2026/1/301第一章轉子動力學基礎本章主要內容：渦動分析、臨界轉速重力影響彈性支承影響非軸對稱轉子影響、穩(wěn)定性問題初始彎曲影響等加速過臨界的特點2026/1/302第一節(jié)轉子的渦動旋轉的轉子是具有質量和彈性的振動系統(tǒng)，這與其他振動系統(tǒng)相同。區(qū)別：轉子是旋轉的渦動：既有自轉，又有公轉，是一種復合運動。不平衡力引起的同步正進動分析2026/1/303第二節(jié)Jeffcott轉子渦動分析Jeffcott轉子：垂直安裝等截面對稱轉子、不計重力影響。一、Jeffcott轉子運動微分方程Jeffcott轉子示意圖薄盤：h/D<0.1；偏心矩：e定坐標系：oxyz；基點：設自轉ω為常數(shù)，確定的運動：x(t)、y(t)或r(t)、θ(t)假設：扭轉剛度無限大(不計扭振)

忽略軸向位移、剛性支承軸的彎曲剛度為EJE：彈性模量J：截面慣性矩2026/1/304軸的彈性恢復力在坐標軸上投影為：k—軸的剛度系數(shù)對稱簡支梁中點剛度為：粘性外阻尼力在坐標軸上投影為：

c—粘性阻尼系數(shù)

由牛頓定律可得：由幾何關系可知：

2026/1/305兩邊對時間求兩次導數(shù)得：代入牛頓方程得點的運動微分方程根據(jù)動量矩定理，可得圓盤繞重心c轉動的微分方程：對于穩(wěn)態(tài)渦動，

2026/1/306代入牛頓方程得點的運動微分方程化為標準形式為：式中：彈性軸無阻尼橫向振動固有頻率相對阻尼系數(shù)運動微分方程與線性阻尼系統(tǒng)強迫振動相同，可設解為

2026/1/307代入運動微分方程解得:點作圓周運動，參照極坐標幾何關系:故運動半徑為軸的動撓度r，ψ為動撓度r與偏心矩e間的相位差，且有:ψ2026/1/3082026/1/309低轉速區(qū)共振區(qū)高轉速區(qū)圓盤重邊飛出圓盤輕邊飛出；自動定心或質心轉向2026/1/3010臨界轉速定義(ISO)：系統(tǒng)(位移)共振時主響應的特征轉速。主響應：軸頸運動或轉子撓曲對于Jeffcott轉子，臨界轉速對應常以ωcr或ωc表示，若以轉/分或轉/秒為單位，則有或將轉子撓度表達式代入臨界轉速條件得解得可見，阻尼總使臨界轉速大于橫向振動固有頻率，與機械振動中的阻尼使固有頻率降低作用相反。當轉子系統(tǒng)阻尼很小時，可近似認為：此時有2026/1/3011ω＝p時，φ≡π/2，與阻尼系數(shù)ξ大小無關，利用這一特點可測取轉子系統(tǒng)的p，在小阻尼情況下可近似為臨界轉速。當ξ＝0時，ω?p時，φ＝0，三點在一條直線上

