鄂東南2025秋季高二期中考數(shù)學(xué)考試時(shí)間：2025年11月17日下午15：00-17：00試卷滿分：150分選擇題：1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.已知直線，，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解】當(dāng)或重合時(shí)，，，或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以是的充分不必要條件.3.從有3個(gè)男生和2個(gè)女生的小組中，任選2人去參加活動(dòng)，則至少有一個(gè)女生參加的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解】從有5人的小組中，任選2人去參加活動(dòng)有種選法，其中至少有一個(gè)女生的選法有種，所以至少有一個(gè)女生參加概率為.4.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解】，，所以，，則向量在向量上的投影向量為

.5.直線可以由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定.設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，它的一個(gè)方向向量是，是直線上的任意一點(diǎn)，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使，即，我們把這個(gè)方程稱為直線的參數(shù)方程.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解】直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線的方向向量，直線的斜率，又，則.6.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，三個(gè)事件，，發(fā)生的概率分別是0.4，0.5，0.6，則下列選項(xiàng)一定正確的是（）A.與是互斥事件 B.C. D.是必然事件【答案】C【解】對(duì)于A，若，則.故A不正確；對(duì)于B，，解得，故不一定等于，故B不正確；對(duì)于C，由得，故C正確；對(duì)于D，若，則.故D不正確.7.如圖，兩條異面直線，所成角為，在直線，上分別取點(diǎn)，和點(diǎn)，.已知，，當(dāng)長(zhǎng)度最小時(shí)，，則線段的最短長(zhǎng)度為（）A.2或 B.4 C.2或4 D.4或【答案】C【解】，所以，展開得，異面直線，所成角為，代入得，所以或.8.已知是圓上任意一點(diǎn)，若是定值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解】其中，和分別表示點(diǎn)到直線和的距離，因是定值，則此圓夾在兩直線和之間，如圖：所以，得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.選擇題：9.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.設(shè)有一批產(chǎn)品，其次品率為0.05，則從中任取200件，必有10件是次品B.點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，點(diǎn)為平面外的一點(diǎn)，若，則C.若向量，夾角為鈍角，則的取值范圍為D.已知，，若，則【答案】BD【解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槠浯纹仿蕿?.05，從中任取200件，其結(jié)果是隨機(jī)的，不可能是確定的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，且四點(diǎn)共面，則，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若向量，夾角為鈍角，則，解得，若向量，共線，則，解得，所以的取值范圍為且，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)于，可得，且，即集合A表示直線，點(diǎn)除外，對(duì)于，即，即集合B表示過定點(diǎn)，且斜率為的直線，若，可知兩直線重合，則，即，故時(shí)，，故D正確；選：BD.10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列說法正確的是（）A.軌跡的方程為B.若，則的最小值為C.當(dāng)軌跡上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為3時(shí)，D.在上不存在點(diǎn)，使得【答案】ABD【解】設(shè)，P不與A、B重合，由、，有，，，即，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡曲線是以為圓心，半徑的圓，如圖所示，對(duì)于A：由曲線的方程為，所以A正確；對(duì)于B：設(shè)，可得，由題意可知，直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，故的最小值為，所以B正確；對(duì)于C：圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線距離為，需圓心到直線距離（且，圓心到直線的距離：時(shí)，直線，圓上到距離為3的點(diǎn)有三個(gè)（相切1個(gè)，相交2個(gè)），故也滿足，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得，因，所以上不存在點(diǎn)，使得，所以D正確.故選：ABD11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱BC的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說法中正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.的最小值為C.為四面體的棱切球的直徑，則的最大值為2D.若與平面所成的角為，則【答案】ACD【解】，平面，平面，所以平面，又點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故A正確；對(duì)于B，如圖，連接，和，，將面和面展開成一個(gè)平面得到四邊形，則和交點(diǎn)為，此時(shí)最小，因?yàn)?