2026年數(shù)學(xué)建模競賽強(qiáng)化訓(xùn)練模擬題一、線性規(guī)劃問題（3題，每題15分，共45分）題目1：城市物流配送路徑優(yōu)化問題背景：某城市物流公司負(fù)責(zé)為A市三個區(qū)域的客戶配送貨物。公司現(xiàn)有三個倉庫，分別位于A市的不同區(qū)域，存儲不同種類的商品。配送中心接到多個訂單，每個訂單需要從指定倉庫提取商品并配送到指定客戶。公司需要制定最優(yōu)配送方案，以最小化總配送成本（包括運(yùn)輸成本和時間成本）。數(shù)據(jù)：-倉庫位置及庫存信息：-倉庫1（W1）：位于市中心，庫存量100件，商品種類1。-倉庫2（W2）：位于東部，庫存量150件，商品種類2。-倉庫3（W3）：位于西部，庫存量200件，商品種類3。-訂單信息：-訂單1：客戶C1，需商品種類1，數(shù)量50件，距離W110公里，距離W215公里，距離W320公里。-訂單2：客戶C2，需商品種類2，數(shù)量80件，距離W112公里，距離W28公里，距離W318公里。-訂單3：客戶C3，需商品種類3，數(shù)量120件，距離W114公里，距離W216公里，距離W36公里。-運(yùn)輸成本（元/件·公里）：2元。-時間成本（元/小時）：10元。問題：1.建立線性規(guī)劃模型，確定每個倉庫向每個客戶配送的商品數(shù)量，以最小化總成本。2.若倉庫2因運(yùn)輸故障無法配送，重新制定配送方案。3.若客戶C3的需求增加至200件，重新制定配送方案。答案與解析：1.模型建立：-決策變量：設(shè)xij為倉庫i向客戶j配送的商品數(shù)量（i=1,2,3；j=1,2,3）。-目標(biāo)函數(shù)：最小化總成本（運(yùn)輸成本+時間成本）。-運(yùn)輸成本：2Σ(i,j)xijdij。-時間成本：10Σ(i,j)xij/vij（vij為客戶j的訂單處理時間，假設(shè)為1小時）。-總成本：2Σ(i,j)xijdij+10Σ(i,j)xij。-約束條件：-倉庫庫存限制：Σ(j)xij≤庫存量（i=1,2,3）。-客戶需求滿足：Σ(i)xij=需求量（j=1,2,3）。-非負(fù)性：xij≥0。2.倉庫2無法配送：-重新定義決策變量，去掉倉庫2的相關(guān)變量。-新模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件需調(diào)整，僅考慮倉庫1和倉庫3的配送方案。3.客戶C3需求增加：-調(diào)整客戶C3的需求量，重新求解模型。-可能需要調(diào)整其他訂單的配送方案以滿足庫存限制。題目2：農(nóng)產(chǎn)品供應(yīng)鏈優(yōu)化問題背景：某農(nóng)業(yè)公司負(fù)責(zé)種植、加工和銷售三種農(nóng)產(chǎn)品（A、B、C）。公司有三種種植基地，分別位于不同地區(qū)，種植不同種類的農(nóng)產(chǎn)品。公司需要制定種植、加工和銷售計劃，以最大化利潤。數(shù)據(jù)：-種植基地信息：-基地1（S1）：位于東北，種植A，產(chǎn)量100噸，成本500元/噸。-基地2（S2）：位于華北，種植B，產(chǎn)量150噸，成本600元/噸。-基地3（S3）：位于華南，種植C，產(chǎn)量200噸，成本700元/噸。-加工廠信息：-加工廠1（P1）：位于東北，加工A，加工費(fèi)100元/噸。-加工廠2（P2）：位于華北，加工B，加工費(fèi)150元/噸。-加工廠3（P3）：位于華南，加工C，加工費(fèi)200元/噸。-銷售信息：-銷售市場1（M1）：銷售A，價格1000元/噸。-銷售市場2（M2）：銷售B，價格1200元/噸。-銷售市場3（M3）：銷售C，價格1400元/噸。-運(yùn)輸成本：-S1到P1：50元/噸。-S1到P2：100元/噸。-S2到P1：80元/噸。-S2到P2：60元/噸。-S3到P3：70元/噸。問題：1.建立線性規(guī)劃模型，確定每個基地的種植量、每個加工廠的加工量以及每個市場的銷售量，以最大化總利潤。2.若加工廠2因設(shè)備故障無法加工B，重新制定計劃。3.若銷售市場3的需求增加至300噸，重新制定計劃。答案與解析：1.模型建立：-決策變量：-xij：基地i種植的產(chǎn)品j的數(shù)量（i=1,2,3；j=A,B,C）。