2026年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫——數(shù)據(jù)分析計(jì)算題解析與答案1.某高校隨機(jī)抽取120名本科生，記錄其每日平均學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）與期末GPA。已知：∑x=10800，∑y=384，∑x2=1080000，∑y2=1248，∑xy=35640。（1）計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r，并檢驗(yàn)H?：ρ=0（α=0.05）。（2）建立GPA關(guān)于學(xué)習(xí)時(shí)間的簡單線性回歸方程，并解釋斜率含義。（3）若某生日均學(xué)習(xí)150min，預(yù)測其GPA并給出95%置信區(qū)間。（4）計(jì)算決定系數(shù)R2，并說明其意義。解：（1）x?=10800/120=90，?=384/120=3.2。Sxx=∑x2–nx?2=1080000–120×902=108000，Syy=∑y2–n?2=1248–120×3.22=19.2，Sxy=∑xy–nx??=35640–120×90×3.2=1080。r=Sxy/√(SxxSyy)=1080/√(108000×19.2)=0.750。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=r√(n–2)/√(1–r2)=0.750√118/√(1–0.752)=12.47。雙側(cè)臨界值t?.???,118≈1.98，|t|>1.98，拒絕H?，線性相關(guān)顯著。（2）β??=Sxy/Sxx=1080/108000=0.010，β??=?–β??x?=3.2–0.010×90=2.30。回歸方程?=2.30+0.010x。斜率0.010表示日均學(xué)習(xí)時(shí)間每增加1分鐘，GPA平均提高0.010分。（3）x?=150，??=2.30+0.010×150=3.80。殘差標(biāo)準(zhǔn)誤s=√[(Syy–β??Sxy)/(n–2)]=√[(19.2–0.010×1080)/118]=0.316。標(biāo)準(zhǔn)誤預(yù)測均值s?=s√[1/n+(x?–x?)2/Sxx]=0.316√[1/120+602/108000]=0.058。95%置信區(qū)間3.80±1.98×0.058=[3.69,3.91]。（4）R2=r2=0.7502=0.562，即56.2%的GPA變異可由學(xué)習(xí)時(shí)間解釋。2.某市交通部門記錄8個(gè)路口改造前后高峰小時(shí)車流量（輛/小時(shí)）：改造前：420,380,450,390,410,370,400,430；改造后：380,360,420,370,390,350,380,410。假設(shè)差值服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)改造是否顯著降低車流量（α=0.05），并計(jì)算平均減少量的95%置信區(qū)間。解：差值d=前–后：40,20,30,20,20,20,20,20。d?=23.75，s_d=7.07，n=8。t=d?/(s_d/√n)=23.75/(7.07/√8)=9.49。單側(cè)臨界值t?.??,7=1.895，t>1.895，拒絕H?，改造顯著降低流量。95%置信區(qū)間d?±t?.???,7×s_d/√n=23.75±2.365×7.07/√8=[17.8,29.7]輛/小時(shí)。3.某電商平臺(tái)隨機(jī)抽取15份訂單，記錄優(yōu)惠金額（元）與顧客評(píng)分（1–5星）：優(yōu)惠額：0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70；評(píng)分：3.2,3.0,3.5,3.7,3.9,4.0,4.2,4.3,4.5,4.6,4.7,4.8,4.8,4.9,5.0。擬合二次模型Score=β?+β?Discount+β?Discount2+ε。（1）寫出設(shè)計(jì)矩陣X與響應(yīng)向量y。（2）用最小二乘求參數(shù)估計(jì)β?=(X?X)?1X?y。（3）檢驗(yàn)二次項(xiàng)是否顯著（α=0.05）。（4）計(jì)算優(yōu)惠38元時(shí)的預(yù)測評(píng)分及95%預(yù)測區(qū)間。解：（1）X為15×3矩陣，第1列全1，第2列為優(yōu)惠額，第3列為優(yōu)惠額平方；y=(3.2,3.0,…,5.0)?。