2025-2026學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考號(hào)填寫在試卷和答題卡的相應(yīng)位置．3．答選擇題時(shí)，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；答非選擇題時(shí)，須用黑色字跡的簽字筆書寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.的值為（）A. B. C. D.2.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的為（）A B.C. D.3.如圖所示的幾何體的左視圖為（）A. B.C. D.4.下列事件中，屬于不可能事件的是（）A.拋擲一枚硬幣5次，有4次都是正面朝上B.隨意翻到教材的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)C.把一粒種子種在花盆中，種子會(huì)發(fā)芽D.二次函數(shù)的圖象是雙曲線5.為保護(hù)和研究河北文化遺產(chǎn)，某研學(xué)小組打算測(cè)量凌霄塔的高度．如圖，嘉嘉在處測(cè)得凌霄塔塔頂?shù)难鼋?，此時(shí)從凌霄塔塔頂處觀測(cè)處的俯角是（）A. B. C. D.6.我們知道，壓強(qiáng)、壓力與受力面積三者關(guān)系為，當(dāng)壓力一定時(shí)，下列能反映與之間關(guān)系的圖象是（）A. B.C. D.7.將拋物線平移，得到拋物線，則平移方式是（）A.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度C.向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度8.如圖，三角板中，，，將它繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，則（）A. B. C. D.9.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值不可能是（）A.0 B.1 C.4 D.10.如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在上．若，半徑，則（）A. B. C.2 D.411.嘉嘉和淇淇決定利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量河的寬度，如圖，河的兩岸是平行的，已知上的點(diǎn)處有兩個(gè)標(biāo)志物測(cè)得它們之間的距離米．嘉嘉在如圖所示的點(diǎn)處站定，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，測(cè)得米，淇淇在上移動(dòng)，當(dāng)淇淇移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)在一條直線上），測(cè)得米，則這條河的寬度為（）A.30米 B.36米 C.40米 D.56米12.一張圓形紙片，圓周被等分，等分點(diǎn)分別為，圓形紙片部分示意圖如圖所示，若的半徑是2，弦，則（）A.8 B.10 C.12 D.14二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則___________．14.如圖，是半徑為6上的三點(diǎn)，若，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)__________．15.已知，其中與是一組對(duì)應(yīng)邊，．若，則邊上的高是___________．16.如圖，拋物線與都經(jīng)過(guò)軸負(fù)半軸上的點(diǎn)和軸上的點(diǎn)．點(diǎn)都在第二象限，且分別在上，軸，則的最大值為_(kāi)__________．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，求的面積．18.如圖，一建筑物的高為10米，某時(shí)刻它在水平地面上的影長(zhǎng)為6米．身高1.5米的嘉嘉在建筑物下的點(diǎn)處乘涼，米．若筆直站立的嘉嘉不會(huì)被陽(yáng)光曬到，求的最大值．19.如圖，四張不透明卡片的背面完全相同，在卡片的正面分別寫上一個(gè)數(shù)字，將這些卡片背面朝上洗勻．（1）從中隨機(jī)抽取一張，求抽到偶數(shù)的概率；（2）先從中隨機(jī)抽取一張，正面朝上放在桌面上，再?gòu)氖Ｓ嗫ㄆ须S機(jī)抽取一張，正面朝上放在上一張的右邊，這樣組成一個(gè)兩位數(shù)．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率．20.工人師傅將一根鐵棍沿一點(diǎn)折彎，得到折線形狀，其示意圖如圖所示，其中．（參考數(shù)據(jù)：）（1）求點(diǎn)到所在直線的距離；（2）求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．21.某種商品原價(jià)是125元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，價(jià)格下降了．（1）求價(jià)格降到了多少元；（2）已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)求出每次下降的百分率．22.如圖1，中，分別是上的點(diǎn)，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，，連接，，點(diǎn)恰好落在上，，求的長(zhǎng)（用含的式子表示）．23.如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，是半圓的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，弦，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱．（1）判斷點(diǎn)與位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）已知．①若，求的長(zhǎng)．②若的長(zhǎng)為，直接寫出的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）24.如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．拋物線（為常數(shù)），與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)，不重合，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為．（1）求對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）嘉嘉說(shuō)：的頂點(diǎn)在上．