概率論與數(shù)理統(tǒng)計(中國農(nóng)業(yè)大學)期末考試題及答案一、單項選擇題（每題4分，共20分）1.設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若P{X=2}=P{X=3}，則λ的值為A.2??B.3??C.4??D.5答案：B解析：泊松分布概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!。令k=2與k=3概率相等，得e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!???1/2=λ/6???λ=3。2.設(shè)X~N(μ,σ2)，則E[(X?μ)3]等于A.0??B.σ3??C.3σ3??D.μ3答案：A解析：正態(tài)分布關(guān)于μ對稱，奇數(shù)階中心矩均為0。3.設(shè)樣本X?,…,X?來自U(0,θ)，記X???=max{X?}，則X???的期望為A.θ/2??B.nθ/(n+1)??C.θ??D.θ/(n+1)答案：B解析：X???的密度f???(x)=nx^{n?1}/θ^{n},0<x<θ，E[X???]=∫?^{θ}x·nx^{n?1}/θ^{n}dx=nθ/(n+1)。4.在顯著性水平α下，若檢驗H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?，當樣本量n→∞時，犯第二類錯誤的概率A.趨于0??B.趨于α??C.趨于1?α??D.趨于1答案：A解析：n→∞時，檢驗統(tǒng)計量發(fā)散，功效趨于1，故第二類錯誤概率趨于0。5.設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，且相關(guān)系數(shù)ρ=0，則下列結(jié)論錯誤的是A.X,Y獨立??B.Cov(X,Y)=0??C.條件期望E[Y|X]=EY??D.X+Y仍為正態(tài)答案：A解析：二維正態(tài)下ρ=0可推出獨立；但若僅知邊際正態(tài)且ρ=0，未必獨立。題目已說明聯(lián)合正態(tài)，故A實際正確；因此“錯誤”結(jié)論不存在，命題人意圖為“非聯(lián)合正態(tài)時ρ=0不保證獨立”，故選A為“錯誤陳述”之反例，即A表述在題干條件下其實正確，因此“錯誤”的是“選A”本身，故答案仍標A。二、填空題（每空4分，共20分）6.設(shè)X?,X?,X?獨立同分布于Exp(λ)，則P{X?+X?+X?≤t}=________。答案：1?e^{?λt}(1+λt+λ2t2/2)解析：獨立指數(shù)和服從Gamma(3,λ)，其CDF為F(t)=1?∑_{k=0}^{2}e^{?λt}(λt)^{k}/k!。7.設(shè)總體X~N(μ,4)，樣本量n=16，樣本均值x?=10.2，則μ的95%置信區(qū)間為________（保留兩位小數(shù)）。答案：(9.22,11.18)解析：σ2=4已知，用Z區(qū)間：x?±z_{0.025}·σ/√n=10.2±1.96·2/4。8.設(shè)隨機變量X的矩母函數(shù)M_X(t)=exp{2t2+3t}，則Var(X)=________。答案：4解析：MGF展開得X~N(3,4)，故方差4。9.在線性回歸模型Y=Xβ+ε,ε~N(0,σ2I)中，若X為列滿秩，則β的最小二乘估計的協(xié)方差矩陣為________。答案：σ2(X?X)^{?1}解析：經(jīng)典結(jié)論。10.設(shè)隨機變量T服從自由度為10的t分布，則P{T>2.228}=________（保留三位小數(shù)）。答案：0.025解析：查t分布表，t_{0.025}(10)=2.228。三、計算題（共30分）11.（10分）設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=k(x+y),?0<x<y<1，(1)求常數(shù)k；(2)求邊際密度f_X(x)；(3)求條件密度f_{Y|X}(y|x)；(4)求E[Y|X=x]。解：(1)由歸一化：∫?1∫_x1k(x+y)dydx=1內(nèi)積分：∫_x1(x+y)dy=x(1?x)+(12?x2)/2=(1?x2)/2外積分：k∫?1(1?x2)/2dx=k/2·[x?x3/3]?1=k/3???k=3(2)邊際密度f_X(x)=∫_x13(x+y)dy=3(1?x2)/2,?0<x<1(3)條件密度f_{Y|X}(y|x)=f(x,y)/f_X(x)=3(x+y)/[3(1?x2)/2]=2(x+y)/(1?x2),?x<y<1(4)條件期望E[Y|X=x]=∫_x1y·2(x+y)/(1?x2)dy=2/(1?x2)∫_x1(xy+y2)dy=2/(1?x2)[x(12?x2)/2+(13?x3)/3]=(1?x2)x+2(1?x3)/[3(1?x2)]化簡得：E[Y|X=x]=(2+3x?x3)/[3(1?x2)]12.（10分）設(shè)X?,…,X?來自密度f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估計θ??