100l…

…

人勾股定理經(jīng)歷勾股定理的探究過程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數(shù)形結(jié)合

的思想.會用勾股定理進行簡單的計算.學習圓標情

境

引

入

其他星球上是否存在著“人”呢?為了探尋這一點，世界上許多

科學家向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種

圖形等

.情

境

引

入

據(jù)說我國著名的數(shù)學家華羅庚曾建議“發(fā)射”一種勾股定理的圖形(如圖).很多學者認為如果宇宙“人”也擁有文明的話，那么他們一定會認識這種語言，因為幾乎所有具有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所了解.知

識

精

講我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面(如

圖

)

:問題1

試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?S正方形A

+S

正方形B

=S正方形C知

識

精

講

有什么特殊關(guān)系?B一直角邊2問題2圖中正方形A、B、C

所圍成的等腰直角三角形三邊之間另一直角邊2斜邊2知

識

精

講問題3在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三

個正方形A、B、C

是否也有類似的面積關(guān)系?觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1):知識精講方法1:

補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網(wǎng)格線上的正方形):右

圖：左

圖

：知識精講

四邊形):你還有其他辦法求C的

面積嗎?O方法2:

分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和右

圖

：左

圖

：A的面積B的面積C

的

面

積左圖4913右圖16925思考正方形A、B、C

所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系?根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：由上面的幾個例子，我們猜想：命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么下面動圖形象的說明命題1的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學家們用拼圖法來證明這一猜想.a2+b2=c2

.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.b知

識

精

講證法1讓我們跟著我國漢代數(shù)學家趙爽拼圖，再用所拼的圖形證明命題吧.bb“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學的驕傲.

因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學大會的會徽.知

識

精

講證

明：∵

S

大正方形=

c2,S小

正

方

形

=(b-a)2,∴S大正方形=

4

·

S

三角

形

+S

小正方形趙爽弦圖知

識

精

講

證法2

畢達哥拉斯證法，請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.知識精講證明

：∵S大正方形=

(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+

S小正方形a=c2+2ab,∴a2+b2+2ab=c2+2ab,∴a2+b2=c2ba∴a2+b2=c2b知

識

精

講證法3

美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2證明：∵S

梯形b在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，

或百牛定理.◆公式變形：

a=√a、b、c

為正數(shù)知

識

精

講◆勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那

么a2+b2=c2.√a2+b2知

識

精

講

在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”,

下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為

“勾”,較長的直角邊稱為“股”,斜邊稱為“弦”.勾2+股2=弦2勾例1

如圖，在Rt△ABC中，

∠

C-90°

.(

1

)

若a=b=5,

求c;(

2

)

若a=1,c=2,求b.解：(1)據(jù)勾股定理得c=√a2+b2=√52+52=√50=5√2;(2)據(jù)勾股定理得b=√c2-a2=√22-12=√3.典例解析CA針對練習1.在Rt△

ABC中，∠

C-90°

.(

1

)

若a:b=1:2,c=5,

求a;

(

2

)

若b=15,∠A=30°,求a,c

.解：(1)設(shè)a=x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52,

解得

x=

√5,∴a=

√5.(2)∵∠A=30°,b=15,∴c=2a.因此設(shè)a=x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152,解

得

x=5

√3.

∴a=5

√3,c=10

√3.【點睛】已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.針

對

練

習2.在Rt△ABC

中

，AB=4,AC=3,

求BC

的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當AB為斜邊時，如圖①,BC=√42-32=√7;

當BC為斜邊時，如圖②,BC=√42+32=5.【點睛】當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，典例解析例2

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC-3,BC-4.

求CD的長.解：由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=25,即

AB=5.根

三

形面積公式，∴AC×2BC=AB×CD.∴

CD

=125【點睛】由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊

的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用.1角1據(jù)B解：由勾股定理可得

解：由勾股定理可得81+144=x2,y2+144=169,

解得x=15.

解得

y=5針對練習求下列圖中未知數(shù)x

、y

的值：C.

在

Rt△ABC

中，∠

C-90°,

所以

a2+b2=c2D.

在

Rt△ABC

中，∠

B=90°,

所以

a2+b2=c22.

圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為1.

下列說法中，正確的是A.已

知a,b,c

是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C

)36

cm28

cm10

cm((

1

)

若a=15,b=8,

則c=

17(

2

)

若c=13,b=12,則a=

_

54.若直角三角形中，有兩邊長是5和7,則第三邊長的平方為74

或

2

4

.達標檢測)3.在

△ABC

中，∠C=90°.達

標

檢

測5.

求斜邊長17

cm、一條直角邊長15cm的直角三角形的面積.解：設(shè)另一條直角邊長是x

cm.由勾股定理得152+x2=172,即x2=172-152=289-225=64,∴

x=±

8

(負值舍去)

,∴另一直角邊長為8cm,直角三角形的面積是

(cm2).6.如圖，在△

ABC中，AD⊥BC,∠B=45°,∠C30°,AD=1,

求△ABC的周長.解：∵

AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°

.在Rt△ADB中，∵∠

B+∠BAD=90°,∠B=45°,∴∠B=∠BAD=45°,∴BD=AD=1,∴AB=√2.在Rt△ADC

中，∵∠C=30°,∴AC-2AD=2,∴CD=

√3

,∴BC-BD+CD=1+

√3

,∴△ABC的周長=AB+AC+BC=√2+√3+3解：∵

AE=BE,∴S又∵AE2+BE2=AB2,∴2AE2=AB2,∴

同理可得S達

標

檢

測7.如圖，以Rt△ABC