2026年七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案1.計(jì)算：(1)2026×2025－2025×2024＋2024×2023－2023×2022＋…＋2×1(2)若a＋b＝7，ab＝5，求a3＋b3(3)設(shè)x＝√7－√5，y＝√7＋√5，求(x2＋y2)/(xy)(4)已知正整數(shù)n滿(mǎn)足n2＋n＋1是2026的因數(shù)，求所有可能的n之和(5)將1～2026的所有整數(shù)寫(xiě)成一排，求其中數(shù)字“2”出現(xiàn)的總次數(shù)【答案與解析】(1)原式＝2025(2026－2024)＋2023(2024－2022)＋…＋3(4－2)＋2×1＝2025×2＋2023×2＋…＋3×2＋2＝2×(2025＋2023＋…＋3)＋2括號(hào)內(nèi)為公差－2的等差數(shù)列，共1012項(xiàng)，首項(xiàng)2025，末項(xiàng)3和＝1012×(2025＋3)/2＝1012×1014于是原式＝2×1012×1014＋2＝2×(1012×1014＋1)＝2×1026169＝2052338(2)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝7×(49－15)＝7×34＝238(3)xy＝(√7－√5)(√7＋√5)＝7－5＝2x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝(2√7)2－4＝28－4＝24于是(x2＋y2)/(xy)＝24/2＝12(4)2026＝2×1013，1013為質(zhì)數(shù)n2＋n＋1的可能取值：1,2,1013,2026n2＋n＋1＝1?n＝0（舍）n2＋n＋1＝2?n＝1n2＋n＋1＝1013?n2＋n－1012＝0?n＝(－1±√4049)/2，非整數(shù)n2＋n＋1＝2026?n2＋n－2025＝0?n＝(－1±√8101)/2，非整數(shù)唯一正整數(shù)解n＝1，故和為1(5)分段統(tǒng)計(jì)：1～999：百位2出現(xiàn)100次，十位2出現(xiàn)10×10＝100次，個(gè)位2出現(xiàn)100次，共3001000～1999：千位1固定，后三位同上，300次2000～2026：千位2固定，出現(xiàn)27次；百位0～0無(wú)；十位0～2出現(xiàn)3次；個(gè)位0～6出現(xiàn)3次總計(jì)：300＋300＋27＋3＋3＝6332.填空：(6)若實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足m2－6m＋1＝0，則m?＋1/m?＝____(7)在1～100中隨機(jī)取兩不同數(shù)，其和為完全平方數(shù)的概率為_(kāi)___（最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)）(8)如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，E在BC上，F(xiàn)在CD上，∠EAF＝45°，則△AEF面積的最小值為_(kāi)___(9)設(shè)a,b,c為正整數(shù)，且a＋b＋c＝2026，則abc的最大值為_(kāi)___(10)若x,y,z為正實(shí)數(shù)，且x＋y＋z＝1，則(x＋1/x)(y＋1/y)(z＋1/z)的最小值為_(kāi)___【答案與解析】(6)由m2－6m＋1＝0得m＋1/m＝6m2＋1/m2＝(m＋1/m)2－2＝34m?＋1/m?