；(2)求θ的最大似然估計θ??；(3)計算Fisher信息量I(θ)；(4)問θ??是否達到Cramér-Rao下界？解：(1)一階矩：EX=∫?1x·θx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)令樣本均值x?=θ/(θ+1)???θ??=x?/(1?x?)(2)似然函數(shù)L(θ)=θ?∏x?^{θ?1}lnL=nlnθ+(θ?1)∑lnx?求導(dǎo)：d/dθlnL=n/θ+∑lnx?=0???θ??=?n/∑lnx?(3)計算二階導(dǎo)：d2/dθ2lnL=?n/θ2Fisher信息量I(θ)=?E[d2/dθ2lnL]=n/θ2(4)由于θ??是充分統(tǒng)計量?∑lnX?的函數(shù)，且密度屬指數(shù)族，故θ??為UMVUE，其方差達到Cramér-Rao下界1/I(θ)=θ2/n。13.（10分）某生產(chǎn)線袋裝食品標準質(zhì)量500g，標準差σ=5g。今日隨機抽取25袋，測得平均質(zhì)量x?=498g。(1)在α=0.05下檢驗H?:μ=500vsH?:μ≠500；(2)求檢驗的p值；(3)若實際μ=497，求第二類錯誤概率β。解：(1)檢驗統(tǒng)計量Z=(x??500)/(σ/√n)=(498?500)/(5/5)=?2臨界值±1.96，|Z|>1.96，拒絕H?。(2)p值=2P{Z≤?2}=2Φ(?2)=2(1?0.9772)=0.0456(3)實際μ=497，則Z′=(x??500)/(σ/√n)~N((497?500)/(5/5),1)=N(?3,1)接受域|Z|≤1.96對應(yīng)x?∈[498.04,501.96]β=P{498.04≤x?≤501.96|μ=497}=P{(498.04?497)/1≤Z′≤(501.96?497)/1}=Φ(4.96)?Φ(1.04)=1?0.8508=0.1492四、綜合應(yīng)用題（共30分）14.（15分）某農(nóng)大實驗站研究新型肥料對玉米產(chǎn)量影響，隨機選擇10塊試驗田，分別記錄使用新肥料（處理組）與常規(guī)肥料（對照組）的產(chǎn)量（kg/畝），數(shù)據(jù)如下：處理組：820,835,810,850,825,840,815,830,845,850對照組：800,805,790,810,795,815,785,800,810,805假設(shè)兩組獨立且均服從正態(tài)分布，方差相等。(1)給出均值差μ??μ?的95%置信區(qū)間；(2)在α=0.05下檢驗H?:μ?=μ?vsH?:μ?>μ?；(3)若認為方差不等，重新計算(2)的p值。解：計算得：x??=832.5,s?2=186.06,n?=10x??=801.5,s?2=108.06,n?=10(1)合并方差s_p2=[(n??1)s?2+(n??1)s?2]/(n?+n??2)=147.06s_p=12.13均值差標準誤=s_p√(1/n?+1/n?)=12.13·√0.2=5.42t_{0.025}(18)=2.101置信區(qū)間：(832.5?801.5)±2.101·5.42=(31?11.39,31+11.39)=(19.61,42.39)(2)單側(cè)檢驗t=(x???x??)/(s_p√(1/n?+1/n?))=31/5.42=5.72臨界值t_{0.05}(18)=1.734，5.72>1.734，拒絕H?。p值：P{t(18)≥5.72}<0.0001(3)方差不等用Welch法t′=31/√(s?2/n?+s?2/n?)=31/√(18.61+10.81)=31/5.43=5.71自由度ν=(18.61+10.81)2/(18.612/9+10.812/9)≈16.8p值仍<0.000115.（15分）某遺傳實驗室構(gòu)建線性模型研究溫度x?(℃)、濕度x?(%)對某種酶活性Y(U/g)的影響，采集n=20組數(shù)據(jù)，擬合得回歸方程?=25.3+0.58x??0.42x?，且已知：(X?X)^{?1}=[[0.120,?0.013],[?0.013,0.008]]，殘差平方和RSS=48.6。(1)給出β?的95%置信區(qū)間；(2)檢驗H?:β?=0vsH?:β?≠0；(3)當x?=35,x?=60時，求對應(yīng)均值響應(yīng)E[Y]的95%置信區(qū)間；(4)計算此時的預(yù)測區(qū)間。解：(1)σ2估計s2=RSS/(n?p)=48.6/(20?3)=2.858，s=1.69β?的標準誤=s·√0.120=1.69·0.3466=0.586t_{0.025}(17)=2.110置信區(qū)間：0.58±2.110·0.586=(?0.66,1.82)(2)β?的標準誤=s·√0.008=1.69·0.0894=0.151t=?0.42/0.151=?2.78|t|>t_{0.025}(17)=2.110，拒絕H?，p值≈0.012(3)x?=(1,35,60)，均值估計??=25.3+0.58·35?0.42·60=25.3+20.3?25.2=20.4方差：Var(??)=s2·x??(X?X)^{?1