2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版選擇性必修一全部內(nèi)容+數(shù)列。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．經(jīng)過兩點和的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知數(shù)列，2，，，，…，，，…，則是這個數(shù)列的（

）A．第19項 B．第20項 C．第21項 D．第22項3．已知四面體，M、N分別是的中點，且，用表示（

）A． B．C． D．4．正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．9或 B． C．9 D．185．已知橢圓的左右焦點分別是，，橢圓上任意一點到，的距離之和為4，過焦點且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，若線段的長為3，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．6．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．7．已知圓上到直線的距離等于1的點恰有兩個，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．8．已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為k的直線l交E的兩條漸近線于A，B兩點，且，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．數(shù)列的前項和，則（

）A．B．C．當或6時，數(shù)列有最小項D．是等差數(shù)列10．如圖，已知正方體邊長為，則下列說法正確的是（

）A．直線與所成角為B．平面平面C．三棱錐的體積是正方體的D．直線與平面所成角的正弦值為11．設(shè)拋物線的焦點為，點，是拋物線上不同的兩點，且，則（

）A．線段的中點到的準線距離為4 B．當直線過原點時，C．直線的傾斜角的最大值為 D．線段的垂直平分線過定點第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線與互相垂直，則實數(shù)的值為．13．已知雙曲線的左右焦點為，點為雙曲線上一點，若，則的周長是．14．已知數(shù)列滿足，，，若存在正整數(shù)m使得恒成立，則．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知以點為圓心的圓A與直線：相切，直線：．(1)求圓A的標準方程，并求直線所過的定點坐標；(2)求直線被圓A截得的最短弦長及此時直線的方程．16．（15分）橢圓過點且離心率為，為橢圓的右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，定點.(1)求橢圓的方程；(2)若面積為，求直線的方程.17．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．18．（17分）如圖1，點分別是邊長為4的正方形三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，使得平面平面，（如圖2），連接，是四邊形對角線的交點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在點，使得平面與平面的夾角為?若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.19．（17分）圓錐曲線有著豐富的光學(xué)性質(zhì)．從拋物線的焦點F處出發(fā)的光線照射到拋物線上點，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的軸．若點P在第一象限、直線l與拋物線相切于點P．(1)已知點，求切線l的方程；(2)過原點作切線l的平行線，交PF于點S，若．（i）求拋物線的方程；（ii）過準線上點N作圓的兩條切線，且分別與交于兩點和兩點．是否存在圓M，使得當點N運動時，為定值？并說明理由．2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷01參考答案第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678CCDAACDB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABDACAD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．1 13． 14．8四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）【詳解】（1）依題意，點到直線：的距離即為圓A的半徑，（2分）所以圓A的標準方程為；（3分）直線，由，解得，（5分）所以直線過定點.（6分）（2）由（1）知，點在圓內(nèi)，（7分）當直線時，直線被圓A截得的弦長最短，最短弦長為，（10分）因直線的斜率，則直線的斜率為2，（11分）方程為，即.（13分）

16．（15分）【詳解】（1）由題意可知，解得，（4分）所以橢圓的方程為.（5分）（2）當直線的斜率為時，顯然不符合題意；（6分）因為，設(shè)，（7分）聯(lián)立，可得，（8分）則，（9分），（10分）因為，（11分）所以，解得，（14分）所以直線的方程.（15分）

17．（15分）【詳解】（1）在數(shù)列中，，當時，，（1分）當時，，則，（2分）所以，（5分）又，則數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，（6分）所以.（7分）（2）由（1）知，，（8分）則，（10分）所以（11分）.（15分）18．（17分）【詳解】（1）取中點，連接（1分）∵四邊形為矩形，∴點為中點，∴且，又∵且，（2分）∴且，∴四邊形為平行四邊形，（3分）即，（4分）∵平面，∴平面.（5分）（2）∵，且平面平面，平面平面，∴平面，（6分）又∵平面，∴，故以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，（7分）∴，，，，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，解得，即，（9分）設(shè)直線與平面所成角為，則，（11分）（3）由（2）可知平面的一個法向量為，（12分）設(shè)存在，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，即，（14分）則，（16分）∴，即（17分）19．（17分）【詳解】（1）因為在拋物線上，所以，所以拋物線為（1分）設(shè)切線方程為，與拋物線聯(lián)立得：，（2分）所以，所以（3分）所以切線方程為：（4分）（2）（i）（法1）如圖，因由光學(xué)性質(zhì)可知軸，因為入射角等于反射角，所以，（5分）所以，所以，（6分）所以，所以拋物線方程為（8分）（法2）設(shè)切線l的方程為：與拋物線方程聯(lián)立得，由，整理，即（6分）如圖，因為，所以，又因為，所以，所以，即，（7分）所似拋物線方程為（8分）（法3）點在第一象限，同法2，求得（6分）設(shè)直線l，PF的傾斜角分別為，計算可得：（7分）即，即，所以拋物線方程為（8分）（ii）由（i）可得拋物線方程為：，則準線方程為：（9分）設(shè)，，將方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x并化簡可得：，又，則由韋達定理可得，同理可得.（10分）則.（11分）又與圓相切，則到圓心的距離為1，則，（12分）同理有，（13分）則為方程的兩根，由韋達定理可得：.（14分）則（15分）注意到當時，切線中有一條與x軸平行，不合題意，則.要使為定值，則，又，則.（16分）故存在圓，使得當點N運動時，為定值.（17分）2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版選擇性必修一全部內(nèi)容+數(shù)列。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．經(jīng)過兩點和的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點確定直線斜率，再利用正切值求傾斜角即可.【詳解】經(jīng)過兩點和的直線斜率為，所以該直線的傾斜角為，故答案為：C2．已知數(shù)列，2，，，，…，，，…，則是這個數(shù)列的（

