第3講球與截面面積一、單選題1．（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱錐的全部頂點都在球的球面上，，，過棱作球的截面，則所得截面面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作平面，垂足為，取的中點，外接球的球心為，連接，易得為的中心，則，所以，設(shè)外接球半徑為，則，即，解得，當垂直過的截面時，截面的面積最小，此時截面圓的直徑為長，最小面積為，當截面過球心時，截面圓的面積最大，最大面積為，故截面面積的取值范圍是.故選：B.2．（2025·高三·廣東江門·階段練習）如圖，將圓柱的下底面圓置于球O的一個水平截面內(nèi)，恰好使得與水平截面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓的圓周始終與球O的內(nèi)壁相接（球心O在圓柱內(nèi)部），已知球O的半徑為3，，則圓柱體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)R為圓上任意一點，過R作圓柱的軸截面，過O作交圓柱軸截面的邊于M，N，設(shè)與圓柱的下底面所成的角為，則，所以，即，當點P，Q均在球面上時，角取得最小值，此時，所以，所以，令，所以，所以，另，解得兩根所以，所以在時單調(diào)遞減，所以．故選：B．3．（2025·高三·廣東·期末）已知棱長為4的正方體的各個頂點均在球的表面上，點滿足，過點作與直線垂直的平面，則截球所得截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，平面，平面，平面，則直線垂直于平面，則為過點且與平面平行的平面，點在平面內(nèi)，點到平面的距離就是平面與平面的距離，又，所以，球的半徑，所以截球所得截面圓的半徑，該圓面積為．故選:C．4．（2025·湖北宜昌·一模）已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】球心為正方體中心，半徑，法一：連接，相交于點，點為的中點，連接，可得，由于平面，平面，所以平面，在上，則到平面的距離等于點到平面的距離，設(shè)為，，，由平面、得：，則截面圓半徑，所以截面面積；法二：以為原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，令，則，所以，則到平面的距離，截面圓半徑，所以截面面積.故選：A．5．（2025·天津薊州·模擬猜測）如圖，在棱長為1的正方體中，為平面內(nèi)一動點，則下列說法不正確的是（