＝(m2＋1/m2)2－2＝1156－2＝1154(7)完全平方數(shù)：4,9,16,25,36,49,64,81,100枚舉有序?qū)?a,b)且a<b：和為4：(1,3)和為9：(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)和為16：(1,15)…(7,9)共7和為25：(1,24)…(12,13)共12和為36：(1,35)…(17,19)共17和為49：(1,48)…(24,25)共24和為64：(1,63)…(31,33)共31和為81：(1,80)…(40,41)共40和為100：(1,99)…(49,51)共49總對(duì)數(shù)：1＋4＋7＋12＋17＋24＋31＋40＋49＝185總?cè)》–(100,2)＝4950概率＝185/4950＝37/990(8)設(shè)BE＝x，DF＝y(tǒng)，則CE＝1－x，CF＝1－y旋轉(zhuǎn)△ABE繞A90°得△ADG，則G在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上，DG＝x，F(xiàn)G＝x＋y由∠EAF＝45°得△AEF≌△AGF，于是EF＝GF＝x＋y在Rt△ECF中：(1－x)2＋(1－y)2＝(x＋y)2化簡(jiǎn)得xy＋x＋y＝1令s＝x＋y，p＝xy，則p＋s＝1△AEF面積＝1－(x＋y)/2－(1－x)(1－y)/2＝(1－x－y＋xy)/2＝(1－s＋p)/2＝(1－s＋1－s)/2＝1－s需最小化1－s，即最大化s由p＝1－s≤(s/2)2?s2－4s＋4≥0?(s－2)2≥0，恒成立當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等，解得x＝y(tǒng)＝√2－1，s＝2(√2－1)最小面積＝1－2(√2－1)＝3－2√2(9)固定和，積最大當(dāng)三數(shù)最接近，2026÷3≈675.33取675,675,676，積＝675×675×676＝6752×676＝455625×676＝307702500(10)由AM≥GM：x＋1/x≥2，等號(hào)當(dāng)x＝1但x＋y＋z＝1，不能同時(shí)取1考慮對(duì)稱(chēng)，令x＝y(tǒng)＝z＝1/3，則單因子1/3＋3＝10/3積＝(10/3)3＝1000/27≈37.04下證最小值即此：固定y＋z＝1－x，則(y＋1/y)(z＋1/z)在y＝z時(shí)最小于是可設(shè)x≤y≤z，逐步調(diào)整至相等，得最小值1000/273.解答題：(11)已知數(shù)列{a?}：a?＝2，a???＝2a?＋3n－1，求通項(xiàng)公式及a????的個(gè)位數(shù)字(12)如圖，△ABC中AB＝AC，∠A＝100°，BD為角平分線(xiàn)，E在BC上，使得∠BDE＝30°，求∠DEC(13)設(shè)正整數(shù)n滿(mǎn)足n的所有正因數(shù)之和為2026，求n的最小值與最大值(14)在平面直角坐標(biāo)系中，給定2026個(gè)整點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，求證：存在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)、面積為整數(shù)的三角形(15)甲、乙兩人輪流從2026根火柴中取走1或2或3根，取走最后一根者勝；甲先取，問(wèn)誰(shuí)有必勝策略，并給出具體方案【答案與解析】(11)設(shè)a?＝2?b?，代入遞推：2??1b???＝2??1b?＋3n－1?b???＝b?＋(3n－1)/2??1累加：b?＝b?＋Σ_{k＝1}^{n－1}(3k－1)/2^{k＋1}b?＝a?/2＝1令S＝Σ_{k＝1}^{∞}(3k－1)/2^{k＋1}，可求和：Σkx^k＝x/(1－x)2，|x|<1S＝(3/2)Σk(1/2)^k－(1/2)Σ(1/2)^k＝(3/2)(1/2)/(1/4)－(1/2)(1)/(1/2)＝3－1＝2于是b?＝1＋2－(3n＋5)/2?（余項(xiàng)估算）精確求和得b?＝4－(3n＋5)/2?故a?＝2?[4－(3n＋5)/2?]＝4·2?－3n－5a????＝4·22?2?－3·2026－5個(gè)位數(shù)字只看4·22?2?mod102?≡6mod10，周期4，2026÷4余2，22?2?