解三角形名目【解密高考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）【題型一】余弦定理解三角形【題型二】正弦定理解三角形【題型三】三角形解的個(gè)數(shù)問題【題型四】判定三角外形問題【題型五】面積公式的應(yīng)用【題型六】三角形中最值范圍問題【題型七】距離、高度、測量問題【題型八】與其它學(xué)問綜合問題【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：最值范圍忽視角度取值范圍問題：作為高考固定題型，每次會(huì)消滅在解答題的第一題或者其次題，新高考消滅了結(jié)構(gòu)不良題的新題型，無外乎的就是和三角函數(shù)與解三角形結(jié)合消滅在解答題第一題里，占15分，難度不大也適應(yīng)了新高考的新題型，所以是熱門，必需要把各題型都能嫻熟把握：常規(guī)題型的歸納總結(jié)，基礎(chǔ)學(xué)問的記憶與推導(dǎo)理解；最值范圍的問題以構(gòu)造函數(shù)求范圍?！绢}型一】余弦定理解三角形【例1】在中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c，若，則.【答案】【分析】利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】令，，，由余弦定理可得.故答案為：【例2】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，則.【答案】【詳解】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式計(jì)算可得.【分析】由于，所以，由余弦定理得，，，，則.故答案為：.【變式1】在中，，則（

）A．5 B．3或5 C．4 D．2或4【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】由余弦定理，得，即，即，解得或5，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足題意.故選：B.【變式2】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則.【答案】3【分析】由余弦定理即可求解；【詳解】由余弦定理知，即，整理得，解得.（負(fù)值舍去）故答案為：3【題型二】正弦定理解三角形【例1】（多選）在中，，則角A為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由正弦定理可得.結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理，得.由于，，所以或.故選：AB.【例2】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.【詳解】在中，由，得，由正弦定理得，所以.故選：A【變式1】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】由于為的內(nèi)角，則，由二倍角的余弦公式可得，解得，由正弦定理可得，所以，.故選：A.【變式2】是斜邊上一點(diǎn)，若，則的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.【詳解】在中，令，由，則，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，則有，即的值是.故選：D【題型三】三角形解的個(gè)數(shù)問題【例1】符合下列條件的三角形有且只有一個(gè)的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】選項(xiàng)A：利用正弦定理推斷；對(duì)于B：由正弦定理推斷；選項(xiàng)C：兩邊之和大于第三邊推斷；選項(xiàng)D：由正弦定理推斷；【詳解】對(duì)于A：由于，所以，三角形有兩解，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B：由于，所以，且，所以,所以或，故有兩解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由于，所以無解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由于，所以,故，三角形只有一解，故D正確.故選：D【例2】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足的三角形有兩個(gè)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)給定條件，利用正弦定理，結(jié)合三角形有兩解的條件列式求解.【詳解】在中，，由有兩解，得，即，解得，所以的取值范圍為.故選：D【變式1】（多選）在中，依據(jù)下列條件解三角形，其中恰有一解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】BC【分析】依據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)的判定條件直接計(jì)算可得.【詳解】A中，由于，有，所以該三角形無解，故A錯(cuò)誤；B中，由于，為銳角，有，所以該三角形有一解，故B正確；C中，由于，為銳角，有，所以該三角形有一解，故C正確；D中，由于，為銳角，有，所以該三角形有兩解，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【變式2】已知中，，，有兩解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】如圖，要使有兩解，則，即，即．故選：D．【題型四】判定三角形的外形問題【例1】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若bcosA+acosB=csinA．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解題思路】由正弦定理和正弦和角公式化簡得到sinC=1，求出C=【解答過程】由正弦定理得sinB其中sinA所以sinC=由于C∈0,π，所以故sinC=1由于C∈0,π，所以故△ABC為直角三角形.故選：C.【例2】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sinAk=sinBA．當(dāng)k=5時(shí)，△ABC是直角三角形 B．當(dāng)k=3時(shí)，△ABC是銳角三角形C．當(dāng)k=2時(shí)，△ABC是鈍角三角形 D．當(dāng)k=1時(shí)，△ABC是鈍角三角形【解題思路】由正弦定理化簡已知可得a:b:c=k:3:4，利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第三邊等學(xué)問逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得解．【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)k=5時(shí)，sinA5=sinB3=明顯△ABC是直角三角形，故命題正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)k=3時(shí)，sinA3=sinB3=明顯△ABC是等腰三角形，a2說明∠C為銳角，故△ABC是銳角三角形，故命題正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)k=2時(shí)，sinA2=sinB3=可得a2+b2?對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)k=1時(shí)，sinA1=sinB3=此時(shí)a+b=c，不等構(gòu)成三角形，故命題錯(cuò)誤.故選：D.【變式1】在△ABC中，a，b，c分別為角A、B，C的對(duì)邊，下列敘述正確的是（