淇淇說(shuō)：的頂點(diǎn)在上．請(qǐng)選擇一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理；（3）若，①連接，當(dāng)與互相平分時(shí)，求的值；②設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．直接寫出的取值范圍．2025-2026學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將姓名、考號(hào)填寫在試卷和答題卡的相應(yīng)位置．3．答選擇題時(shí)，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；答非選擇題時(shí)，須用黑色字跡的簽字筆書寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了求特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)，可得．【詳解】解：∵，∴，故選：C．2.下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖形重合．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，逐一判斷即可．【詳解】解：A、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，能夠與原圖形重合，是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；C、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，不能夠與原圖形重合，不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：B．3.如圖所示的幾何體的左視圖為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，熟練掌握左視圖的定義（從物體左面看得到的視圖）是解題的關(guān)鍵．明確左視圖是從幾何體左側(cè)觀察得到的平面圖形，觀察該幾何體左側(cè)面的形狀，確定其左視圖的輪廓．【詳解】解：由題意可得，幾何體的左視圖為：，故選：B．4.下列事件中，屬于不可能事件的是（）A.拋擲一枚硬幣5次，有4次都是正面朝上B.隨意翻到教材的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)C.把一粒種子種在花盆中，種子會(huì)發(fā)芽D.二次函數(shù)的圖象是雙曲線【答案】D【解析】【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【詳解】解：A、拋擲一枚硬幣5次，有4次都是正面朝上，是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)不符合題意；B、隨意翻到教材的某頁(yè)，這頁(yè)的頁(yè)碼是偶數(shù)，是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)不符合題意；C、把一粒種子種在花盆中，種子會(huì)發(fā)芽，是隨機(jī)事件，該選項(xiàng)不符合題意；D、二次函數(shù)的圖象是雙曲線，是不可能事件，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．5.為保護(hù)和研究河北文化遺產(chǎn)，某研學(xué)小組打算測(cè)量凌霄塔的高度．如圖，嘉嘉在處測(cè)得凌霄塔塔頂?shù)难鼋?，此時(shí)從凌霄塔塔頂處觀測(cè)處的俯角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了仰角與俯角的概念、平行線的性質(zhì)，熟練掌握仰角與俯角的定義及平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作水平線，過(guò)點(diǎn)作水平線，利用與平行的性質(zhì)，結(jié)合內(nèi)錯(cuò)角相等，即可得出從處觀測(cè)處的俯角與從處觀測(cè)處的仰角相等．詳解】解：如圖，由題意可得，，∴，∴從處觀測(cè)處的俯角為，故選：6.我們知道，壓強(qiáng)、壓力與受力面積三者的關(guān)系為，當(dāng)壓力一定時(shí)，下列能反映與之間關(guān)系的圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象特征及實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)壓強(qiáng)公式，結(jié)合壓力一定的條件，判斷出與的函數(shù)類型，再根據(jù)該函數(shù)的定義域和增減性，對(duì)應(yīng)到選項(xiàng)中的圖象進(jìn)行選擇．【詳解】解：，且，是的反比例函數(shù)，，函數(shù)圖象是第一象限內(nèi)的雙曲線分支，且隨增大，減小，故選：7.將拋物線平移，得到拋物線，則平移方式是（）A.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度C.向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，熟練掌握“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律以及通過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)變化判斷平移方向是解題的關(guān)鍵．通過(guò)對(duì)比原拋物線與平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)變化，確定平移的方向和距離．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)為，∵拋物線的頂點(diǎn)為，∴頂點(diǎn)從移動(dòng)到，即向右平移了2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，故選：A．8.如圖，三角板中，，，將它繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得的度數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵三角板中，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，故選：C．9.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值不可能是（）A.0 B.1 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查根據(jù)一元二次方程的根的情況求參數(shù)．