）A．第19項 B．第20項 C．第21項 D．第22項【答案】C【分析】令，解出即可得.【詳解】令，解得，所以是這個數(shù)列的第項.故選：C.3．已知四面體，M、N分別是的中點，且，用表示（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合圖形可得.【詳解】因為M、N分別是的中點，所以，所以.故選：D4．正項等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．9或 B． C．9 D．18【答案】A【分析】運用等比數(shù)列性質(zhì)解題即可.【詳解】正項等比數(shù)列的前項和為，若，則，則.又，則，即，即，則，化簡，解得都滿足題意.則或.故選：A.5．已知橢圓的左右焦點分別是，，橢圓上任意一點到，的距離之和為4，過焦點且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點，若線段的長為3，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓的定義求出，設(shè)出點坐標，由給定弦長求出即可得解.【詳解】因為橢圓上任意一點到，的距離之和為，由橢圓的定義得，即，令橢圓：的半焦距為，則，則直線，由，解得，于是得，則，所以橢圓的方程為.故選：A6．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，計算平面AEC1F的法向量，利用點到面距離的向量公式即得解【詳解】以D為原點，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則，∴，.設(shè)為平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴點C到平面AEC1F的距離d=.故選：C.7．已知圓上到直線的距離等于1的點恰有兩個，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判斷圓心到直線的距離，利用距離公式列不等式即解得參數(shù)的取值范圍.【詳解】圓的圓心是，半徑，而圓上恰有兩個點到直線的距離等于1，所以圓心到直線的距離，滿足，即，解得或.故選：D.8．已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，過點且斜率為k的直線l交E的兩條漸近線于A，B兩點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線方程得到漸近線方程為，設(shè)，的中點為，將點代入漸近線方程，利用點差法得到，設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)推出，即得，即得，解之即得直線的斜率.【詳解】如圖，由可得雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)，的中點為，則，兩式相減，得：，即，即（*），因，則，在中，，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，則由（*）可得，即，解得，即，也即.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．數(shù)列的前項和，則（

）A．B．C．當或6時，數(shù)列有最小項D．是等差數(shù)列【答案】ABD【分析】根據(jù)作差求出的通項，即可判斷A、B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷D.【詳解】對于A：因為，當時，故A正確；對于B：當時，所以，經(jīng)檢驗時也成立，所以，故B正確；對于C：因為，所以當或時取得最大值，且，即數(shù)列有最大項，故C錯誤；對于D：因為，則，又，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD10．如圖，已知正方體邊長為，則下列說法正確的是（

）A．直線與所成角為B．平面平面C．三棱錐的體積是正方體的D．直線與平面所成角的正弦值為【答案】AC【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量法計算可判斷ABD，根據(jù)三棱錐體積公式計算可判斷C.【詳解】以D點為坐標原點，DA為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，，所以，，因為，所以，即直線與所成角為，故A正確；，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，在正方體中，平面的法向量可以為，因為，所以平面平面不成立，故B錯誤；，故C正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，故D錯誤.故選：AC11．設(shè)拋物線的焦點為，點，是拋物線上不同的兩點，且，則（