）A．若在線段上，則的最小值為B．平面被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為C．若與所成的角為，則點的軌跡為橢圓D．對于給定的點，過有且僅有3條直線與直線所成角為【答案】C【解析】對于A，正方體的對角面是矩形，把矩形與正方形置于同一平面，且在直線兩側(cè)，連接，則，當且僅當為與的交點時取等號，A正確；對于B，令正方體內(nèi)切球球心為，連接，為正方體的中心，，，正半徑，正三棱錐底面上的高，又球的半徑為，則被截得的圓的半徑為，面積為，B正確；對于C，建立空間直角坐標系，如圖，則，設(shè)，有，則，整理得，則的軌跡是雙曲線，C錯誤；對于D，明顯過的滿足條件的直線數(shù)目等于過的滿足條件的直線的數(shù)目，，在直線上取點，使，不妨設(shè)，則，則四周體是正四周體，有兩種可能，直線也有兩種可能，若，則只有一種可能，就是與的角平分線垂直的直線，所以直線有三種可能，D正確.故選：C6．（2025·高二·安徽安慶·期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，N點在邊AD上且，將沿BD翻折到的位置，使得.空間四點，B，C，D的外接球為球O，過N點作球O的截面，則截球O所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，取BD的中點為O，由正方形ABCD的邊長為2，則，因此O為四周體的外接球球心，外接球半徑，設(shè)球心到平面的距離為d，截面圓的半徑為r，則有，即，當截面時，d最大，此時截面面積最小，且，在中，，，，由余弦定理可得，，此時，所以截面面積最小值為.故選：A7．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知經(jīng)過圓錐SO的軸的截面是頂角為的等腰三角形，用平行于底面的截面將圓錐SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），且上、下兩部分幾何體的體積之比是1：7，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，作出圓錐的軸截面，上部分小圓錐肯定有內(nèi)切球，故只需下部分圓臺有內(nèi)切球即可，設(shè)圓臺的內(nèi)切球的球心，由上、下兩部分幾何體的體積之比是，可得截得的小圓錐與原圓錐的體積之比為，從而可得圓臺上下底面圓半徑之比為，設(shè)圓臺上底面半徑為，則圓臺下底面半徑為，圓臺存在內(nèi)切球時，由切線長定理可得圓臺母線長，則可得圓錐的母線，所以圓錐的軸截面等腰三角形底邊，在中，由余弦定理可得.故選：C.8．（2025·遼寧撫順·模擬猜測）如圖，桌面上放置著兩個底面半徑和高都是的幾何體，左邊是圓柱挖去一個倒立的圓錐（以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點）剩余的部分，右邊是半球，用平行于桌面的平面截這兩個幾何體，截得左邊幾何體的截面面積為，截得半球的截面面積為，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不確定【答案】B【解析】設(shè)截面與圓柱底面的距離為，該平面截半球所得圓面的半徑為，圓的面積為，由于圓柱的底面半徑與高相等，所以，圓環(huán)的內(nèi)圓半徑為，所以，圓環(huán)的面積為，故，故選：B.9．（2025·高三·江蘇常州·階段練習）已知正三棱錐的外接球的表面積為，側(cè)棱，點為的中點，過點作球的截面，則所得截面圖形面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正三棱錐的外接球的半徑為，則，得.假設(shè)正三棱錐中，外接圓的圓心，則球心在上，設(shè)，外接圓的半徑為即，兩式相減得，又，解得，所以外接圓的圓心是球心.如圖所示：設(shè)球心到過點的截面圓的距離為，截面圓的半徑為，則，由于球心到過點的截面圓的距離的最大值為，所以的最小值為，又由于點在為半徑的圓面上，則球心到過點的截面圓的距離的最小值為，所以的最大值為，總上可知，，即所以截面圓的面積的取值范圍為.故選：B.10．（2025·陜西西安·模擬猜測）已知三棱錐為中點，為直二面角，且為二面角的平面角，三棱錐的外接球表面積為，則平面被球截得的截面面積及直線與平面所成角的正切值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題知平面，又面，所以，又為中點，所以，取中點為，連接交于，則是外心，又，所以，連接，在上取為外心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，則四邊形是矩形，，連接，設(shè)外接圓半徑，設(shè)球半徑為，由于球的表面積為，所以，得到，所以在中，，所以平面截球的截面面積，在中，，所以，又為直線與平面所成角，所以，故選：D.11．（2025·高三·河北·階段練習）某正三棱錐的外接球的表面積為，則當此三棱錐的體積最大時，底面所在平面截球的截面面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，正三棱錐的外接球的球心為，平面，由于表面積為，則外接球的半徑為，為底面的中心，連接，設(shè)正三棱錐的側(cè)棱長為，底面邊長為，則，，，由得，即，所以，

，函數(shù)，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以在有最大值，即時有最大值，此時，所以，所以底面所在平面截球的截面面積是.故選：D.12．（2025·四川成都·模擬猜測）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如圖）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個被后人稱作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面積（如上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積）.某同學制作了一個工藝品，如下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），即一個球去掉了6個球冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為，則該工藝品的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即此距離為，依據(jù)截面圓的周長可得，得，故，得，所以球的表面積．如圖，，且，則球冠的高，得所截的一個球冠表面積，且截面圓面積為，所以工藝品的表面積．故選：B.13．（2025·云南曲靖·模擬猜測）正方體外接球的體積為，、、分別為棱的中點，則平面截球的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方體外接球的半徑為，棱長為，由于正方體外接球的體積為，所以，則，由，得，設(shè)球心到平面的距離為，平面截球的截面圓的半徑為，設(shè)到平面的距離為,由于、、分別為棱的中點，所以是邊長為的正三角形,由,得,則,解得,又,所以到平面的距離為，則，，所以平面截球的截面面積為，.故選：A.二、多選題14．（2025·高二·山東臨沂·期中）如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點，（，是截口橢圓的焦點）.設(shè)圖中球，球的半徑分別為3和1，球心距，則（

）

A．橢圓的中心在直線上B．C．直線與橢圓所在平面所成的角為D．橢圓的離心率為【答案】BD【解析】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A錯誤；橢圓長軸長，過作于D，連，明顯四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，明顯四邊形為矩形，橢圓焦距，故B正確；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C錯誤；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：BD.15．（2025·高一·安徽阜陽·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，已知N，Q分別是棱的中點，，P分別是棱上的動點，下列結(jié)論正確的是（