-yij：產(chǎn)品j在加工廠i的加工量（i=1,2,3；j=A,B,C）。-zj：產(chǎn)品j在市場k的銷售量（k=1,2,3；j=A,B,C）。-目標(biāo)函數(shù)：最大化總利潤。-利潤=銷售收入-種植成本-加工費(fèi)-運(yùn)輸成本。-總利潤=Σ(j,k)zjkpjk-Σ(i,j)xijcij-Σ(i,j)yijpij-Σ(i,j)xijdij。-約束條件：-種植限制：Σ(j)xij≤基地產(chǎn)量（i=1,2,3）。-加工能力限制：yij≤xij（i=1,2,3；j=A,B,C）。-銷售需求：Σ(k)zjk=加工量（j=A,B,C）。-非負(fù)性：xij,yij,zjk≥0。2.加工廠2無法加工B：-去掉加工廠2的相關(guān)變量，重新求解模型。-可能需要調(diào)整其他加工廠和市場的分配方案。3.銷售市場3需求增加：-調(diào)整銷售市場3的需求量，重新求解模型。-可能需要增加加工量和種植量以滿足需求。題目3：能源調(diào)度優(yōu)化問題背景：某城市有三個能源調(diào)度中心，分別位于不同區(qū)域，負(fù)責(zé)向四個區(qū)域的居民和企業(yè)供能。調(diào)度中心從三個能源站獲取能源，并經(jīng)過調(diào)度后分配給各個區(qū)域。調(diào)度中心需要制定最優(yōu)調(diào)度方案，以最小化總調(diào)度成本。數(shù)據(jù)：-能源站信息：-能源站1（E1）：位于東部，供應(yīng)量200萬kWh，成本0.5元/kWh。-能源站2（E2）：位于西部，供應(yīng)量250萬kWh，成本0.6元/kWh。-能源站3（E3）：位于南部，供應(yīng)量300萬kWh，成本0.7元/kWh。-調(diào)度中心信息：-調(diào)度中心1（D1）：位于市中心，分配量150萬kWh。-調(diào)度中心2（D2）：位于東部，分配量200萬kWh。-調(diào)度中心3（D3）：位于西部，分配量250萬kWh。-運(yùn)輸成本：-E1到D1：0.1元/kWh。-E1到D2：0.2元/kWh。-E2到D1：0.15元/kWh。-E2到D2：0.1元/kWh。-E3到D1：0.2元/kWh。-E3到D2：0.25元/kWh。-E3到D3：0.1元/kWh。問題：1.建立線性規(guī)劃模型，確定每個能源站向每個調(diào)度中心的供應(yīng)量，以最小化總調(diào)度成本。2.若能源站1因故障無法供應(yīng)，重新制定調(diào)度方案。3.若調(diào)度中心3的分配量增加至300萬kWh，重新制定調(diào)度方案。答案與解析：1.模型建立：-決策變量：設(shè)aij為能源站i向調(diào)度中心j供應(yīng)的能源量（i=1,2,3；j=1,2,3）。-目標(biāo)函數(shù)：最小化總調(diào)度成本。-總成本=Σ(i,j)aij(成本ij+運(yùn)輸成本ij)。-約束條件：-能源站供應(yīng)限制：Σ(j)aij≤能源站供應(yīng)量（i=1,2,3）。-調(diào)度中心需求滿足：Σ(i)aij=調(diào)度中心分配量（j=1,2,3）。-非負(fù)性：aij≥0。2.能源站1無法供應(yīng)：-去掉能源站1的相關(guān)變量，重新求解模型。-可能需要調(diào)整其他能源站和調(diào)度中心的分配方案。3.調(diào)度中心3分配量增加：-調(diào)整調(diào)度中心3的分配量，重新求解模型。-可能需要增加其他調(diào)度中心的分配量以滿足需求。二、整數(shù)規(guī)劃問題（2題，每題20分，共40分）題目4：圖書館資源配置問題背景：某大學(xué)圖書館需要配置一批圖書，包括小說、專業(yè)書籍和教育類書籍。圖書館有三種圖書類型，分別位于不同區(qū)域，每種類型的圖書數(shù)量有限。圖書館需要制定資源配置方案，以滿足學(xué)生和教師的需求，并最大化圖書的使用率。數(shù)據(jù)：-圖書類型信息：-小說：庫存100本，需求80本。-專業(yè)書籍：庫存150本，需求120本。-教育類書籍：庫存200本，需求180本。-圖書配置成本：-小說：10元/本。-專業(yè)書籍：15元/本。-教育類書籍：20元/本。-圖書使用率：-小說：80%。