復(fù)變函數(shù)復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)基礎(chǔ)試題考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿(mǎn)分：100分考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生、相關(guān)專(zhuān)業(yè)從業(yè)資格入門(mén)考核題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）請(qǐng)判斷下列命題的正誤。1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程。3.若f(z)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)且在Ω內(nèi)解析，則f(z)在Ω上必為常數(shù)（Liouville定理）。4.洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂域一定是圓環(huán)。5.留數(shù)定理適用于任何閉合曲線上的積分計(jì)算。6.若函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開(kāi)式中負(fù)冪項(xiàng)的階數(shù)等于極點(diǎn)的階數(shù)。7.全純函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍為全純函數(shù)。8.若函數(shù)f(z)在z?處解析，則它在z?的鄰域內(nèi)可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。9.留數(shù)在計(jì)算實(shí)軸上的積分時(shí)沒(méi)有直接應(yīng)用價(jià)值。10.若函數(shù)f(z)在z?處有本性奇點(diǎn)，則它在z?的任意鄰域內(nèi)都存在無(wú)窮多個(gè)極點(diǎn)。二、單選題（每題2分，共20分）每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)。1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)等于（）。A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=πi處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，z^3項(xiàng)的系數(shù)為（）。A.1B.e^πC.-e^πD.03.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+2)在z=0處的留數(shù)為（）。A.-1/3B.1/3C.-2/3D.2/34.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）。A.-1/2B.1/2C.-iD.i5.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的洛朗展開(kāi)式中，z^2項(xiàng)的系數(shù)為（）。A.0B.1/6C.-1/6D.1/36.函數(shù)f(z)=z2/(z-1)在z=1處的極點(diǎn)階數(shù)為（）。A.1B.2C.3D.無(wú)極點(diǎn)7.函數(shù)f(z)=e^z在z=-πi處的洛朗展開(kāi)式中，z^2項(xiàng)的系數(shù)為（）。A.0B.(-1)^2e^(-π)C.-e^(-π)D.e^(-π)8.若函數(shù)f(z)在|z|>1處解析，且f(2)=1，則f(z)展開(kāi)為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)時(shí)，z^(-2)項(xiàng)的系數(shù)為（）。A.1/4B.-1/4C.1/2D.-1/29.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/2處的奇點(diǎn)類(lèi)型為（）。A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.非奇點(diǎn)10.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=1，則f(z)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)時(shí)，z^3項(xiàng)的系數(shù)為（）。A.1B.-1C.1/6D.-1/6三、多選題（每題2分，共20分）每題有多個(gè)正確選項(xiàng)。1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2+2z+1B.f(z)=sin(z)/zC.f(z)=1/zD.f(z)=e^z2.下列函數(shù)中，在z=1處有極點(diǎn)的有（）。A.f(z)=1/(z-1)B.f(z)=z/(z-1)2C.f(z)=(z2-1)/(z-1)D.f(z)=z2+13.下列關(guān)于留數(shù)定理的應(yīng)用描述正確的有（）。A.可用于計(jì)算實(shí)軸上的積分B.可用于計(jì)算封閉曲線上的積分C.需要函數(shù)在積分路徑內(nèi)部解析D.留數(shù)定理僅適用于單值函數(shù)4.下列關(guān)于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的描述正確的有（）。A.展開(kāi)點(diǎn)必須是函數(shù)的解析點(diǎn)B.展開(kāi)式在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂C.展開(kāi)式在收斂圓外無(wú)意義D.展開(kāi)式可表示為正冪項(xiàng)的和5.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的描述正確的有（）。A.可用于展開(kāi)具有奇點(diǎn)的函數(shù)B.展開(kāi)式包含正冪和負(fù)冪項(xiàng)C.展開(kāi)式僅適用于解析函數(shù)D.展開(kāi)式的收斂域一定是圓環(huán)6.下列關(guān)于函數(shù)奇點(diǎn)的描述正確的有（）。A.可去奇點(diǎn)可通過(guò)重新定義函數(shù)消除B.極點(diǎn)的階數(shù)等于負(fù)冪項(xiàng)的最高階數(shù)C.本性奇點(diǎn)無(wú)法展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)D.