）A．線段的中點到的準線距離為4 B．當直線過原點時，C．直線的傾斜角的最大值為 D．線段的垂直平分線過定點【答案】AD【分析】由可得，分析幾何圖形知線段的中點到準線的距離為，代入相應(yīng)值可判斷A；由題意設(shè)，則，即可求出點A、B的坐標，代入兩點間的距離公式即可判斷B；直線斜率存在時符合題意，斜率不存在時，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理及可求出k的范圍判斷C；斜率不存在時滿足題意，斜率存在時根據(jù)垂直平分線過AB的中點且與AB垂直可寫出其點斜式方程，然后求出定點判斷D.【詳解】設(shè)，拋物線：，得，，所以，線段的中點到的準線距離為，故A正確；若直線過原點，設(shè)，則，所以，所以，故B錯誤；當直線AB斜率不存在時，，符合題意，當直線AB斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由得，則，得，又，得，故或，則傾斜角無最大值，故C錯誤；當直線AB斜率存在時，線段中點的坐標為，所以線段的垂直平分線方程為，又，故化為，過定點；當直線的斜率不存在時其垂直平分線即為x軸所在直線，也成立，故D正確．故選：AD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知直線與互相垂直，則實數(shù)的值為．【答案】1【分析】利用直線方程的一般式表達垂直計算可得.【詳解】由兩直線垂直可得，解得或1，當時，直線不存在，故舍掉，所以.故答案為：1.13．已知雙曲線的左右焦點為，點為雙曲線上一點，若，則的周長是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義，結(jié)合勾股定理求出三角形周長.【詳解】雙曲線的實半軸長，焦點，，由點在雙曲線上，得，由，得，，因此，所以的周長是.故答案為：14．已知數(shù)列滿足，，，若存在正整數(shù)m使得恒成立，則．【答案】8【分析】利用與的關(guān)系可得，進而可得，利用作差法找出數(shù)列的最大項即可求解.【詳解】，當時，，當時，，所以，所以，時也適合，所以，，所以，，，，當時，，即，當時，，即，所以當時，最大，即對任意，均有，所以存在正整數(shù)，使得恒成立.故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知以點為圓心的圓A與直線：相切，直線：．(1)求圓A的標準方程，并求直線所過的定點坐標；(2)求直線被圓A截得的最短弦長及此時直線的方程．【答案】(1)，定點；(2)，.【分析】（1）利用切線的性質(zhì)求出半徑即得圓的方程，再求出直線所過定點坐標.（2）判斷定點與圓的位置，利用圓的性質(zhì)及弦長公式求解.【詳解】（1）依題意，點到直線：的距離即為圓A的半徑，所以圓A的標準方程為；直線，由，解得，所以直線過定點.（2）由（1）知，點在圓內(nèi)，當直線時，直線被圓A截得的弦長最短，最短弦長為，因直線的斜率，則直線的斜率為2，方程為，即.

16．（15分）橢圓過點且離心率為，為橢圓的右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，定點.(1)求橢圓的方程；(2)若面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求解出的值，則橢圓的方程可知；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程得到縱坐標的韋達定理形式，根據(jù)，代入韋達定理求解出參數(shù)值，則直線的方程可知.【詳解】（1）由題意可知，解得，所以橢圓的方程為.（2）當直線的斜率為時，顯然不符合題意；因為，設(shè)，聯(lián)立，可得，則，，因為，所以，解得，所以直線的方程.

17．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用求出通項公式.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用裂項相消法求和即得.【詳解】（1）在數(shù)列中，，當時，，當時，，則，所以，又，則數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）知，，則，所以.18．（17分）如圖1，點分別是邊長為4的正方形三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，使得平面平面，（如圖2），連接，是四邊形對角線的交點.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在點，使得平面與平面的夾角為?若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見詳解(2)(3)存在，點與點重合.【分析】（1）利用中位線和平行四邊形證明線線平行，然后得到線面平行；（2）證明三線兩兩垂直，然后建立空間直角坐標系，利用空間向量求得面的法向量，然后由直線所在向量與法向量的夾角的余弦值的絕對值求得線面角的正弦值；（3）由（2）知道平面的法向量，設(shè)點坐標，由空間向量求得平面的法向量，由兩個面的法向量夾角的余弦值的絕對值求等于面面角的余弦值建立方程，解得點坐標，即可知道點的位置.【詳解】（1）取中點，連接∵四邊形為矩形，∴點為中點，∴且，又∵且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，即，∵平面，∴平面.（2）∵，且平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴，故以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，∴，，，，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，解得，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，（3）由（2）可知平面的一個法向量為，設(shè)存在，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，即，則，∴，即19．（17分）圓錐曲線有著豐富的光學(xué)性質(zhì)．從拋物線的焦點F處出發(fā)的光線照射到拋物線上點，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的軸．若點P在第一象限、直線l與拋物線相切于點P．(1)已知點，求切線l的方程；(2)過原點作切線l的平行線，交PF于點S，若．（i）求拋物線的方程；（ii）過準線上點N作圓的兩條切線，且分別與交于兩點和兩點．是否存在圓M，使得當點N運動時，為定值？并說明理由．【答案】(1)(2)（i）；（ii）存在，理由見解析【分析】（1）由