）A．若acosB=bcosB．若atanA=btanC．若sin2A+sinD．若cos2A+cos2B+【解題思路】應(yīng)用正弦定理推斷A選項(xiàng)，應(yīng)用正弦定理結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系推斷B選項(xiàng)，結(jié)合余弦定理推斷C選項(xiàng)，依據(jù)二倍角公式的余弦公式及余弦定理推斷D選項(xiàng).【解答過程】由于acosB=bcosA，所以sinA由于atanA=btanB,所以sin2由于y=1t?t,t∈0,1單調(diào)遞減，1cos由于sin2A+sin2B+又由余弦定理得cosC=a2+b由于cos2A+cos所以2cos由于cosA=?cosB+C則cosA所以cosAcosB所以△ABC為鈍角三角形，故D正確；故選：ABD.【變式2】已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a=b+ccosB+cosC【解題思路】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cosA(sinC+【解答過程】由正弦定理以及a=b+ccosB+所以sin=sin化簡可得：cosA(由于0<B<π，0<C<π，所以sinB>0，sin由于0<A<π，所以A=π2故答案為：直角三角形.【題型五】面積公式的應(yīng)用【例1】在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】在中，由于，，，由余弦定理可得，所以，，因此，的面積為.故選：A.【例2】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．(1)求；(2)若，，求邊上的高．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用余弦定理求出的值，求出的面積，即可求出邊上的高．【詳解】（1）由正弦定理，有，有，

通分后，有，有，由于，則，又由，有，可得，

又由，可得.（2）設(shè)邊上的高為，由及余弦定理，有，

的面積為，則.【變式1】的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，的面積為，求b，c的值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和差角的正弦公式化簡求解即可；（2）由面積公式可得，再依據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】（1）由正弦定理及．得，即，即，由于，所以，所以，所以．（2）由題意得的面積，所以①．又，且，所以②．由①②得．【變式2】已知在中，，.(1)求的大小(2)若AB邊上的高等于1，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理得到，得到；（2）作出幫助線，結(jié)合（1）求出各邊長，利用三角形面積公式得到答案.【詳解】（1），又，故；（2），故，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，AB邊上的高等于1，故，故，由（1）知，，所以，所以，所以.【題型六】三角形中最值范圍問題【例1】已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若，求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角，再結(jié)合幫助角公式即可求解；（2）法一：由余弦定理，結(jié)合基本不等式求得最大值，即可求解；法二：由正弦定理，得到，，再結(jié)合面積公式、幫助角公式即可求解；【詳解】（1），由正弦定理可得，，..，；（2）（方法一）在中，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)..即的面積的最大值為（方法二）由正弦定理得，，則面積.由于，所以，所以，所以當(dāng)，取得最大值所以即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即的面積的最大值為【例2】記銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由倍角公式結(jié)合正弦定理即可求；（2）由正弦定理邊化角，由為銳角三角形得出的范圍，利用正弦型函數(shù)性質(zhì)即可求.【詳解】（1）由于，所以．

又為銳角三角形，故，則．

由于，所以．又，故．（2）由正弦定理得，

則，．

由（1）知，則．所以，由于為銳角三角形，所以，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值．【變式1】已知，為上一點(diǎn)，且．動(dòng)點(diǎn)滿足為線段上一點(diǎn)，滿足，則下列說法中不正確的是（

）A．若，則為線段的中點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，的面積為C．點(diǎn)到距離之和的最大值為5 D．的正切值的最大值為【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，將條件中的邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，利用圓和橢圓的性質(zhì)可求解推斷A，C，D；結(jié)合余弦定理和三角形面積公式可求出的面積，推斷出B錯(cuò)誤.【詳解】