ω?p時，φ＝π，三點在一條直線上

ω＝p時，φ＝π/2，r→∞,不同轉速下圓盤偏心位置見圖1－142026/1/3012ω=Ω，同步正渦動，或正協(xié)調進動；ω=-Ω，同步反渦動，或反協(xié)調進動；ω≠Ω，同方向，正渦動，或非協(xié)調正進動；ω≠Ω，反方向，反渦動，或非協(xié)調反進動。當轉子圓盤不在中間時，即使是無阻尼系統(tǒng)，其臨界轉速ω≠p，主要是陀螺力矩影響。同步正進動軸的受力2026/1/3013例：已知：軸長l=57cm，直徑d=1.5cm，軸材料彈性模量，圓盤厚度h=2cm，直徑D=16cm,材料密度，不計阻尼。求：1）臨界轉速ωcr2）e=0.1cm，ω＝0.6ωcr；ω＝0.8ωcr時的動撓度r及支反力幅值F。解：彈性軸質量：圓盤質量：彈性軸中點剛度：不計軸質量時臨界轉速：2026/1/3014計入彈性軸等效質量，按照振動理論，梁在中點的等效質量為原質量的17/35，則臨界轉速為：ω＝0.6ωcr時撓度為：支反力幅為：F=kr=74.562N軸承力與重力之比為：2026/1/3015ω＝0.8ωcr時撓度為：支反力幅為：F=kr=235.68N軸承力與重力之比為：2026/1/3016第二節(jié)剛體繞定點的轉動力學模型：連續(xù)質量模型——彈性體集中質量模型——盤軸系統(tǒng)本章以盤軸系統(tǒng)為分析模型剛體在空間有六個自由度：沿三個垂直軸方向的平移和繞這三個軸的轉動。理論力學：剛體運動可分解成隨基點的平動和繞基點的轉動。平動運動規(guī)律與基點選擇有關；轉動運動規(guī)律與基點選擇無關。§1.2.1描述定點剛體位置的歐拉角剛體球鉸定點約束：約束三個平動自由度；只有三個轉動自由度。2026/1/3017定坐標系oxyz與動坐標系的關系見表1－1和圖1－6關系式為：2026/1/3018各方向余弦存在關系：因此，九個方向余弦中只有三個是獨立的（自由度數(shù)）。方向余弦求解復雜，采用夾角——歐拉角表示，多種定義。1、第一種定義（圖1－7）：1)動坐標與靜坐標重合，先繞oz軸轉動ψ角——進動角；到達oNN1z，oN稱為節(jié)線，右手法則2)繞oN軸轉θ角——方位或撓曲角；到達3)繞轉φ角——自轉角；到達引入坐標軸矢量、2026/1/3019再引入oN、oN1及的單位矢量，則有：由于：得到：2026/1/30202、第二種定義（圖1－8）1)動坐標與靜坐標重合，先繞oy軸轉動α角,到達ox1yz1；右手法則2)繞ox1軸轉β角,到達3)繞轉φ角——自轉角，到達α、β結合體現(xiàn)進動與方位角。令ox1、oy1、oz1單位矢量為則有2026/1/3021由此可導出歐拉角的三角函數(shù)表示的方向余弦：2026/1/3022歐拉角表示的剛體繞定點轉動的運動為或§1.2.2剛體繞定點運動的角速度及速度分布剛體的角速度為或所在的位置稱為剛體繞定點轉動的瞬時轉動軸，瞬時轉動軸時刻不同，但總通過定點。第一種定義法得到矢量向定坐標系投影得2026/1/3023利用方向余弦關系得向動坐標系投影得類似，由第二種定義可得向定坐標系和動坐標系的投影剛體上任一點瞬時速度矢量為2026/1/3024將速度向定坐標系和動坐標系投影得剛體上各點角加速度和加速度為§1.2.3剛體作定點轉動時的動量矩定理動量矩定理：剛體對定點o的動量矩對時間t的導數(shù)，等于外力系對該點的主矩則有對有集中質量的剛體，動量矩為剛體在絕對運動中對質心的動量矩，等于剛體隨質心平移動坐標系中運動的相對于質心的動量矩。2026/1/3025因為由速度合成定理：則剛體相對質心的絕對運動動量矩為由于剛體對質心的質量矩等于零，即因此若將固定點取在質心o上，則有在相對隨質心平移的動坐標系中，剛體對質心動量矩對時間的導數(shù)等于外力系對質心的主矩——剛體相對質心的動量矩定理。因此，對質心動量矩的計算只需考慮相對轉動。剛體作定點轉動時，有剛體動量矩為2026/1/30262026/1/3027如果為剛體對o點的主慣性軸，則各慣性積為零，即于是有一般情況下的矢量關系如圖1－9。若剛體對動坐標系的慣性矩為常數(shù)則有式中：