-專業(yè)書籍：90%。-教育類書籍：85%。問題：1.建立整數(shù)規(guī)劃模型，確定每種圖書類型的配置數(shù)量，以最大化圖書的使用率。2.若圖書館預(yù)算限制為3000元，重新制定配置方案。答案與解析：1.模型建立：-決策變量：設(shè)xi為每種圖書類型的配置數(shù)量（i=小說,專業(yè)書籍,教育類書籍）。-目標(biāo)函數(shù)：最大化圖書的使用率。-使用率=Σ(i)(xi/需求i)使用率i。-約束條件：-庫存限制：xi≤庫存量（i=小說,專業(yè)書籍,教育類書籍）。-預(yù)算限制：Σ(i)xi成本i≤預(yù)算。-非負(fù)性：xi≥0，且為整數(shù)。2.預(yù)算限制為3000元：-在模型中增加預(yù)算限制，重新求解模型。-可能需要調(diào)整每種圖書類型的配置數(shù)量以滿足預(yù)算。題目5：醫(yī)院資源分配問題背景：某醫(yī)院有三個科室，分別為內(nèi)科、外科和兒科。醫(yī)院需要分配醫(yī)生和護(hù)士到各個科室，以滿足患者的需求，并最大化資源利用效率。醫(yī)生和護(hù)士的數(shù)量有限，且每個科室的醫(yī)生和護(hù)士數(shù)量有最低要求。數(shù)據(jù)：-資源信息：-醫(yī)生：總數(shù)量50人，內(nèi)科需10人，外科需15人，兒科需25人。-護(hù)士：總數(shù)量100人，內(nèi)科需20人，外科需30人，兒科需50人。-資源分配成本：-醫(yī)生：內(nèi)科5元/人，外科6元/人，兒科7元/人。-護(hù)士：內(nèi)科8元/人，外科9元/人，兒科10元/人。-資源利用效率：-醫(yī)生：內(nèi)科80%，外科85%，兒科90%。-護(hù)士：內(nèi)科75%，外科80%，兒科85%。問題：1.建立整數(shù)規(guī)劃模型，確定每個科室的醫(yī)生和護(hù)士分配數(shù)量，以最大化資源利用效率。2.若醫(yī)院預(yù)算限制為10000元，重新制定分配方案。答案與解析：1.模型建立：-決策變量：設(shè)di為內(nèi)科、外科、兒科的醫(yī)生分配數(shù)量（i=內(nèi)科,外科,兒科），ni為護(hù)士分配數(shù)量。-目標(biāo)函數(shù)：最大化資源利用效率。-利用效率=Σ(i)(di/需求di)效率di+Σ(i)(ni/需求ni)效率ni。-約束條件：-醫(yī)生數(shù)量限制：Σ(i)di≤醫(yī)生總數(shù)量。-護(hù)士數(shù)量限制：Σ(i)ni≤護(hù)士總數(shù)量。-科室需求滿足：di≥需求di（i=內(nèi)科,外科,兒科），ni≥需求ni。-非負(fù)性：di,ni≥0，且為整數(shù)。2.預(yù)算限制為10000元：-在模型中增加預(yù)算限制，重新求解模型。-可能需要調(diào)整每個科室的醫(yī)生和護(hù)士分配數(shù)量以滿足預(yù)算。三、動態(tài)規(guī)劃問題（1題，20分）題目6：多階段投資決策問題背景：某投資公司計劃在未來五年內(nèi)進(jìn)行多階段投資決策。公司有三種投資項(xiàng)目，分別位于不同地區(qū)，每種項(xiàng)目的投資回報率和風(fēng)險不同。公司需要制定最優(yōu)投資方案，以最大化總回報率，并控制風(fēng)險在可接受范圍內(nèi)。數(shù)據(jù)：-投資項(xiàng)目信息：-項(xiàng)目1（P1）：位于東部，投資回報率10%，風(fēng)險系數(shù)0.2。-項(xiàng)目2（P2）：位于西部，投資回報率15%，風(fēng)險系數(shù)0.3。-項(xiàng)目3（P3）：位于南部，投資回報率20%，風(fēng)險系數(shù)0.4。-投資預(yù)算：每年1000萬元。-風(fēng)險控制：總風(fēng)險系數(shù)不超過0.5。問題：1.建立動態(tài)規(guī)劃模型，確定每年對每個項(xiàng)目的投資金額，以最大化總回報率。2.若投資預(yù)算增加至1200萬元，重新制定投資方案。答案與解析：1.模型建立：-狀態(tài)變量：設(shè)fi(s,r)為第i年剩余投資額為s，風(fēng)險系數(shù)為r時的最大回報率。-決策變