，，，所以，又，又，所以，在三角形中，故B錯(cuò)；對(duì)于C，四面體的棱切球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，設(shè)該球球心為，直徑為，則，，當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)最大，此時(shí)，故，故C對(duì)；對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則令，則，故，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，綜上可知，，故D正確.故選：ACD.填空題12.已知向量，，若，則______.【解】由，得，解得，，所以13.已知點(diǎn)，線段長(zhǎng)度為，經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸的截距都相等的直線與線段始終有交點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_____.【解】過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸的截距都相等的直線，直線的方程為，點(diǎn)B在以A為圓心，為半徑的圓上，因直線與線段有交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線上，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為M、N，則的軌跡是劣弧，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，所以，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.14.給定一個(gè)正四面體，動(dòng)點(diǎn)在以頂點(diǎn)為球心，棱為半徑的球面上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值是_____.【解】如圖所示，記，過點(diǎn)作平面的平行平面，當(dāng)平行面與球相切，且與平面位于球心同側(cè)時(shí)，取得最大值，設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為；連接，易得平面，設(shè)垂足為，連接，球的半徑為，則，外接圓半徑，即，所以，.解答題：15.如圖，在三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用，，表示向量；（2）若，，，，求.【解】.【2】因?yàn)?，，，，，所以，?6.甲、乙兩人進(jìn)行輪流投籃比賽，每人每次只投一球.約定先投中者獲勝，當(dāng)有人投中或者每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且兩人各次投籃互不影響.（1）若甲先投籃，求投籃結(jié)束時(shí)，甲只投了2個(gè)球概率；（2）若乙先投籃，求乙獲勝概率.【解】設(shè)，分別表示甲、乙在第次投籃投中，，，記事件為“投籃結(jié)束時(shí)甲只投了2個(gè)球”，則，即若甲先投，投籃結(jié)束時(shí)，甲只投了2個(gè)球的概率為；【2】若由乙首次投籃，記事件為“乙獲勝”，則，故若乙先投籃，乙獲勝的概率為.17.中，，邊上的高所在直線的方程為，角的角平分線所在直線的方程為.（1）求所在的直線方程；（2）已知：直線（其中為參數(shù)），求直線被的外接圓截得的弦長(zhǎng)最小值（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【解】在中，由邊上的高所在直線的方程為，得垂直于軸，而，點(diǎn)在上，則，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即點(diǎn)在直線上，直線的斜率，所以直線所在的直線方程為，即.【2】點(diǎn)，線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，由得的外接圓圓心為，該圓半徑為，方程為，由直線，得，則，解得，因此直線過定點(diǎn)，，即點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交，當(dāng)直線被圓截得弦長(zhǎng)最小時(shí)，直線，所以直線被的外接圓截得的弦長(zhǎng)最小值為.18.已知直三棱柱，，、分別是邊、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若三棱錐體積為，且，設(shè)與平面所成的角為，求的最大值；（3）在第二問取最大值的條件下，在平面內(nèi)將繞著順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后，得到新的位置點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【解】證法一：如下圖所示，取中點(diǎn)，連接、，是的中點(diǎn)，為的中位線，且，又且，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，平面；證法二：如下圖所示，取中點(diǎn)，連接、，是的中點(diǎn)，為中位線，，又平面，平面，平面.在三棱柱中，，，則四邊形為平行四邊形，，，、分別為、的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.，、平面，平面平面，又平面，平面.【2】如下圖所示，連接，是直三棱柱，平面，平面，.，，、平面，平面，就是在平面內(nèi)的射影，即為與平面所成的角.，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.在中，，故的最大值為.【3】，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，取，可得，易得平面的一個(gè)法向量為，故平面與平面夾角的余弦值為.19.已知，是圓與軸的交點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn).（1）判斷圓與圓的公切線條數(shù)，并說明理由；（2）如圖1：過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程；（3）如圖2：，與圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，.直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)則求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.【解】3條公切線；圓的圓心為半徑為，圓圓心，半徑為，圓心距為，半徑和半徑為，，兩圓外切，故兩圓有3條公切線.【2】因?yàn)橹本€，為圓的切線，所以，則，又，所以，則當(dāng)取最小值時(shí)，最小，即直線時(shí)，