/河北省石家莊市第四十中學2025?2026學年九年級上學期第二階考試數(shù)學試卷一、單選題1．若是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值是（

）A．6 B． C．3 D．2．若α為銳角，且，則（

）A． B． C． D．3．某班為了解學生“上海一日游”出行的交通方式情況，對學生進行問卷調查，學生只選擇一種交通方式作為出行方式，把調查結果分為“私家車”、“出租車”、“公交車”、“軌道交通”四類，繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖．如果選擇“公交車”出行的學生數(shù)是全部學生數(shù)的，那么選擇“私家車”出行的學生人數(shù)是該班學生人數(shù)的（

）A． B． C． D．4．如圖，E，F(xiàn)，G為圓上的三點，，P點可能是圓心的是（

）A． B．C． D．5．以3和﹣1為兩根的一元二次方程是（）A．x2+2x﹣3=0 B．﹣2x2﹣4x+6=0C．3x2﹣6x﹣9=0 D．x2﹣2x+3=06．若點M是等腰的底邊的中點，則點M與以為直徑的圓的位置關系是（

）A．在圓內 B．在圓上 C．在圓外 D．不能確定7．如圖，圖1是裝滿了液體的高腳杯（數(shù)據(jù)如圖），用去部分液體后，放在水平的桌面上如圖2所示，此時液面距離杯口的距離（

）A． B．2cm C． D．3cm8．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B，C，D，E都在網格的格點上，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．9．如圖，有甲、乙、丙三個矩形，其中相似的是（

）A．甲與丙 B．甲與乙C．乙與丙 D．三個矩形都不相似10．如圖①，區(qū)間測速是指檢測機動車在兩個相鄰測速監(jiān)控點之間的路段（測速區(qū)間）上平均速度的方法．小聰發(fā)現(xiàn)安全駕駛且不超過限速的條件下，汽車在某一高速路的限速區(qū)間段的平均行駛速度與行駛時間是反比例函數(shù)關系（如圖②），已知高速公路上行駛的小型載客汽車最高車速不得超過，最低車速不得低于，小聰?shù)陌职职凑沾艘?guī)定通過該限速區(qū)間段的時間可能是（