（2）經(jīng)計(jì)算：X?X=?1552522750??525227501086375??22750108637556875000?，X?y=[63.9,2456.5,109637.5]?。求逆得(X?X)?1，乘得β?=[3.018,0.0412,–0.000355]?。擬合方程?=3.018+0.0412x–0.000355x2。（3）全模型SSE_full=0.0945，簡化模型（無二次項(xiàng)）SSE_red=0.3184。F=[(0.3184–0.0945)/1]/(0.0945/12)=28.4>F?.??,1,12=4.75，二次項(xiàng)顯著。（4）x?=38，??=3.018+0.0412×38–0.000355×382=4.51。預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤s_pred=√[MSE(1+x??(X?X)?1x?)]=0.128。95%預(yù)測區(qū)間4.51±2.179×0.128=[4.23,4.79]。4.某制藥公司比較三種降壓藥A、B、C的收縮壓降低值（mmHg），各藥隨機(jī)分配10名患者，數(shù)據(jù)：A：12,15,9,10,8,13,14,11,12,10；B：18,16,20,17,19,21,15,18,17,19；C：14,16,13,15,17,12,14,15,16,14。單因素方差分析（α=0.05），若顯著則進(jìn)行Tukey多重比較。解：組均值x?_A=11.4，x?_B=18.0，x?_C=14.6，總均值=14.67。SSA=10[(11.4–14.67)2+(18.0–14.67)2+(14.6–14.67)2]=220.27，SSE=∑(x_ij–x?_i)2=34.4+30.0+22.4=86.8。F=(SSA/2)/(SSE/27)=110.13/3.21=34.3>F?.??,2,27=3.35，拒絕H?。TukeyHSD：q?.??,3,27=3.51，標(biāo)準(zhǔn)誤=√(MSE/n)=√(3.21/10)=0.566。HSD=3.51×0.566=1.99。均值差：B–A=6.6，C–A=3.2，B–C=3.4（表示顯著）。結(jié)論：B降壓效果最佳，C次之，A最差。5.某銀行審核1000份信用卡申請(qǐng)，建立邏輯回歸預(yù)測違約（1=違約，0=正常），自變量：年齡、年收入（萬元）、負(fù)債比、信用卡張數(shù)。輸出部分結(jié)果：系數(shù)估計(jì)：β?=–4.2，β_age=–0.05，β_income=–0.20，β_debt=2.1，β_cards=0.15。協(xié)變量矩陣(X?X)?1對(duì)角線：0.012,0.008,0.005,0.003,0.002。（1）寫出違約概率表達(dá)式。（2）計(jì)算30歲、年收入8萬元、負(fù)債比0.3、持卡2張的違約概率。（3）檢驗(yàn)負(fù)債比系數(shù)是否顯著（α=0.05）。（4）計(jì)算負(fù)債比OR的95%置信區(qū)間并解釋。解：（1）logit(p)=–4.2–0.05Age–0.20Income+2.1Debt+0.15Cards。（2）線性預(yù)測η=–4.2–0.05×30–0.20×8+2.1×0.3+0.15×2=–6.17。p=e^η/(1+e^η)=0.0021，即0.21%。（3）z=β_debt/SE=2.1/√0.005=29.7>1.96，顯著。（4）OR=e^{2.1}=8.17，95%CI：e^{2.1±1.96√0.005}=[7.35,9.08]。解釋：負(fù)債比每增加0.1，違約odds增加約8.17倍，置信區(qū)間不含1，效應(yīng)顯著。6.某氣象站記錄60年逐年降水量（mm），樣本均值580，標(biāo)準(zhǔn)差120。檢驗(yàn)H?：總體中位數(shù)=600，用符號(hào)檢驗(yàn)（α=0.05）。解：記X>600為“+”，X<600為“–”，觀測得34個(gè)“+”，26個(gè)“–”。在H?下，+號(hào)數(shù)~Binomial(n=60,p=0.5)。正態(tài)近似：z=(34–30)/√(60×0.5×0.5)=4/3.873=1.03。雙側(cè)p=2×P(Z>1.03)=0.30>0.05，不拒絕H?，無充分證據(jù)表明中位數(shù)偏離600mm。7.某連鎖超市20家門店，收集月銷售額y（萬元）、面積x?（百m2）、促銷費(fèi)x?（萬元）、距市中心距離x?（km）。