——歐拉動力學方程2026/1/3028§1.2.4剛體運動的動能能量定理、拉個朗日方程——運動微分方程設剛體質量為m，基點運動方程為x(t)、y(t)、z(t)，以基點為原點的動坐標系是剛體的慣性主軸，慣性矩分別是，則剛體的動能為通常轉子沿oz軸方向的運動為二階小量，可忽略不計，即有z(t)=0故轉子的動能計算公式為2026/1/3029第三節(jié)單盤偏置轉子的渦動、回轉效應轉動慣量：反應剛體質量分布的力學參數(shù)。中心極轉動慣量：

繞通過執(zhí)行的對稱軸的轉動慣量。中心直徑轉動慣量：

繞通過質心的任一直徑的轉動慣量均值等厚度圓盤，其轉動慣量為：圓盤的回轉效應：轉動的剛體有力圖保持轉軸方向不變的特性。轉動物體的慣性的體現(xiàn)。2026/1/3030三個圓盤的動量矩：

的方向沿軸線的切線方向。若轉子以角速度繞z軸轉動，則動量矩的變化率：2026/1/3031動量矩定理：圓盤在軸上的反力矩：圓盤的回轉力矩：2026/1/3032回轉效應：由于高速旋轉圓盤的偏擺運動而使臨界轉速變化的現(xiàn)象（見圖1－15）。§1.3.1單盤偏置轉子運動微分方程假設：無阻尼、無偏心不計軸質量如圖1－15，圓盤的軸線在空間畫出的軌跡是個錐面。為分析方便，建立如下坐標系：(圖1－16、圖1－17）1）定坐標系：oxyz2）隨點平移坐標系：3）固聯(lián)于動坐標系：2026/1/3033

其中：是軸撓度曲線的切線、為兩正交直徑2026/1/3034薄盤運動可以用xoz、yoz平面投影x(t)、y(t)表示。采用第二種歐拉角定義有故可以用x(t)、y(t)、φ(t)、α(t)、β(t)確定圓盤空間位置，描述運動狀態(tài)。如圖1－18，點的撓度x和轉角α為解出盤對軸的作用力Fx和力矩Mx為：2026/1/3035

式中：式中α和Mx的轉向如圖1－18所示。在yoz平面也有類似公式；為了使力矩矢量都沿坐標軸正方向，My與

Mx的轉向規(guī)定相反于是有根據(jù)質心運動定理：代入力關系式得點橫向運動微分方程為：2026/1/3036化成標準形式：式中：由動量矩定理可建立圓盤繞點轉動的運動微分方程。由于α、β都是小量，故有：根據(jù)圖1－17，三個軸的角速度為：顯然，、、為圓盤的三個中心主慣性軸。令圓盤對軸轉動慣量為Ip，對、軸轉動慣量為Id則有：2026/1/3037對軸的角速度就是自轉角速度，即：故對三個軸的動量矩為：分別向、、軸投影得：根據(jù)對質心的動量矩定理，對圓盤有由于是質心，所以重力對、的矩為零。假設作用圓盤上的所有外力對的矩為零，則由上式得：

ω＝常數(shù)2026/1/3038在此條件下，可得盤的偏擺運動微分方程：與方程聯(lián)立求解§1.3.2單盤轉子渦動分析設聯(lián)立方程的解為：代入聯(lián)立方程，得到A、B、C、D的一次齊次方程組，根據(jù)非零解的條件，方程系數(shù)行列式的值應等于零，由此得到關于自然頻率Ω的高次方程，將解得的Ω代回聯(lián)立方程，2026/1/3039可得相應的一組A、B、C、D之間的比值。轉子運動穩(wěn)定時，動撓度曲線在動坐標系中是不變的；只是繞著oz軸進動，進動角Ψ(t)一般從ox軸量起。令總的動撓度為r，撓曲角為θ，由圖1－19幾何關系得顯然，r、θ＝常數(shù)，且＝常數(shù)將以上關系式代入聯(lián)立方程得2026/1/3040由此可見：彈性軸發(fā)生彎曲不僅有離心力()，還有回轉力矩的影響；回轉力矩改變了軸的彎曲剛度。上式是關于r、θ的齊次方程，由非零解條件得：展開后得：即上式可求得Ω得四個根，且隨ω而變，令：為同步正進動，則方程為2026/1/3041