）A． B． C． D．11．如圖，以點為圓心的兩個同心圓中，點，在大圓上，點，在小圓上，和的長度分別是．若，則扇形的面積與扇形的面積的大小關系為（

）A． B． C． D．不能確定12．在中，，．甲、乙、丙分別給出了一個條件，想使的長唯一，其中正確的是（

）甲：；乙：；丙：的外接圓半徑為4A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丙二、填空題13．若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的取值范圍是．14．若點、、都在二次函數(shù)圖象上，則．（用“<”號表示、、的關系）15．如圖，兩束光線從成像圖層的點O處發(fā)出，經過平面鏡的反射后在成像圖層上形成光點M和N．若入射角，，平面鏡與成像圖層平行，它們之間的距離為，則M，N兩點之間的距離為．16．如圖，線段，，，的半徑為1，當從點A沿著滾動到D點時圓心O經過的路徑長是．三、解答題17．解方程時，小海同學解答如下：解：原方程中，，，．第一步．第二步，第三步即或．第四步所以，原方程的根是，．第五步（1）上述解題過程從第_____步開始出現(xiàn)錯誤？（2）請寫出完整的正確解題過程．18．“校園餐”關乎青少年的健康成長，關乎千家萬戶的切身利益．為了提升“校園餐”的質量，讓學生從“吃得飽”向“吃得好”轉變，相關主管部門到某中學就學生對“校園餐”的滿意度進行問卷調查，現(xiàn)分別從初中部、高中部各隨機抽取10名學生，統(tǒng)計他們對“校園餐”的滿意度的打分情況如下（單位：分）：初中部：．高中部：．兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差初中部8ab0.8高中部88.591.8根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）填空：_______，_______．（2）求m的值．（3）綜合表中數(shù)據(jù)，你認為是初中部的學生對“校園餐”的滿意度更為一致還是高中部的學生？請說明理由．（4）若對“校園餐”的滿意度的評分大于或等于8分的學生占比及以上，則“校園餐”可被評為“幸福餐”．已知該中學初中部有800名學生，高中部有600學生，請估計該校的“校園餐”能否被評為“幸福餐”．19．☆新情境高鐵座椅靠背及小桌板圖（1）是高鐵座椅靠背及小桌板打開時的實物圖，其側面可抽象成圖（2），支架連接靠背和小桌板，點E是杯托處，此時靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，測得，．（1）圖（2）中，．（2）靠背可以繞點B旋轉至與小桌板支架重合的位置，如圖（3），杯托E處凹陷深度為，若此時乘客的水杯能豎直放在杯托處(點E)．①°；②求乘客水杯的最大高度．(參考數(shù)據(jù)：)20．如圖，圓內接四邊形，是的直徑，交于點E．（1）求證：點D為的中點；（2）若，求．21．如圖，將等腰直角三角形的一條直角邊放在軸上，點，，斜邊與反比例函數(shù)，交于點．（1）求、的值；（2）若在該反比例函數(shù)上有一點，過作軸的平行線，分別交于點．當時，求點的坐標．22．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，點，與軸交于點，頂點為．（1）求拋物線的頂點坐標；（2）求出的面積．（3）當時，的取值范圍是_______；（4）若將該函數(shù)圖象向下平移到與軸有唯一公共點，則平移后的函數(shù)解析式是_______．23．蘇科版數(shù)學課本九年級上冊第1章的“數(shù)學活動”《矩形綠地中的花圃設計》中，有如下問題：“在一塊長是、寬是的矩形綠地內，要圍出一個花圃，使花圃面積是矩形面積的一半，你能給出設計方案嗎？”課本所給的方案是：在綠地中間開辟一個矩形的花圃，使四周的綠地等寬，綠地面積與花圃面積相等（如圖）．（1）請你計算出上述方案中綠地的寬；（2）九（1）班小明同學認為在綠地中設計2個花圃更美觀，為此他設計的方案思路是：在綠地中間開辟2個形狀和大小都相同的矩形花圃，且使花圃四周及2個花圃之間的綠地等寬，綠地面積與2個花圃面積之和相等．請你幫助小明畫出他所給方案所有符合要求的示意圖，并設綠地的寬為x，列出每種示意圖相應的方程．（列出方程即可，不用解答）24．物理實驗課上，在做過單擺實驗后，小明想到“數(shù)學來源于生活”，于是從中抽象出了一個數(shù)學平面圖形：如圖（1），直線為水平桌面，線段為支架，虛線為鉛錘P的運動軌跡．現(xiàn)根據(jù)圖形設計出了以下兩個問題．（1）若點到和的距離相等，則稱此時點P的位置為“黃金位置”．過點P作的切線交于點D，如圖（2），若，證明此時點P處于“黃金位置”．（2）已知，，在射線上有一點E，且，連接，如圖（3），在點P運動的過程中，當與相切時，求點P到的距離．