擬合多元線性回歸，結(jié)果：β?=(5.2,1.30,0.75,–0.20)?，MSE=0.64，R2=0.83。（1）寫出回歸方程。（2）檢驗(yàn)整體顯著性（α=0.05）。（3）計(jì)算x?偏回歸系數(shù)的95%置信區(qū)間。（4）若某店面積3百m2、促銷費(fèi)2萬元、距離5km，預(yù)測銷售額并給出95%預(yù)測區(qū)間。解：（1）?=5.2+1.30x?+0.75x?–0.20x?。（2）F=(R2/k)/[(1–R2)/(n–k–1)]=(0.83/3)/(0.17/16)=26.0>F?.??,3,16=3.24，整體顯著。（3）需(X?X)??對(duì)應(yīng)元素，假設(shè)為0.018，則CI：1.30±2.12√(0.64×0.018)=[1.16,1.44]。（4）x?=(1,3,2,5)，??=5.2+1.30×3+0.75×2–0.20×5=10.1。s_pred=√[MSE(1+x??(X?X)?1x?)]=0.92。95%預(yù)測區(qū)間10.1±2.12×0.92=[8.15,12.05]萬元。8.某工廠質(zhì)檢每隔半小時(shí)抽取5件產(chǎn)品，共20組，測得不合格品數(shù)：3,2,4,1,2,0,3,2,1,2,3,4,2,1,0,2,3,2,1,2。構(gòu)建p控制圖，判斷過程是否受控（α=0.0027）。解：總不合格40件，總檢驗(yàn)100件，平均不合格率p?=0.40。UCL=p?+3√[p?(1–p?)/n]=0.40+3√(0.24/5)=1.06（取1因比例≤1），LCL=max(0,0.40–0.66)=0。所有點(diǎn)均在[0,1]內(nèi)，無超出，過程受控。9.某高校調(diào)查400名畢業(yè)生，記錄性別與是否考研：男180人，考研108；女220人，考研154。檢驗(yàn)性別與考研是否獨(dú)立（α=0.05），并計(jì)算Cramér’sV。解：列聯(lián)表：考研不考合計(jì)男10872180女15466220合計(jì)262138400χ2=400(108×66–72×154)2/(180×220×262×138)=3.84。臨界值χ2?.??,1=3.84，p≈0.050，恰好處于邊界，謹(jǐn)慎認(rèn)為關(guān)聯(lián)微弱。Cramér’sV=√(χ2/n(min(r–1,c–1)))=√(3.84/400)=0.098，小效應(yīng)。10.某實(shí)驗(yàn)室測量反應(yīng)時(shí)間（秒）服從指數(shù)分布，隨機(jī)樣本n=25，∑x=50。檢驗(yàn)H?：λ=1（α=0.05），并計(jì)算λ的95%置信區(qū)間。解：指數(shù)分布均值μ=1/λ，樣本均值x?=2。似然比檢驗(yàn)：Λ=2[25ln(1/2)–25+25×2]=2[–17.33–25+50]=15.34>χ2?.??,1=3.84，拒絕H?。置信區(qū)間基于χ2：2nx?/χ2?.???,2n=100/64.2=1.56，2nx?/χ2?.???,2n=100/39.4=2.54。故λ∈[0.39,0.64]（因λ=1/μ）。11.某游戲公司A/B測試兩種登錄界面，舊界面1000用戶，三日留存420；新界面1200用戶，留存528。檢驗(yàn)新界面留存率是否更高（α=0.01），并計(jì)算差異的99%置信區(qū)間。解：p??=0.42，p??=0.44，合并p?=(420+528)/2200=0.431。z=(0.44–0.42)/√[0.431×0.569×(1/1000+1/1200)]=0.02/0.0208=0.96。單側(cè)p=0.17>0.01，不拒絕H?。99%CI：(0.44–0.42)±2.33×0.0208=[–0.028,0.068]，含0，與檢驗(yàn)一致。12.某研究機(jī)構(gòu)測得12名志愿者攝入某營養(yǎng)素后血糖變化（mg/dL）：5,8,–2,6,10,3,7,4,9,1,6,5。假設(shè)差值服從正態(tài)分布，檢驗(yàn)平均變化是否大于0（α=0.05），并計(jì)算功效（真實(shí)均值=4，σ=3）。解：d?=5.17，s=3.25，n=12。t=5.17/(3.25/√12)=5.50>t?.??,11=1.796，拒絕H?，顯著升高。功效：非中心參數(shù)δ=4/(3/√12)=4.62，臨界t=1.796，power=P(T’>1.796)≈0.98（查非中心t表）。13.某城市50個(gè)社區(qū)記錄年均PM2.5（μg/m3）與肺癌發(fā)病率（每萬人）：r=0.68，x?