以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由知，，化簡得，即動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，對(duì)于A，由知在線段中垂線上，所以當(dāng)時(shí)，為線段的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，在中利用余弦定理得，又由于，所以，所以的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，依據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，且長軸長焦距，短軸長.所以，當(dāng)點(diǎn)D在橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，即A，M，D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，取得最大值5，故C正確；對(duì)于D，易知，依據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)最大時(shí)，在橢圓的上或下頂點(diǎn)，此時(shí)為最大值，故D正確．故選：B.【變式2】已知.(1)求函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程；(2)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；(3)設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若且.求面積的最大值.【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）通過向量數(shù)量積得到函數(shù)表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱軸，整體代換計(jì)算即可；（2）運(yùn)用正弦函數(shù)單調(diào)性，整體代換計(jì)算即可；（3）結(jié)合三角形內(nèi)角條件和余弦定理、重要不等式求解三角形面積的最大值.【詳解】（1）由，則，則，即，故圖象的對(duì)稱軸方程為.（2）由（1）可知，則在單調(diào)遞增，故，故單調(diào)遞增區(qū)間為.（3），即，為的內(nèi)角，，故，，則，又，由余弦定理，得，又由重要不等式，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故面積的最大值為.【變式3】若一個(gè)三角形中兩邊的平方和是第三邊平方的倍，則稱該三角形為階準(zhǔn)直角三角形.在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)證明：是2階準(zhǔn)直角三角形；(2)若，求的值；(3)若，求的面積的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）由已知及余弦邊角關(guān)系化簡條件為，即可證；（2）由正弦邊角關(guān)系有，結(jié)合（1）結(jié)論和余弦定理求；（3）由已知和余弦定理得，結(jié)合，應(yīng)用三角形面積公式、基本不等式求面積的最大值，留意取值條件.【詳解】（1）由及余弦定理，得，整理，得，故是2階準(zhǔn)直角三角形.（2）由正弦定理，得，則，由（1）得，所以.（3）由，得，整理得，又，所以，由（1）得，所以的面積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，故的面積的最大值為.【題型七】距離、高度、測量問題【例1】如圖，為了測量一條大河兩岸之間的距離，無人機(jī)升至米的空中沿水平方向飛行至點(diǎn)進(jìn)行測量，在同一鉛垂平面內(nèi).在點(diǎn)測得的俯角為，則.【答案】【分析】依據(jù)已知及正弦定理有、，即可求.【詳解】由條件知，過作垂直于直線，垂足為，在中，，在中，，所以.故答案為：【例2】某數(shù)學(xué)愛好小組成員為測量某建筑的高度OP，選取了在同一水平面上的A，B，C三處，如圖.已知在A，B，C處測得該建筑頂部P的仰角分別為，，，，米，則該建筑的高度（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】設(shè)，由，結(jié)合余弦定理可得，求解即可.【詳解】設(shè)，則可得，由，可得B是AC的中點(diǎn)，所以，而，則，，中，由余弦定理可得：，解得：，所以該建筑的高度米.故選：B.【變式1】如圖，A，B，C三點(diǎn)位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏東60°方向，A在C的正西方向，且A，C之間的距離為50米，B處正上方建有一棟樓房，C處正上方建有一座塔，從A處觀看塔尖E，測得仰角為45°，從樓房頂D處觀看塔尖E，測得仰角為30°，則樓房的高度為米.【答案】25【分析】畫出圖形，通過作幫助線將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題通過三角函數(shù)即可解決.【詳解】由于位于的北偏西30°方向，位于的北偏東60°方向，在的正西方向，且，之間的距離為50米，則,,,所以米.又從處觀看塔尖，測得仰角為45°，所以米.過作的垂線，垂足為（如圖），則米，，所以米，所以樓房的高度為米.【變式2】某高中高一同學(xué)成立了課外實(shí)踐數(shù)學(xué)小組，方案通過數(shù)學(xué)建模的方法來測量某人工圓形湖泊的直徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點(diǎn)處固定一旗幟，然后從A點(diǎn)沿逆時(shí)針方向圍著湖泊邊緣走到B點(diǎn)處固定一旗幟，并在紅外線角度測量儀的掛念下從B點(diǎn)逆時(shí)針走至C點(diǎn)處，此時(shí)測得∠ABC=120°，且測得BC=20米，AB=10米．(1)求該人工圓形湖泊的直徑；(2)若D為人工圓形湖泊優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)（異于A，C兩點(diǎn)），求四邊形ABCD面積的取值范圍．