°，∴∠C＝90°，②當(dāng)AD＝AG時(shí)，∠ADG＝∠AGD，x＝45+x，x＝90°，∴∠C＝180°（不符合題意，舍去），③當(dāng)AG＝DG時(shí)，∠GAD＝∠ADG＝x，2x+45+x＝180，x＝54°，∴∠C＝108°，綜上，∠C的度數(shù)為90°或108°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線與三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．三、解答題．（本大題共8個(gè)小題，共75分）16.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，分式混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，絕對(duì)值意義，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式混合運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：．【小問(wèn)2詳解】解：．17.如圖，F(xiàn)是的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．【答案】【解析】【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：在中，，，，，．在中，，，．18.小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問(wèn)題，有一個(gè)數(shù)“m”看不清楚：．（1）她把這個(gè)數(shù)“m”猜成5，請(qǐng)你幫小華解這個(gè)分式方程；（2）小華的媽媽說(shuō)：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：原分式方程無(wú)解．”請(qǐng)你求出原分式方程中“m”代表的數(shù)是多少．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查解分式方程，分式方程無(wú)解問(wèn)題，熟練掌握解分式方程的步驟，是解題的關(guān)鍵：（1）去分母，將方程化為整式方程，求解后，進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）去分母，將方程化為整式方程，根據(jù)方程無(wú)解，得到方程有增根，進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：，去分母，得，解得；檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原方程的解；【小問(wèn)2詳解】，去分母，得，∵分式方程無(wú)解，∴分式方程有增根，∴，解得，把代入，得，解得．19.如圖，已知中，，在上有一點(diǎn)D，延長(zhǎng)，并在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使．（1）作圖：作的平分線，交于點(diǎn)F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，連接，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查了作角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）利用角平分線的基本作圖方法作圖即可；（2）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出．證明，得出，即可得出答案．小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，射線即為的平分線．【小問(wèn)2詳解】證明：如圖，連接，∵，，∴，．在和中，∴，∴，∴．20.在今年的全國(guó)兩會(huì)上，國(guó)家衛(wèi)生健康委表示將持續(xù)推進(jìn)“體重管理年”行動(dòng)，實(shí)施“體重管理年”3年行動(dòng)，普及健康生活方式．為滿足社區(qū)居民健身的需要，市政府準(zhǔn)備采購(gòu)若干套健身器材免費(fèi)提供給社區(qū)，經(jīng)考查，有、兩種型號(hào)的健身器材可供選擇．已知每套型健身器材的價(jià)格比每套型健身器材的價(jià)格多萬(wàn)元，用萬(wàn)元購(gòu)買型健身器材的數(shù)量與用萬(wàn)元購(gòu)買型健身器材的數(shù)量相等，（1）求每套型健身器材的價(jià)格；（2）市政府計(jì)劃采購(gòu)這兩種健身器材共套，總費(fèi)用不超過(guò)萬(wàn)元，則至少購(gòu)買型健身器材多少套？【答案】（1）每套型健身器材的價(jià)格是萬(wàn)元（2）至少購(gòu)買型健身器材套【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用．（1）每套型健身器材的價(jià)格是萬(wàn)元，則每套型健身器材的價(jià)格是萬(wàn)元，根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)買型健身器材套，則購(gòu)買型健身器材套，根據(jù)題意列一元一次不等式求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)每套型健身器材的價(jià)格為萬(wàn)元，則每套型健身器材的價(jià)格為萬(wàn)元，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意，每套型健身器材的價(jià)格為，（萬(wàn)元），答：每套型健身器材的價(jià)格是萬(wàn)元．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)購(gòu)買型健身器材套，則購(gòu)買型健身器材套，依題意得：，解得：，答：至少購(gòu)買型健身器材套．21.設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中是十位上的數(shù)字（）．例如，當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是．（1）嘗試：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，______；……（2）歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）仔細(xì)觀察①②的提示，再用含有相同規(guī)律的代數(shù)式表示即可；（2）由，再計(jì)算，從而可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：由①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；總結(jié)規(guī)律可得：③當(dāng)時(shí)，；故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：，理由如下：∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，完全平方公式的應(yīng)用，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，理解題意，列出運(yùn)算式或方程是解本題的關(guān)鍵．22.下面是小花學(xué)習(xí)了“分式方程”后所作的課堂學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：元旦義賣，某班準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)多2元，用200元購(gòu)進(jìn)甲種商品和用120元購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量相同．求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元．題目：元旦義賣，某班準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，甲種商品每件的進(jìn)價(jià)比乙種商品每件的進(jìn)價(jià)多2元，用200元購(gòu)進(jìn)甲種商品和用120元購(gòu)進(jìn)乙種商品的數(shù)量相同．求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)各是多少元．方法分析問(wèn)題列出方程解法一設(shè)…等量關(guān)系：甲商品數(shù)量=乙商品數(shù)量解法二設(shè)…等量關(guān)系：甲商品進(jìn)價(jià)一乙商品進(jìn)價(jià)=2（1）解法一所列方程中的x表示，解法二所列方程中的x表示．A、甲種商品每件進(jìn)價(jià)x元B．乙種商品每件進(jìn)價(jià)x元C．甲種商品購(gòu)進(jìn)x件（2）根據(jù)以上解法分別求出甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)．（3）若商店計(jì)劃用不超過(guò)144元的資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共40件，至多購(gòu)進(jìn)甲種商品多少件？【答案】（1）A，C（2）甲種商品的進(jìn)價(jià)為5元/件，乙種商品的進(jìn)價(jià)為3元/件（3）至多購(gòu)進(jìn)甲種商品12件【解析】【分析】題主要考查的是分式方程的應(yīng)用，分式方程的解法，一元一次不等式的應(yīng)用．（1）根據(jù)等量關(guān)系中代數(shù)式的含義可得答案；（2）分別按照解分式方程的步驟求解；（3）設(shè)甲商品購(gòu)進(jìn)a件，則乙商品購(gòu)