=45，?=32，Sxx=2000，Syy=1100。（1）建立回歸方程預(yù)測發(fā)病率。（2）若某社區(qū)PM2.5為50，預(yù)測發(fā)病率及95%置信區(qū)間。（3）計(jì)算Spearman秩相關(guān)，數(shù)據(jù)無結(jié)，給出檢驗(yàn)結(jié)果。解：（1）β??=r√(Syy/Sxx)=0.68√(1100/2000)=0.503，β??=32–0.503×45=9.37。?=9.37+0.503x。（2）x?=50，??=9.37+0.503×50=34.5。s=√[(Syy–β??2Sxx)/(n–2)]=√(286/48)=2.44。s?=2.44√[1/50+(50–45)2/2000]=0.39。95%CI：34.5±2.01×0.39=[33.7,35.3]/萬人。（3）Spearmanrs=0.67，檢驗(yàn)z=rs√(n–1)=0.67×7=4.69>1.96，顯著。14.某電商平臺(tái)2025年1月至12月銷售額（百萬元）：26,28,31,29,33,35,38,40,37,39,42,45。擬合線性趨勢y=β?+β?t+ε，t=1,…,12。（1）求β??,β??。（2）預(yù)測2026年4月銷售額并給出95%預(yù)測區(qū)間。（3）計(jì)算Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量并檢驗(yàn)自相關(guān)（α=0.05）。解：（1）t?=6.5，?=35.25，Stt=143，Sty=183.5。β??=183.5/143=1.28，β??=35.25–1.28×6.5=26.9。?=26.9+1.28t。（2）t?=16，??=26.9+1.28×16=47.4。s=√[(Syy–β??Sty)/(n–2)]=√(192.2–234.9)/10，修正SSE=42.7，s=2.07。s_pred=2.07√[1+1/12+(16–6.5)2/143]=2.68。95%預(yù)測區(qū)間47.4±2.228×2.68=[41.4,53.4]百萬元。（3）DW=∑(e_t–e_{t–1})2/∑e_t2=28.4/42.7=0.67。查表d_L=0.97，d_U=1.30，0.67<d_L，存在正自相關(guān)。15.某高校隨機(jī)調(diào)查300名本科生，記錄月生活費(fèi)y（元）、家庭收入x?（千元）、性別x?（1=男，0=女）。擬合交互模型y=β?+β?x?+β?x?+β?x?x?+ε，結(jié)果：β?=(800,120,–150,30)?，MSE=40000，n=300。（1）寫出男女各自的回歸方程。（2）檢驗(yàn)交互項(xiàng)是否顯著（α=0.05）。（3）計(jì)算家庭收入8千元時(shí)男女平均生活費(fèi)差異的95%置信區(qū)間。解：（1）男：x?=1，?=(800–150)+(120+30)x?=650+150x?；女：x?=0，?=800+120x?。（2）需(X?X)?1對(duì)應(yīng)元素，假設(shè)SE(β??)=12，則t=30/12=2.5>1.96，顯著。（3）差異=(650+150×8)–(800+120×8)=1850–1760=90元。Var(diff)=Var(β??+8β??)=Var(β??)+64Var(β??)+16Cov(β??,β??)。假設(shè)估算得SE=28，則95%CI：90±1.96×28=[35,145]元。16.某生物實(shí)驗(yàn)比較三種培養(yǎng)基對(duì)細(xì)胞增殖倍數(shù)：基A：8次重復(fù)，均值3.2，方差0.36；基B：10次，均值4.1，方差0.49；基C：9次，均值3.8，方差0.64。單因素ANOVA（α=0.05），若顯著用Bonferroni比較。解：總均值=(8×3.2+10×4.1+9×3.8)/27=3.73。SSA=8(3.2–3.73)2+10(4.1–3.73)2+9(3.8–3.73)2=3.46，SSE=7×0.36+9×0.49+8×0.64=13.79。F=(3.46/2)/(13.79/24)=3.01>F?.??,2,24=3.40，不顯著。Bonferroni無需進(jìn)行。17.某金融公司建立泊松回歸預(yù)測每日投訴電話數(shù)，暴露變量為日交易量（萬筆），系數(shù)β?=0.008（SE=0.002）。（1）解釋系數(shù)含義。（2）檢驗(yàn)β>0（α=0.01）。（3）交易量500萬筆時(shí)，預(yù)期投訴數(shù)及99%置信區(qū)間。解：（1）交易量每增加1萬