【答案】(1)該人工圓形湖泊的直徑為米(2)四邊形ABCD面積的取值范圍為（平方米）【分析】（1）在中，由余弦定理求得，利用正弦定理求得直徑；（2）利用三角形面積公式求得，利用四點(diǎn)共圓性質(zhì)及余弦定理，結(jié)合基本不等式求得的最大值(，)，進(jìn)而得到的最大值，從而得到四邊形ABCD面積的取值范圍.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，即，故米．設(shè)該人工圓形湖泊的半徑為R，故，所以該人工圓形湖泊的直徑為米．（2）易得，由于A，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以，設(shè)，，由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故四邊形ABCD面積的取值范圍為（平方米）．【變式3】為了測量一座底部不行到達(dá)的建筑物的高度，復(fù)興中學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下測量方案：如圖，設(shè)，分別為建筑物的最高點(diǎn)和底部.選擇一條水平基線，使得，，三點(diǎn)在同始終線上，在，兩點(diǎn)用測角儀測得的仰角分別是和，測角儀器的高度是，，由此可計(jì)算出建筑物的高度.若，，則此建筑物的高度是（答案用，表示）【答案】【分析】依據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求邊長即可.【詳解】首先：.在中，.在中，.又，所以.所以.故答案為：【題型八】與其它學(xué)問綜合問題【例1】在邊長為2的正方形中作出.直角頂點(diǎn)為的中點(diǎn).其他兩頂點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動(dòng).則的周長的取值范圍（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，進(jìn)而得到的周長，再應(yīng)用換元法及三角函數(shù)的性質(zhì)，令則，即可求范圍.【詳解】如題圖，設(shè)，由題意，所以，則，所以的周長，留意，且，令，則，所以，又，所以，解得，即周長的取值范圍為.故選：A【例2】已知，且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】依據(jù)題意畫出圖形，并利用位置關(guān)系求得，設(shè)，結(jié)合平面對(duì)量線性運(yùn)算以及余弦定理可求得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.【詳解】如圖所示：由題意得.設(shè)，則.作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接.由題可知，則，在中，由余弦定理可得；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將表達(dá)式中的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，記，再結(jié)合平面對(duì)量線性運(yùn)算以及余弦定理可求得結(jié)論.【變式1】在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)均位于拋物線上，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，若，直線的斜率為，則使成立的實(shí)數(shù)的值為．【答案】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在x軸上方，依據(jù)正弦定理可得，結(jié)合直線的傾斜角可知x軸，且直線的斜率為，設(shè)，依據(jù)斜率公式整理可得，再依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，不妨設(shè)點(diǎn)在x軸上方，取的中點(diǎn)，過分別作直線平行與x軸，分別交于點(diǎn)，由于，由正弦定理可得，設(shè)，則，則，且，可得，又由于直線的斜率為，則直線的傾斜角為，可得，，則，可得，即x軸，則，可得直線的斜率為，設(shè)，則，則，，整理可得，解得，又由于，且，可得，即，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)題中的長度和直線的傾斜角可知x軸，且直線的斜率為，進(jìn)而可得坐標(biāo)值.【變式2】已知的頂點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且與的一條漸近線垂直，記的離心率為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)雙曲線漸近線性質(zhì)以及垂直關(guān)系可得斜率關(guān)系，設(shè)，可得，所以；在中利用正弦定理以及三角恒等變換可得，，再結(jié)合雙曲線定義以及離心率表達(dá)式化簡即可得出.【詳解】如下圖所示：可知，雙曲線的漸近線方程為，不妨取漸近線，由于與漸近線垂直，所以直線的斜率為，設(shè)，可得，所以；由可得，在中利用正弦定理可得，可得，；再利用雙曲線定義可得整理可得，因此可得.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用漸近線斜率以及垂直關(guān)系得出，再由中的正弦定理得出其邊長，利用雙曲線定義可得，即可求得.【變式3】（多選）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)，，，，，，，，并按這樣的規(guī)律連續(xù)下去，則（

）A．對(duì)于任意的正整數(shù)n，B．對(duì)于任意的正整數(shù)n，為整數(shù)C．存在正整數(shù)n，三角形的面積為2025D．存在正整數(shù)n，三角形為鈍角三角形【答案】AC【分析】依據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律，應(yīng)用分類爭辯歸納總結(jié)出的坐標(biāo)，再依次推斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以對(duì)于任意的正整數(shù)n，，A對(duì)；當(dāng)，則，B錯(cuò)；由，可得，所以存在正整數(shù)n，三角形的