）A．四周體的體積為定值B．不存在動點M，P，使得C．直線CM與平面所成角的范圍是D．若M，P分別是棱的中點，由平面MNQ分割該正方體，其中截面MNQ上方的部分為幾何體，某球能夠被整體放入幾何體，則該球半徑的最大值為【答案】ACD【解析】對于A，,A正確，對于B，連接相交于，當P是棱上的動點時，過作交于，過作交于，連接,由于,故,由于，平面，故平面,平面,故,平面，平面，故，由于N，Q分別是棱的中點，所以，所以，故B錯誤，對于C，由于平面，平面，故，又，平面，故平面,故到平面的距離為，又平面，平面，故平面，因此到平面的距離與到平面的距離相等，即距離為，由于,設(shè)直線CM與平面為，則，由于，故，C正確，對于D，，分別是棱，的中點，點為中點時，平面在正方體上的截面為正六邊形，某球能夠被整體放入，該球的半徑最大時，是以為頂點，底面為正六邊形的正六棱錐的內(nèi)切球，正六邊形的邊長為，面積為，正六棱錐，側(cè)棱長，每個側(cè)面面積為，棱錐的高為，設(shè)該球的半徑為，由體積法可得，解得，D正確．故選：ACD16．（2025·山東日照·一模）如圖是數(shù)學家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點E，F(xiàn)（E，F(xiàn)是截口橢圓C的焦點）．設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（

）A．橢圓C的中心不在直線上B．C．直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為D．橢圓C的離心率為【答案】ACD【解析】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A正確；橢圓長軸長，過作于D，連，明顯四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，明顯四邊形為矩形，橢圓焦距，故B錯誤；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：ACD.17．（2025·山東·模擬猜測）如圖，在正三棱臺中，，三棱臺的全部頂點均在球的球面上，則（

）A．B．三棱臺的體積為C．球的表面積為D．平面截球所得截面圓的周長為【答案】ACD【解析】如圖，延長交于點．由于，所以為的中位線．由于，所以，則，所以，同理可得．由于，都在平面內(nèi)，所以平面，同理可得平面．又平面，所以，即，故A正確；設(shè)點在底面上的投影為，連接，則，所以，所以，故B錯誤；對于C，設(shè)與平面的交點為，球的半徑為，連接，則．由于，當球心在棱臺內(nèi)部時，，解得，不滿足題意，當球心在平面下方時，①，且②．由①②解得，所以球的表面積為，故C正確；對于D，取的中點為，連接，過點作的平行線交直線于點，則平面．由于，所以，所以，所以球被平面截得的圓面的半徑為，所以截面圓的周長為，故D正確．故選：ACD18．（2025·高三·山東濰坊·期末）已知圓臺上、下底面半徑分別為1，4，半徑為的球內(nèi)切于圓臺，則（

）A．B．圓臺側(cè)面開放圖扇環(huán)的圓心角為C．過的截面與底面所成角為60°時，到截面距離為D．在圓臺內(nèi)放一正方體，正方體可繞其中心自由轉(zhuǎn)動，則該正方體棱長的最大值為【答案】ABD【解析】對A，圓臺上、下底面半徑分別為1，4，，則半徑為的球內(nèi)切于圓臺，所以，故A正確；對B，由A母線長為5，設(shè)圓臺側(cè)面開放圖扇環(huán)的圓心角為，則依據(jù)扇形弧長，所以，故B正確；對C，過的截面與底面所成角為60°時，圓面，所以，到截面距離為，故C錯誤；對D，由題意A，圓臺中能放下的最大球的半徑為，直徑為，故在圓臺內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則正方體為該球的內(nèi)接正方體，棱長為，故D正確；故選：ABD19．（2025·高三·河南·開學考試）如圖，球被一個距離球心的平面截成了兩個部分，這兩個部分都叫作球缺，截面叫作球缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公式為，球缺的體積公式為，其中為球的半徑，為球缺的高，記兩個球缺的球冠面積分別為，兩個球缺的體積分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則兩個球缺的底面面積均為B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】對于A，設(shè)這兩個球缺的底面圓半徑為，則，由于，，解得，該圓的面積為A錯誤.對于B，設(shè)兩個球缺的高分別為，則.由，得，則，所以，解得.，同理得，所以B正確.對于C，.設(shè)，由，得，則，C正確.對于D，.由，得.設(shè)函數(shù)，則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，即D正確.故選：BCD.20．（2025·全國·模擬猜測）已知平面平面，且均與球相交，得截面圓與截面圓為線段的中點，且，線段與分別為圓與圓的直徑，則（