存在一個正根（負根舍去）：討論：1）令頻率方程為：解得：式中：為彈性軸點的橫向剛度此時得到的頻率數(shù)值上等于轉子不旋轉時的橫向固有頻率，即不計回轉效應時轉子臨界轉速。頻率為：2）令為同步反渦動，頻率方程為2026/1/3042

有兩個正根(仍然假設為薄盤，即Ip=2Id)為3）如果出現(xiàn)Ip<Id的情況(如地面串聯(lián)式離心壓氣機)，可能使得在正同步渦動情況下為負值，此時陀螺力矩將降低臨界轉速。例：已知：軸長l=57cm，直徑d=1.5cm，軸材料彈性模量，圓盤厚度h=2cm，直徑D=16cm,材料密度，a=l/4，b=l(3/4)，不計阻尼。求：臨界轉速ωcr解：Id=50.192a=l/4=14.25cmb=l-a=42.75cm3lEJ=k11=5498.589N/cmk12=k21=-67161.07Nk22=1)考慮輪盤回轉效應的臨界轉速為2026/1/3043＝1420208.1則ωcr=30Ω/π=2663.02轉/分不考慮輪盤回轉效應的臨界轉速為：回轉效應提高臨界轉速百分比為對懸臂轉子有類似結論，頻率特性曲線如圖1－21所示2026/1/3044第四節(jié)重力對臨界轉速影響、副臨界對水平安裝的Jeffcott轉子，重力影響：1）重力產生靜撓曲；航空發(fā)動機－忽略、汽輪機—揚度2）質量偏心：交變力矩mgesinωt，如圖1－22薄盤極轉動慣量為：Ip=式中：ρ為回轉半徑輪盤角加速度為：產生一個切向慣性力：垂直分量為：式中的常值部分產生靜撓度；交變部分在垂直方向投影作簡諧變化；當ω＝ωcr/2時，此時，動撓度達到極大值——副臨界。2026/1/3045§1.4.1水平Jeffcott轉子運動微分方程水平安裝的Jeffcott轉子如圖1－23無阻尼、盤在中間、無回轉效應三點總在一條直線上，如圖1－24，彈性恢復力投影為根據(jù)質心運動定理得繞質心軸線的動量矩為圓盤質量m對oz軸的動量矩為：2026/1/3046根據(jù)動量矩方程有：即為了化簡方程，作坐標變換，令變換后聯(lián)立運動微分方程為:§1.5.2水平Jeffcott轉子渦動分析假設：Mz=0，，則令φ的初值為零，則φ＝（ωcr/2）t，代入運動微分方程第三式：聯(lián)立方程的解為：2026/1/3047式中：δs=mg/k為圓盤重力作用下彈性軸跨中靜撓度。根據(jù)圖1－24的幾何關系，圓盤質心運動方程為：進動由個分量組成：基頻分量與偏心矩e有關；倍頻分量與靜撓度δs有關。例1.6：求第四節(jié)例子轉子，重力作用下，副臨界時兩個運動分量幅值。解：基頻分量為：e=3=0.1/3=0.0333cm

倍頻分量為：δs=mg/k=0.0232cm可見各幅值較小，只有δs較大情況下，才能觀察到明顯副臨界現(xiàn)象，軸橫截面非對稱是一個更為主要原因，下節(jié)討論。2026/1/3048第五節(jié)彈性支承單盤轉子渦動分析§1.5.1彈性支承單盤轉子的運動微分方程典型鼠籠式彈性支承結構見圖1－25彈性支承單盤轉子計算模型見圖1－262026/1/3049如圖1－26，假設支承的質量、剛度、阻尼參數(shù)分別為：mb、kx、ky、cx、cy，支承轉子的作用力為：由于阻尼存在，應用非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程：式中：L=T-V——拉格朗日函數(shù)

T——系統(tǒng)的動能函數(shù)

V——系統(tǒng)的勢能函數(shù)

φ——系統(tǒng)阻尼的耗散函數(shù)