利用一元二次方程判別式非負(fù)的條件，確定m的取值范圍，再對(duì)比選項(xiàng)即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴判別式，∴，∴，∴．選項(xiàng)A、B、C中的值均滿足，而選項(xiàng)D中，不滿足條件，∴m的值不可能是．故選：D．10.如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在上．若，半徑，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到是直角三角形，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，最后用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)度．【詳解】解：四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，是半圓的直徑，，，，在中，，，，由勾股定理得：，，，，故選：A．本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的推論、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)、直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．11.嘉嘉和淇淇決定利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量河的寬度，如圖，河的兩岸是平行的，已知上的點(diǎn)處有兩個(gè)標(biāo)志物測(cè)得它們之間的距離米．嘉嘉在如圖所示的點(diǎn)處站定，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，測(cè)得米，淇淇在上移動(dòng)，當(dāng)淇淇移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)在一條直線上），測(cè)得米，則這條河的寬度為（）A.30米 B.36米 C.40米 D.56米【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線判定相似三角形、利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程是解題的關(guān)鍵．通過(guò)平行線判定三角形相似，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例建立方程，求解得出河的寬度．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，解得（米），故選：B．12.一張圓形紙片，圓周被等分，等分點(diǎn)分別為，圓形紙片的部分示意圖如圖所示，若的半徑是2，弦，則（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓心角、勾股定理的逆定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A心角的概念是解題關(guān)鍵．連接，先根據(jù)勾股定理的逆定理可得，再根據(jù)圓的性質(zhì)求出圓心角，則，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，∵的半徑是2，∴，∵弦，∴，∴是直角三角形，，∵圓形紙片被等分，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解．故選：C．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）13.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則___________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，故答案為：．14.如圖，是半徑為6的上的三點(diǎn)，若，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的倍是解題的關(guān)鍵．連接、，利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的倍，求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)判斷的形狀，最后結(jié)合圓的半徑求出弦的長(zhǎng)度．【詳解】解：連接、，，，，是等邊三角形，，故答案為：15.已知，其中與是一組對(duì)應(yīng)邊，．若，則邊上的高是___________．【答案】18【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方求出的面積，再根據(jù)三角形面積公式即可得到答案．【詳解】解：∵，其中與是一組對(duì)應(yīng)邊，，∴，∵∴，∴邊上的高是，故答案為：18．16.如圖，拋物線與都經(jīng)過(guò)軸負(fù)半軸上的點(diǎn)和軸上的點(diǎn)．點(diǎn)都在第二象限，且分別在上，軸，則的最大值為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及線段最值問(wèn)題，熟練掌握利用坐標(biāo)差表示平行于軸的線段長(zhǎng)度，以及二次函數(shù)的最值求法是解題的關(guān)鍵．先通過(guò)拋物線求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入求出的值；設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)為（），分別寫出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到的長(zhǎng)度表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．【詳解】解：中，令，則，解得或，，過(guò)點(diǎn)，，，，，軸，設(shè)，，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，故答案為：．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)解析式的確定、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形面積的計(jì)算，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行于坐標(biāo)軸的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出的值，即可得到反比例函數(shù)的解析式．