第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1.1n次方根與分數(shù)指數(shù)冪

一、教學目標

一、教學目標1．了解根式的概念以及分數(shù)指數(shù)冪的意義；2．掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，以及分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，了解指數(shù)冪的意義；3．通過具體情境，引發(fā)思考，增強求知欲，感受探索未知世界的樂趣，從而培養(yǎng)對數(shù)學的熱愛情感．

二、教學重難點重點：n次方根及根式的概念和性質(zhì)，能利用根式的性質(zhì)對根式進行運算；理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化.難點：能利用根式的性質(zhì)對根式進行運算;理解分數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化．

三、教學過程（一）創(chuàng)設(shè)情境情境：公元前五世紀，古希臘有一個數(shù)學學派名叫畢達哥拉斯學派，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)來表示，希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)2的誕生.初中已經(jīng)學過整數(shù)指數(shù)冪，為了研究指數(shù)函數(shù)，我們需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實數(shù)，上面的情景描述的，正是我們本節(jié)課要學習的知識之一根式.師生活動：教師講述情景并提出問題，讓學生思考.學生思考后，繼續(xù)講述情景問題的答案，引出的和本節(jié)相關(guān)的知識點.設(shè)計意圖：通過經(jīng)典歷史數(shù)學問題，集中學生注意，回顧歷史知識點，引出本節(jié)課知識點之一根式.（二）探究新知任務(wù)1：n次方根的概念思考：你還記得初中時平方根、立方根是如何定義的嗎？如果x2=a，那么x叫做a的平方根.例如，±2就是如果x3=a，那么x叫做a的立方根.例如，師生活動：教師根據(jù)創(chuàng)設(shè)情景中提到根式，以及板書內(nèi)容.引導學生觀察板書內(nèi)容的描述，總結(jié)規(guī)律.類似地，由于±24=16，我們把由于25=32，我們把思考：能否類比上方的描述，歸納總結(jié).答：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)情景中提到根式，以及板書內(nèi)容的引入，引導學生通過歸納總結(jié)出n次方根的概念.任務(wù)2：n次方根的性質(zhì)思考：觀察下面表述，并嘗試總結(jié)規(guī)律.4的平方根（2次方根）：±2；-4沒有偶次方根8的立方根（3次方根）：2；-8的立方根（3次方根）：-216的4次方根：±2；-16沒有偶次方根32的5次方根：2；-32的5次方根：-2師生活動：教師提出問題，引導學生從以下4點尋找規(guī)律，然后分組發(fā)言：1.根的次數(shù)（n）的奇偶性；2.根數(shù)量；3.被開放數(shù)（a）正負；4.特殊情況總結(jié)：一般地，如果xn=a，其中n>11.當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù).這時，a的n次方根用符號na例：532=22.當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個且互為相反數(shù).正的n次方根用na表示，負的用?na表示可合并成±n例：43.負數(shù)沒有偶次方根.（因為在實數(shù)的定義里，任意實數(shù)的偶次方是非負數(shù).）4.0的任何次方根都是0.記作：n0設(shè)計意圖：通過實例引入，讓學生思考，歸納總結(jié)出n次方根的性質(zhì).任務(wù)3：根式的概念【概念形成】式子na叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a根據(jù)n次方根的定義n比如：5注意：1、na一般讀作“n次根號a2、當a＜0且n為偶數(shù)時，na3、當na有意義時，na是一個實數(shù)，且它的n次方等于思考：（1）nan表示an的n（2）要求：先獨立思考，再分組討論并發(fā)言.答：（1）當n為奇數(shù)時：na當n為偶數(shù)時：na（2）nan是實數(shù)an的n次方根，不受a的正負限制.但是受n的奇偶限制.本質(zhì)算法是先乘方，再開方.結(jié)果不一定等于a，參照思考（1）答案；

nan是實數(shù)na的n次方，在

師生活動：引導學生結(jié)合根式的概念獨立思考后，教師引導學生從根指數(shù)奇偶，被開發(fā)數(shù)符號思考，小組內(nèi)交流討論形成結(jié)論，最后師生共同歸納總結(jié)出答案.教師提出根據(jù)概念和性質(zhì)，進入實例演練.任務(wù)4：分數(shù)指數(shù)冪概念探究：根據(jù)n次方根的定義和運算，觀察下面等式，能否總結(jié)出規(guī)律.5a10=4a12=總結(jié)：當根式的被開方數(shù)(看成冪的形式)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示成分數(shù)指數(shù)冪的形式.師生活動：教師根據(jù)板書內(nèi)容，引導學生推導過程，再進行總結(jié).完成后根據(jù)總結(jié)內(nèi)容拋出問題，當指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也能表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式呢？思考：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也能表示為分數(shù)指數(shù)冪的形式呢？例如：3a2=對比：a2整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)如：akm【概念形成】數(shù)學中，引進一個新的概念或法則時，總希望它與已有的概念或法則相容.基如此，我們希望這規(guī)則同樣適用分數(shù)指數(shù)冪運算,不妨進行下面的規(guī)定：1.規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：am2.規(guī)定正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪意義的意義是：a3.規(guī)定0的分數(shù)指數(shù)指數(shù)冪的意義是：規(guī)定0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒意義.任務(wù)5：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用,對于任意有理數(shù)r，s均有下面的運算性質(zhì)：

arara

a

ab積的乘方，等于積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.思考：①②③中法則逆向使用是否成立.例如：a要求：先獨立思考，再分組討論并發(fā)言.答：當a<0,b<0時運算法則不一定成立.只有當a>0,b>0時運算法則才一定成立.（三）應(yīng)用舉例例1求解求下列各式的值：(1)3?83；(2)?102；(3)43?π解：(1)3?8(2)?102(3)4(4)a例2求值：（1）823；（2）解：（1）方法1：823（2）方法1：方法2：1681方法3：1681例3求用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示并計算下列各式(其中a>0).（1）a2?3a2答：（1）a2（2）a?例4計算下式各式(式中字母均是正數(shù)).（1）2a（2）m1（3）3a解：（1）原式=[2×(?6)÷(?3)]（2）原式=(（3）原式=(（四）隨堂練習1.已知a>0，b>0，則下列各式正確的是(

)A.4(π?3)4=π?3 B.a3bb2解：∵π>3，∴4(π?3)4=|π?3|=π?3，則A正確;

a3b2.已知n∈N?，則“nan=a”是“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解：當n是奇數(shù)時，對于任意實數(shù)a總有nan=a，也就是說由nan=a推不出a>0，而由a>0總能得出3.已知a>0