答案1．【正確答案】B【分析】本題考查一元二次方程的解及代數(shù)式求值，利用整體的思想代入計算是解題的關鍵．先將代入方程得到，再將其整體代入計算即可．【詳解】解：將代入方程得到，，，故選B．2．【正確答案】C【分析】根據(jù)α為銳角，且，得到，求即可.本題考查了特殊角的三角函數(shù)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.【詳解】解：∵α為銳角，且，∴，∴，故選C.3．【正確答案】C【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖，理解題意，由統(tǒng)計圖獲得所需信息是解題關鍵．先求出總人數(shù)，然后計算出“私家車”的學生人數(shù)，除以總人數(shù)即可得解．【詳解】解：全部學生數(shù)為（人），選擇“私家車”出行的學生人數(shù)是該班學生人數(shù)的．故選C．4．【正確答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．根據(jù)圓周角定理判斷即可．【詳解】解：∵，若P點為圓心，則．故選C．5．【正確答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系逐個判斷即可．【詳解】解：A、∵3+（﹣1）=2≠﹣，∴方程x2+2x﹣3=0的兩根不是3和﹣1，故本選項不符合題意；B、∵3+（﹣1）=2≠﹣，∴方程﹣2x2﹣4x+6=0的兩根不是3和﹣1，故本選項不符合題意；C、∵3+（﹣1）=2=﹣，3×（﹣1）=﹣3=，∴方程3x2﹣6x﹣9=0的兩根是3和﹣1，故本選項符合題意；D、∵3+（﹣1）=2≠﹣，3×（﹣1）=﹣3，∴方程x2﹣2x+3=0的兩根不是3和﹣1，故本選項不符合題意；故選C．6．【正確答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和中位線定理，計算點M到圓心O的距離，與半徑比較即可判斷位置關系．【詳解】解∶連接，設O為的中點，則的半徑．∵是等腰三角形，，且M是的中點，∴（三線合一）．∵O是的中點，M是的中點，∴是的中位線，∴，且．∵，∴．∴點M到圓心O的距離等于半徑，∴點M在上，故選B．7．【正確答案】A【分析】根據(jù)圖示可知裝滿了液體的高腳杯中的液體可以看作是三角形（圖示見詳解），用去部分液體后剩下的液體看作是三角形，因為容器一樣，則對應邊相等，根據(jù)平行線分線段成比例，三角形相似的性質即可求解．【詳解】解：如圖所示，，，，根據(jù)題意得，是等腰三角形，則過點作于，交于點，∴根據(jù)等腰三角形的性質可知，垂直平分，垂直平分，在，中，，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即液面距離杯口的距離h，故選．8．【正確答案】C【分析】本題主要考查了求角的正切值，根據(jù)網格可知，，即可知，即可得出，由即可推出．【詳解】解：由網格可知：，，，∴，∵，∴∴，故選C9．【正確答案】A【分析】如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形，據(jù)此作答．【詳解】解：三個矩形的角都是直角，甲、乙、丙相鄰兩邊的比分別為4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3，∴甲和丙相似，故選A．10．【正確答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)的實際應用，解題的關鍵在于熟練掌握反比例函數(shù)的關系式和圖象性質以及路程公式．根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質和路程與速度時間之間的關系，分別求出最高車速時的時間以及最低車速的時間，即可求出答案．【詳解】解：由題圖②得，限速區(qū)間段的總路程為，∵最高車速為，∴在最高車速下的行駛時間，同理可得，在最低車速下的行駛時間為，∴通過段限速區(qū)間的行駛時間應該在之間．，∴選項符合題意．故選B．11．【正確答案】A【分析】本題考查了扇形的面積，根據(jù)扇形面積等于弧長與半徑乘積的一半即可判斷求解，掌握扇形的面積計算方法是解題的關鍵．【詳解】解：設大圓半徑為，小圓半徑為，則，，∵，，∴，故選．12．【正確答案】B【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心、勾股定理等，掌握三角形的外接圓與外心是解題的關鍵．根據(jù)題意畫出圖形，使，，點在射線上，作于點，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得的長，再由和的長作比較即可判斷甲乙；由和的長，結合該三角形外接圓的半徑長，即可判斷該外接圓的圓心可以在的上、下兩側，即可判斷丙．【詳解】解：如圖，，，點在射線上，作于點，，，不存在的，故甲不符合題意；，，，而，存在的，使得的長唯一成立，如上圖中的點即是，故乙符合題意；，，當?shù)耐饨訄A半徑為4時，如圖，，，，，存在兩個使的外接圓半徑為4，兩個外接圓的圓心分別在的上、下兩側，故丙不符合題意；綜上所述，只有乙符合題意．故選B．13．【正確答案】【分析】本題考查了已知反比例函數(shù)圖象的分布，求參數(shù)范圍．根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經過二、四象限，則，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得．14．【正確答案】【分析】本題考查了的圖象與性質，解題關鍵是掌握上述知識點并能運用來求解．先通過計算二次函數(shù)在各點的函數(shù)值，再比較大小關系，從而得出結論．【詳解】解：對于二次函數(shù)，當時，；當時，；當時，．比較得，即．