奇點(diǎn)一定是函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)7.下列關(guān)于Cauchy-Riemann方程的描述正確的有（）。A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿(mǎn)足該方程B.該方程是判斷函數(shù)是否解析的充要條件C.該方程在復(fù)平面內(nèi)處處成立D.該方程僅適用于二維函數(shù)8.下列關(guān)于留數(shù)計(jì)算方法的描述正確的有（）。A.可通過(guò)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)求留數(shù)B.可通過(guò)部分分式分解求留數(shù)C.留數(shù)僅存在于極點(diǎn)處D.留數(shù)與積分路徑無(wú)關(guān)9.下列關(guān)于復(fù)積分計(jì)算的描述正確的有（）。A.可通過(guò)留數(shù)定理計(jì)算實(shí)軸上的積分B.可通過(guò)Cauchy積分公式計(jì)算解析函數(shù)的積分C.積分路徑必須封閉D.積分結(jié)果與路徑形狀無(wú)關(guān)10.下列關(guān)于復(fù)變函數(shù)應(yīng)用的描述正確的有（）。A.可用于解決實(shí)變函數(shù)的積分問(wèn)題B.可用于計(jì)算電學(xué)中的阻抗問(wèn)題C.可用于解決流體力學(xué)中的流場(chǎng)問(wèn)題D.復(fù)變函數(shù)僅具有理論意義四、案例分析（每題6分，共18分）1.問(wèn)題：計(jì)算積分∮_C(z2+2z+1)/(z-1)dz，其中C為|z|=2的逆時(shí)針?lè)较颉?.問(wèn)題：函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在|z|=2的逆時(shí)針?lè)较蛏系姆e分，試用留數(shù)定理計(jì)算。3.問(wèn)題：函數(shù)f(z)=e^z/(z-1)在|z|=1的逆時(shí)針?lè)较蛏系姆e分，試用留數(shù)定理計(jì)算。五、論述題（每題11分，共22分）1.問(wèn)題：論述Cauchy-Riemann方程的幾何意義及其在復(fù)變函數(shù)解析性中的作用。2.問(wèn)題：詳細(xì)說(shuō)明留數(shù)定理的應(yīng)用步驟，并舉例說(shuō)明其在計(jì)算實(shí)軸積分時(shí)的優(yōu)勢(shì)。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√；解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)是定義的一部分。2.√；Cauchy-Riemann方程是解析性的必要條件。3.√；Liouville定理的結(jié)論。4.×；洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂域可能是去心圓環(huán)或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。5.×；留數(shù)定理要求積分路徑內(nèi)部至少有一個(gè)奇點(diǎn)。6.√；極點(diǎn)的階數(shù)等于負(fù)冪項(xiàng)的最高階數(shù)。7.√；全純函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程，故仍全純。8.×；需在z?的鄰域內(nèi)解析。9.×；留數(shù)定理可用于計(jì)算實(shí)軸積分。10.×；本性奇點(diǎn)鄰域內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù)，但無(wú)規(guī)律。二、單選題1.B；f'(z)=2z+2，f'(1)=4。2.B；e^z的泰勒展開(kāi)式中z^3項(xiàng)系數(shù)為e^π。3.A；留數(shù)=lim_(z→0)(z-0)f(z)=-1/3。4.B；留數(shù)=lim_(z→i)(z-i)f(z)=1/2。5.C；sin(z)/z的泰勒展開(kāi)式中z^3項(xiàng)系數(shù)為-1/6。6.A；z2/(z-1)在z=1處有一階極點(diǎn)。7.A；e^z在z=-πi處的洛朗展開(kāi)式中z^2項(xiàng)系數(shù)為0。8.A；Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z^(-2)項(xiàng)系數(shù)為1/4。9.B；tan(z)在z=π/2處有二階極點(diǎn)。10.D；泰勒展開(kāi)式中z^3項(xiàng)系數(shù)為-1/6。三、多選題1.ABD；C在z=0處不解析。2.AB；C可約分，D無(wú)極點(diǎn)。3.AB；留數(shù)定理適用于封閉路徑積分。4.ABD；C錯(cuò)誤，泰勒級(jí)數(shù)在圓外可能發(fā)散。5.AB；C錯(cuò)誤，洛朗級(jí)數(shù)用于奇點(diǎn)展開(kāi)。6.AB；C錯(cuò)誤，本性奇點(diǎn)仍可展開(kāi)，但無(wú)規(guī)律。7.ABD；C錯(cuò)誤，需滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程。8.ABC；D錯(cuò)誤，積分結(jié)果與路徑形狀有關(guān)。9.AB；C錯(cuò)誤，路徑可非封閉；D錯(cuò)誤，結(jié)果與路徑形狀有關(guān)。10.ABC；D錯(cuò)誤，復(fù)變函數(shù)有廣泛應(yīng)用。四、案例分析1.解析：令f(z)=(z2+2z+1)/(z-1)=z+1+1/(z-1)。留數(shù)=lim_(z→1)(z-1)·1/(z-1)=1?！觃Cf(z)dz=2πi×1=2πi。2.解析：f(z)在z=±i處有極點(diǎn)，留數(shù)分別為：Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)·z/(z2+1)=1/2，Res(f,-i)=lim_(z→-i)(z+i)·z/(z2+1)=-1/2?！觃Cf(z)dz=2πi×(1/2-1/2)=0。3.解析：f(z)在z=1處有一階極點(diǎn)，留數(shù)=lim_(z→1)(z-1)e^z=e?！觃Cf(z)dz=2πi×e=2πie。五、論述題1.解析：Cauchy-Riemann方程?u/?x=?v/?y，?u/?y=-?v/?x的幾何意義是：-函數(shù)圖像在z平面上切線方向與x軸夾角等于w平面上切線方向與u軸夾角，-即函數(shù)映射保持角度不變（保角性）。在解析性中的作用：-是函數(shù)解析的必要條件；-保證函數(shù)在區(qū)域內(nèi)無(wú)窮次可微；-推導(dǎo)出Cauchy積分定理等核心定理。2.解析：留數(shù)定理應(yīng)用步