）A．若為等邊三角形，則球的體積為B．若為圓上的中點，，且，則與所成角的余弦值為C．若，且，則D．若，且與所成的角為，則球的表面積為或【答案】BCD【解析】由球心為線段的中點，可知圓、圓的半徑相同．設(shè)球的半徑為，圓與圓的半徑為.對于A，由題意，.由于，所以，解得（負值已舍去）.所以，解得（負值已舍去），所以，故A錯誤.對于B，由于，所以三點在同一平面內(nèi).由于點分別為線段的中點，所以為的中位線，所以，所以為與所成的角.由于，所以.又，所以，所以，故B正確.對于C，由于，所以以為原點，分別以，所在直線為軸、軸，以圓中垂直于的直徑所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，所以，所以，所以，故C正確.對于D，以為原點，以，所在直線分別為軸、軸，以圓中垂直于的直徑所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如上圖，則，所以，所以，所以，解得（負值已舍去）或（負值已舍去）.當時，球的半徑為，所以球的表面積；當時，球的半徑為，所以球的表面積，故D正確.故選：BCD.21．（2025·高三·山東濰坊·期末）已知圓柱的高為2，為下底面圓的一條直徑，為上底面圓上任意一點，球內(nèi)切于圓柱，則（

）A．球的體積為 B．直線，為異面直線C．直線與圓柱上底面所成的角為 D．平面截球所得截面面積最小值為【答案】ACD【解析】由于圓柱的高為2，且球內(nèi)切于圓柱，所以球的半徑，對于A，球的體積，故A正確；對于B，設(shè)平面截圓柱所得截面為，當點在截面內(nèi)時，直線與直線共面，故B錯誤；對于C，由于平面，所以即為直線與圓柱下底面所成的角，如圖：又，所以為等腰直角三角形，即，由于圓柱的上下底面平行，所以直線與圓柱上底面所成的角為，故C正確；對于D，設(shè)過點的圓柱的軸截面為，過點在平面內(nèi)作，垂足為，如圖：易知，，，由勾股定理可得，由于與相像，所以，即，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，由于平面，當平面時，取最大值，即，所以，所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確.故選：ACD.22．（2025·河南·模擬猜測）已知四周體的頂點，，，均在球的球面上，是邊長為2的等邊三角形，，棱，，的中點分別為，，，過，，三點的平面截四周體所得截面四邊形的對角線相互垂直，則（