Qj——作用在系統(tǒng)上的廣義力

qj——系統(tǒng)廣義坐標

n——系統(tǒng)自由度數(shù)2026/1/3050假設支承對稱，自由度減為二個：xb(t)、yb(t)；圓盤位于中間，自由度減為三個：xc(t)、yc(t)、φ(t)，系統(tǒng)共五自由度設圓盤角速度為常數(shù)：則系統(tǒng)縮減為四個自由度數(shù)。圓盤動能：支承動能：圓盤勢能：支承勢能：圓盤外阻尼耗散函數(shù)：支承粘性阻尼耗散函數(shù)：因假設ω＝常數(shù)，合力矩為零，若忽略重力影響，則系統(tǒng)廣義力為零。2026/1/3051將以上各式代入拉格朗日方程得§1.5.2彈性支承單盤轉子渦動分析為簡化分析，不計阻尼，可設將其代入運動微分方程得2026/1/3052由第三式解得代入第一式得于是分母為零，則X達到無限大，即x方向的臨界轉速ωcr，令即或由求根公式可得討論：1）kx?k，支承幾乎不動，支承質量可視為零，mb=0,頻率方程簡化為：2026/1/30532）k?kx，頻率方程簡化為：支承動剛度定義：作用在支承上的簡諧激振力與力方向上的振動位移之比。與支承剛度、阻尼、參振質量有關，一般為復數(shù)，是隨ω而變化的曲線（特性）。也稱為位移阻抗，用iω除后，得到速度阻抗，也就是常用的機械阻抗(參見六章)3）同樣，若x、y方向互不耦合，則有頻率方程化簡為：y方向臨界轉速為:2026/1/3054一般kx≠ky，所以通常X≠Y，因而盤心軌跡是一個橢圓。4）設kx≠ky，且k?kx，k?ky，則有：表明轉子首先發(fā)生支承運動，即轉子剛體渦動運動軌跡為一橢圓柱面（圖1－27）；考慮轉子轉動慣量，還會出現(xiàn)一橢圓錐面（圖1－28）為研究渦動隨自轉速度變化的性質，盤心運動采用復數(shù)表示2026/1/3055令：此時：Xc=X，Xs=0；Yc=0，Ys=-Y由復數(shù)關系式得：正、反進動兩個分量相位角為：由前面公式可得橢圓長半軸a、短半軸b及長半軸與ox軸夾角α如果Xp>Xr，則為正渦動；如果Xp<Xr，則為反渦動。討論：假設設：kx>ky，則：ωcx>ωcy。a）當ω<ωcy時，Xc>0，Ys<0，且|Ys|>Xc則：Xp>Xr，為正渦動，a=|Ys|，b=Xc，。2026/1/3056b）當ω＝ωcy時，Xc>0，Ys＝∞則：a=∞，b=±Xc，。c）當時，Xc>0，Ys>0則：Xp<Xr，為反渦動，a=Ys，b=－Xc，d）當時，Xc＝Ys>0則：Xp<Xr，為反渦動，a=Xc＝Ys，b=－a，e）當時，Xc>0，Ys>0，且Xc>Ys則：Xp<Xr，為反渦動，a=

Xc，b=－Ys，f）當ω＝ωcx時，Xc=∞，Ys>0則：a=∞，b=±Xc，g）當ω>ωcx時，Xc<0，Ys>0，且|Xc|>Ys則：Xp>Xr，為正渦動，