≡4mod104×4＝16≡6mod10故個(gè)位數(shù)字為6(12)在A(yíng)B上取點(diǎn)F使∠BDF＝20°，則△BDF≌△BDE（ASA）于是DF＝DE，∠DFE＝80°又∠DFC＝180°－80°－100°＝0°，故F與C重合于是∠DEC＝∠DFC＝80°(13)設(shè)σ(n)＝2026＝2×10131013為質(zhì)數(shù)，故n的質(zhì)因數(shù)分解只能含指數(shù)1或2情形1：n＝p^{1005}，則σ(n)＝(p^{1006}－1)/(p－1)＝2026p＝2時(shí)左邊>2026，無(wú)解情形2：n＝p×q，σ(n)＝(p＋1)(q＋1)＝2026枚舉因數(shù)對(duì)：(1,2026)(2,1013)得p＋1＝2,q＋1＝1013?p＝1（舍）或p＋1＝1013,q＋1＝2?p＝1012,q＝1（舍）情形3：n＝p2×q，σ(n)＝(p2＋p＋1)(q＋1)＝20262026＝2×1013，可能q＋1＝2?q＝1（舍）或q＋1＝1013?q＝1012，則p2＋p＋1＝2?p＝1（舍）情形4：n＝p×q×r，σ(n)＝(p＋1)(q＋1)(r＋1)＝20262026＝2×1013，只能拆為2×1013×1，舍綜上，唯一可能n＝1012×1013σ(1012×1013)＝(1012＋1)(1013＋1)＝1013×1014＝2026故最小值＝最大值＝1012×1013＝1025156(14)取所有點(diǎn)橫坐標(biāo)mod2、縱坐標(biāo)mod2，共4類(lèi)由抽屜原理，至少?2026/4?＝507點(diǎn)同類(lèi)，設(shè)此類(lèi)為(偶,偶)取其中三點(diǎn)A(x?,y?),B(x?,y?),C(x?,y?)，則面積＝|x?(y?－y?)＋x?(y?－y?)＋x?(y?－y?)|/2因坐標(biāo)均為偶數(shù)，絕對(duì)值內(nèi)為偶數(shù)，面積必為整數(shù)(15)取模4分析：2026≡2mod4甲先取2根，剩2024≡0mod4此后乙取k∈{1,2,3}，甲取4－k，保持剩余為4的倍數(shù)最終甲取最后一根，必勝4.綜合探究：(16)將1～2026的所有整數(shù)分成若干組，每組和為2026，問(wèn)最多能分多少組？給出一種具體方案(17)設(shè)函數(shù)f(n)表示將正整數(shù)n表示為若干個(gè)2的冪次之和（允許重復(fù)）的方案數(shù)，例如f(4)＝4（4,2＋2,2＋1＋1,1＋1＋1＋1），求f(2026)mod1000(18)在8×8方格中，將2026個(gè)格子染黑，其余染白，要求任意2×2子方格中黑格數(shù)不超過(guò)2，問(wèn)共有多少種染色方案？【答案與解析】(16)每組和2026，總元素2026，最多2026/2026＝1組？顯然非也允許重復(fù)使用數(shù)字？題意“分成”指劃分，不重復(fù)則每組和2026，總元素和S＝2026×2027/2＝2026×1013.5非整數(shù)，矛盾故必須允許數(shù)字重復(fù)使用？重新理解：從1～2026中可重復(fù)選取若干數(shù)（每組內(nèi)可重復(fù)），使每組和為2026，求最多組數(shù)則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：用1～2026的整數(shù)（可重復(fù)）湊成2026，求最大組數(shù)顯然每組至少用1個(gè)2026，故最多1組若允許不同組重復(fù)使用同一數(shù)字，則無(wú)限題意應(yīng)為：將1～2026的所有數(shù)恰好分成k個(gè)子集，每子集元素和為2026則總和須被2026整除，但2026×2027/2＝2026×1013.5非整數(shù)，不可能故最多0組？重新審題：“分成若干組”指將集合劃分為若干子集，每子集和為2026因總和≡1013mod2026，非0，故無(wú)解最多0組(17)遞推：f(0)＝1，f(2k)＝f(2k－2)＋f(k)，f(2k＋1)＝f(2k)計(jì)算得f(2026)mod1000＝f(2026)