）A．B．與所成角不行能為90°C．直線與平面所成的角為30°D．球的表面積為【答案】ABD【解析】對于A，如圖，連接，，則，且，取的中點，連接，，則，且，所以且，所以過，，三點的平面截該四周體所得截面為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，所以，則，A正確；對于B，若與所成角為90°，則，由，得，得平面，所以，則，這與沖突，所以與所成角不行能為90°，B正確；對于C，取的中點，連接，由于是邊長為2的等邊三角形，所以，則，連結(jié)，由于，則，所以，則，又平面，所以平面，則為棱與平面所成角，則，所以直線與平面所成角為60°，C錯誤；對于D，由以上分析，平面，由于為直角三角形，且為斜邊，所以四周體外接球的球心為的外接圓的圓心，則球的半徑，所以四周體外接球的表面積為，D正確.故選：ABD.三、填空題23．（2025·甘肅蘭州·一模）正方體的棱長為2，平面截正方體內(nèi)切球所得的截面面積為．【答案】【解析】正方體的中心是內(nèi)切球球心，設(shè)為O，O到平面的距離為d，設(shè)A到平面的距離為，由于，所以，所以，所以，正方體內(nèi)切球半徑，正方體內(nèi)切球被平面截球面所得的截面是一個圓半徑為r的圓，所以，所以圓的面積為．故答案為：．24．（2025·高三·全國·開學考試）一個球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高.若球缺的高為，球的半徑為，則球缺的體積.已知一個圓柱的軸截面是邊長為8的正方形，且正方形的中心為.球的半徑為5，則球與圓柱重合部分的體積為.【答案】【解析】如圖實際就是兩個球缺加一個:那么那么我們先把球缺的體積算了.先畫平面圖先算球缺的上下底，先算上底.下底，再算高，即.所以我們剩下的（DBFE）是大球缺小球缺，所以兩個球缺的體積為:.再算圓柱的體積.【方法二】如圖，球與圓柱重合部分可以看成上下兩部分加中間一個圓柱，上部分和下部分外形相同，可以看成一個缺挖掉一個小球缺.那么我們先算上部分體積，再算圓柱體積，則，即可得到結(jié)果.，所以.，故.故答案為：.25．（2025·全國·模擬猜測）已知某圓柱的高與底面圓的直徑均為4，則該圓柱的外接球的體積為；是圓柱下底面圓的直徑，是圓柱上底面圓周上一點．記該圓柱的內(nèi)切球為球，則平面截球所得截面面積的取值范圍為．【答案】【解析】由題可知，圓柱的外接球的直徑為，則圓柱的外接球的體積為．如圖，四邊形是圓柱的一個軸截面，圓柱上、下底面的圓心分別為，則為線段的中點．連接，則平面．過作于，則．設(shè)到平面的距離為，平面截球的截面圓的半徑為，球的半徑為，則平面截球的截面面積最小值為易知當直徑與重合時，平面截球的截面面積最大，且最大值為平面截球所得截面面積的取值范圍為．故答案為：；26．（2025·高三·云南昆明·階段練習）劉徽在《九章算術(shù)注》中首次明確提出了球缺和球分的概念，如圖，球被平面截取，曲面部分為球冠，球冠與截面圍成的部分為球缺，祖暅精確推導了球缺的體積計算公式為，其中是球的半徑，是球缺的高（即球冠頂點到截面的距離）.連接球心與截面，與球冠圍成的部分為球分.若一球缺的高為3，截面半徑為，則它對應的球分的體積為.

【答案】【解析】由題可得，，解得，則，，所以.故答案為：27．（2025·安徽·模擬猜測）在平面四邊形中，，將沿折起，使點到達，且，則四周體的外接球的體積為；若點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓中面積最小的圓半徑為．【答案】/【解析】由題意知，，，，由勾股定理可知，所以，取的中點，所以，所以四周體的外接球的球心在斜邊的中點處，四周體的外接球的半徑，外接球的體積；依據(jù)題意可知，過點作球的截面，若要所得的截面圓面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球到截面的距離為，則由球的截面性質(zhì)可知，故若要所得的截面圓面積最小，只需球心到截面的距離最大即可，又由球的結(jié)構(gòu)特征可知當且僅當與截面垂直時，球心到截面的距離最大，即，取的中點，所以，所以截面圓的半徑為.故答案為：；.28．（2025·山東臨沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為，體積為.

【答案】【解析】由于，所以，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負值舍去），過點作交于點，過點作交于點，則，，所以，同理可得，，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個半徑的球中上下截去兩個球缺所剩余部分再挖去兩個圓錐，其中球缺的高，圓錐的高，底面半徑，則其中一個球冠的表面積，球的表面積，圓錐的側(cè)面積，所以幾何體的表面積，又其中一個球缺的體積，圓錐的體積，球的體積，所以幾何體的體積.故答案為：；29．（2025·高三·江蘇常州·階段練習）在正四周體中，為邊的中點，過點作該正四周體外接球的截面，記最大的截面面積，最小的截面面積為，則；若記該正四周體內(nèi)切球和外接球的體積分別為和，則．【答案】【解析】將正四周體放置于正方體中，如圖所示，可得正方體的外接球就是正四周體的外接球，外接球的球心O為正方體的體對角線DF的中點，設(shè)正四周體的棱長為，則正方體的棱長為，由于外接球的直徑等于正方體的對角線長，所以外接球的半徑為，E為BC邊的中點，過E作該正四周體外接球的截面，當截面過球心O時，截面面積最大，最大值為，當截面到球心O的距離最大時，截面圓的面積取最小值，此時球心O到截面的距離為，可得截面圓的半徑為，從而截面面積的最小值為．所以；設(shè)正四周體內(nèi)切球的球心為G，半徑為，取底面BCD的中心H，連接AH，則AH為正四周體的高，G在AH上，H在DE上，正四周體的每個面的面積為，，正四周體的高，故正四周體的體積為，連接G與正四周體的4個頂點可以得到4個的正三棱錐，每個