a=|Xc|，b=Ys，h）當ω＝∞時，Xc=-e，Yc=e則：Xp>Xr，為正渦動，

a＝b=e，2026/1/3057盤心運動軌跡和方向如圖1－29。通常軸的兩個方向剛度差異不大，兩個臨界轉速靠得很近，一般不允許在臨界轉速附近停留，故一般只能看到正進動。2026/1/3058第六節(jié)非軸對稱單盤轉子的渦動分析實際轉子非對稱典型結構見圖1－30假設支承剛度遠大于軸的彎曲剛度，由于軸剛度不對稱，重力激勵頻率為轉速二倍。當轉速到達臨界轉速一半時，會使動撓度達到極值——副臨界。是引起副臨界的重要原因（圖1－31）。2026/1/3059§1.6.1非對稱軸的單盤轉子運動微分方程如圖1－31，建立與定坐標系平行的坐標系，再建一動坐標系，令、為軸截面兩個主慣性軸，轉子以ω繞軸轉動，設截面兩個主慣性矩為Jξ、Jη，相應彎曲剛度為：圓盤偏心為，相對動坐標系的相位角為φe則有：動坐標系中牽連慣性力為，在ξ、η軸上的分量為：哥氏慣性力的分量為：軸的彈性反力分量為：2026/1/3060圓盤粘性外阻尼力分量為：式中：c——圓盤粘性外阻尼系數(shù)。彈性軸內阻尼力分量為：式中：ci——彈性軸內阻尼系數(shù)(分析見后面章節(jié))。轉子受到的重力分量為：根據(jù)質心運動定理，參考圖1－32，得令：2026/1/3061質心運動方程為：為線性非齊次方程利用線性疊加原理可分別討論重力和偏心的作用。§1.6.2重力作用下非對稱單盤轉子的渦動重力單獨作用時運動微分方程為：運動方程右端采用復數(shù)表示，并規(guī)定取其實部，有2026/1/3062設運動方程解為：、代入運動微分方程得：求解上式，得若忽略阻尼，即令c=ci=0，則2026/1/3063上式中都以實部為運動方程無阻尼情況下，取極值條件，即分母為零，則有令：代入上式得：通常Δk/k?1，k/m≈，則有表明會出現(xiàn)副臨界現(xiàn)象。根據(jù)坐標變換關系：2026/1/3064可得固定坐標系下進動方程：由此可見：重力使雙剛度轉子以兩倍自轉角速度作正進動；軌跡是以靜平衡位置為中心的圓，半徑與Δk成正比。副臨界峰值比臨界峰值??；利用副臨界測臨界轉速(安全)。1.6.3偏心作用下非軸對稱單盤轉子的渦動僅偏心作用下運動方程為：2026/1/3065可見偏心引起的離心慣性力在動坐標系中如同一個靜力，只能產生相對靜撓度ξe、ηe，且有：代入運動方程得：解得動坐標系中的動撓度re和相位角φe為：2026/1/3066可見：re隨動坐標系一起以自轉角速度ω旋轉。在固定坐標系中，圓盤作同步正渦動，盤心軌跡是以re為半徑的圓。討論：1）響應與內阻尼ci無關；

2）對無阻尼（c=0），根據(jù)動撓度極值定義臨界轉速，有：a)支承不對稱，兩臨界轉速之間，轉子作穩(wěn)態(tài)反進動渦動；b)軸不對稱，兩臨界轉速之間，轉子可能出現(xiàn)不穩(wěn)定。2026/1/3067第七節(jié)彈性軸有初始彎曲時的轉子渦動設：一Jeffcott轉子，不計重力，無質量偏心，軸有初始彎曲圓盤處初始彎曲為rs，轉子以角速度ω旋轉，進一步彎曲rd，動撓度為r。見圖1－33s：初始盤心位置c:瞬時盤心位置定坐標系：oxy動坐標系：oξη建立動坐標系運動微分方程1）盤心絕對加速度為：2）彈性軸恢復力：2026/1/30683）輪盤粘性外阻尼力：4）根據(jù)質心運動定律得：化為標準形式微分方程：代入坐標變換，得定坐標系方程：由于旋轉，xs、ys隨時間變化，可表示為：代入定坐標系運動方程得：與質量偏心運動方程形式相似，但特點不同。2026/1/3069令：式中：式中：代入運動方程得：由強迫振動可知方程穩(wěn)態(tài)解為：與偏心盤的比較：1）動撓度：偏心盤分子上因子為軸彎曲分子上因子為2）動撓度極值頻率：軸彎曲為：偏心盤為：無阻尼時兩者相等。3）同時存在軸初彎曲rs和盤偏心e，并假設相位差位θ，