（2）由軸得點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，將其代入反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而得到的長(zhǎng)度，再以為底、點(diǎn)到的距離為高，利用三角形面積公式計(jì)算的面積．【小問(wèn)1詳解】解：在上，，，；【小問(wèn)2詳解】解：，，，代入得，∴，，∴．18.如圖，一建筑物的高為10米，某時(shí)刻它在水平地面上的影長(zhǎng)為6米．身高1.5米的嘉嘉在建筑物下的點(diǎn)處乘涼，米．若筆直站立的嘉嘉不會(huì)被陽(yáng)光曬到，求的最大值．【答案】的最大值為．【解析】【分析】本題考查了平行投影．在同一時(shí)刻，建筑物的高度與影長(zhǎng)和人的高度與影長(zhǎng)成正比例，據(jù)此列式，求出此時(shí)人的影長(zhǎng)，計(jì)算出最多離建筑物的距離．【詳解】解：設(shè)嘉嘉這個(gè)時(shí)刻在水平地面上形成的影長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意得，解得，嘉嘉這個(gè)時(shí)刻在水平地面上形成的影長(zhǎng)為米，因?yàn)?米)，所以他最多離建筑物米才可以不被陽(yáng)光曬到．答：的最大值為．19.如圖，四張不透明卡片的背面完全相同，在卡片的正面分別寫上一個(gè)數(shù)字，將這些卡片背面朝上洗勻．（1）從中隨機(jī)抽取一張，求抽到偶數(shù)的概率；（2）先從中隨機(jī)抽取一張，正面朝上放在桌面上，再?gòu)氖Ｓ嗫ㄆ须S機(jī)抽取一張，正面朝上放在上一張的右邊，這樣組成一個(gè)兩位數(shù)．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹狀圖法或列表法求解概率，熟知概率公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率公式求出概率即可得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：∵一共有四張卡片，寫有偶數(shù)的卡片有兩張，∴從中隨機(jī)抽取一張，抽到偶數(shù)的概率為；【小問(wèn)2詳解】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)有3種，∴組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率為．20.工人師傅將一根鐵棍沿一點(diǎn)折彎，得到折線形狀，其示意圖如圖所示，其中．（參考數(shù)據(jù)：）（1）求點(diǎn)到所在直線的距離；（2）求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求出的度數(shù)，再解直角三角形即可得到答案；（2）解直角三角形求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∵，∴，中，，∴點(diǎn)到所在直線的距離約為；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，連接，在中，，∴，在中，由勾股定理得，∴點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為．21.某種商品原價(jià)是125元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，價(jià)格下降了．（1）求價(jià)格降到了多少元；（2）已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不是，請(qǐng)求出每次下降的百分率．【答案】（1）80元（2）不是，每次下降的百分率為【解析】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）價(jià)格下降了，那么實(shí)際價(jià)格為原來(lái)的，據(jù)此列式求解即可；（2）設(shè)每次下降的百分率是x，根據(jù)兩次降價(jià)后價(jià)格從125元變?yōu)?0元建立方程求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：元，答：價(jià)格降到了80元；【小問(wèn)2詳解】解：不是，每次下降的百分率為，理由如下：設(shè)每次下降的百分率是x，由題意得，，解得或（舍去），∴每次下降百分率為．22.如圖1，中，分別是上的點(diǎn)，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，其中點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)，，連接，，點(diǎn)恰好落在上，，求的長(zhǎng)（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理和旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由可證，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，代入已知邊長(zhǎng)即可求出的長(zhǎng)度．（2）先由得到的相似關(guān)系求出的長(zhǎng)度；再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到、、，從而推出，結(jié)合證明，利用比例關(guān)系求出的長(zhǎng)度，最后結(jié)合（）得到的表達(dá)式．【小問(wèn)1詳解】解：，，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】解：，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，，，，．23.如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，是半圓的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，弦，點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱．（1）判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）已知．①若，求的長(zhǎng)．②若的長(zhǎng)為，直接寫出的長(zhǎng)（結(jié)果精確到）．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）點(diǎn)在上，理由見(jiàn)解析；（2）①；②【解析】【分析】（1）利用點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱的性質(zhì)，直接得到，再結(jié)合是半徑，即可判斷點(diǎn)在上．（2）①連接，利用直徑所對(duì)圓周角為直角得到；結(jié)合切線性質(zhì)得；再由推出，從而證明