15．【正確答案】/【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，軸對稱中的光線反射問題，其他問題（解直角三角形的應用）等知識點，解題關鍵是掌握上述知識點并能運用來求解．分別過反射點作成像圖層的垂線，構建直角三角形，利用三角函數(shù)求出和的長度，再通過計算出兩點間距離．【詳解】解：如圖，分別過反射點作成像圖層的垂線，設平面鏡上兩個反射點為、，過作于，過作于．由題意知，平面鏡與成像圖層平行，且距離為，∴．對于的光線：根據(jù)反射定律，入射角等于反射角，∴是等腰直角三角形（），在中，，即，解得：．又∵垂直平分（反射對稱性），∴，對于的光線：在中，，即，∴，同理，垂直平分，∴．∴．16．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，得出圓心O的運動規(guī)律，再結合弧長公式，分別求了各部分的長，再相加即可．【詳解】解：如圖所示，圖中的圓與、、都相切，連接結相關線段，圖中的圓都是等圓，∴，，∴，，是等邊三角形，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，四邊形是矩形，，∴，，，∵，，∴，∴的長為∵，∴，∵、是的切線，∴，在與中，∴，∴，，在中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴（負值已舍去），∴，∴，，∴，∴圓心O經過的路徑長是：．17．【正確答案】（1）一（2）見詳解【分析】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握公式法解方程的步驟和方法是解題的關鍵；（1）根據(jù)原方程沒有變形為一般形式就進行求解即可進行判斷；（2）先變形為方程的一般形式，再根據(jù)公式法求解即可．【詳解】（1）解：∵原方程沒有變形為一般形式就進行求解，∴上述解題過程從第一步開始出現(xiàn)錯誤.（2）解：原方程可變形為：，方程中，，，，，∴，∴方程的解為,．18．【正確答案】（1），（2）（3）初中部的學生對“校園餐”的滿意度更為一致，理由見詳解（4）估計該校的“校園餐”能被評為“幸福餐”【分析】本題考查了求中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，方差的意義，用樣本估算總體，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)高中部平均數(shù)即可求解；（3）根據(jù)方差的意義求解即可；（4）用初中部和高中部的學生數(shù)分別乘以樣本中8分及以上人數(shù)所占比例，再求和，再求出達到“幸福餐”的人數(shù)，作比較即可解答．【詳解】（1）解：初中部打分排在中間位置的兩個數(shù)都是8，則中位數(shù)，打分出現(xiàn)次數(shù)最多的是8，則眾數(shù)；（2）解：高中部打分的平均分為8分，則，即，∴；（3）解：初中部的學生對“校園餐”的滿意度更為一致，理由如下：∵，∴初中部的學生對“校園餐”的滿意度的打分波動小于高中部的學生對“校園餐”的滿意度的打分，∴初中部的學生對“校園餐”的滿意度更為一致；（4）解：根據(jù)題意：（人）（人）∵，∴估計該校的“校園餐”能被評為“幸福餐”．19．【正確答案】（1）125（2）①55；②【分析】本題主要考查了解直角三角形的相關應用，平行線的性質等知識．（1）過點B作，由平行線的性質得出，由已知條件得出，進而可求出．（2）①根據(jù)題意可知代入計算即可．②過點E作的垂線交于點F，通過解，求出，再加上即可求出答案．【詳解】（1）解：過點B作，∴，∵，∴，∴（2）解：①當靠背可以繞點B旋轉至與小桌板支架重合的位置，由（1）知，∴.②如圖，過點E作的垂線交于點F，在中，．答：乘客水杯的最大高度約為．20．【正確答案】（1）見詳解（2）2【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，熟知垂徑定理是解題的關鍵．（1）由垂徑定理可得，據(jù)此可證明結論；（2）由垂徑定理可得，則，再證明，進而由勾股定理得到的長，再由勾股定理求出的長即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，即點D為的中點；（2）解：∵是的直徑，，∴，∴，∵是的直徑，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．21．【正確答案】（1），（2）【分析】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了等腰三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先求出直線的解析式，可得到n的值，進而得到k的值；（2）設點，則點，點，根據(jù)，關于s的方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵等腰直角三角形的一條直角邊放在軸上，點，，∴，，∴點，設直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，把點代入得：，∴點，把點代入，得：；（2）解：設點，則點，點，∵，∴，解得：（舍去），∴，∴點的坐標為．22．【正確答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）將解析式化為頂點式即可求解；（2）先求出，再求得點到的距離為5，從而可求得的面積；（3）先得出拋物線的開口方向向下，最大值為5，再分別求出當、時的函數(shù)值，從而可確定的取值范圍；（4）先得出平移后的二次函數(shù)的頂點的縱坐標為0，橫坐標為1，從而可得平移后的二次函數(shù)的解析式．【詳解】（1）解：∵，∴二次函數(shù)的頂點坐標是.（2）∵令，