2026年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試時(shí)間序列分析核心考點(diǎn)試題卷及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.對(duì)平穩(wěn)序列Xt=0.7Xt-1+εt，εt～WN(0,σ2)，其自相關(guān)函數(shù)ρk滿足A.ρk=0.7k??B.ρk=0.7|k|??C.ρk=0.3k??D.ρk=0答案：B解析：AR(1)的ACF為ρk=φ|k|，φ=0.7，故ρk=0.7|k|。2.若某序列經(jīng)一階差分后呈現(xiàn)MA(1)結(jié)構(gòu)，則原序列最可能為A.ARIMA(0,1,1)??B.ARIMA(1,1,0)??C.ARIMA(1,0,1)??D.ARIMA(0,0,1)答案：A解析：差分一次后MA(1)?原序列I(1)且MA部分階數(shù)為1，即ARIMA(0,1,1)。3.對(duì)樣本量n=120的殘差序列，Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量Q(12)=19.8，在α=0.05下A.拒絕原假設(shè)，殘差非白噪聲??B.不拒絕，殘差為白噪聲??C.無(wú)法判斷??D.需用ARCH檢驗(yàn)答案：B解析：χ20.05(12)=21.03，19.8<21.03，不拒絕，殘差無(wú)顯著自相關(guān)。4.指數(shù)平滑系數(shù)α=0.15，對(duì)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)而言，權(quán)重衰減到5%所需的期數(shù)k約為A.15??B.19??C.25??D.30答案：B解析：(1-α)k≤0.05?k≥ln0.05/ln0.85≈19.1。5.對(duì)季節(jié)周期s=12的SARIMA(0,1,1)(0,1,1)??模型，其季節(jié)MA部分的特征方程為A.1+θ1B12=0??B.1+Θ1B12=0??C.1-Θ1B12=0??D.1-θ1B=0答案：B解析：季節(jié)MA(1)??的算子為1+Θ1B12。6.若某序列的PACF在滯后3后截尾，ACF拖尾，則初步可判為A.AR(3)??B.MA(3)??C.ARMA(3,3)??D.ARIMA(3,0,0)答案：A解析：PACF截尾?AR型，截尾階即AR階。7.對(duì)ARCH(1)模型σt2=ω+α1εt-12，其無(wú)條件方差存在的充要條件是A.α1<1??B.α1<0.5??C.α1<2??D.ω>0答案：A解析：無(wú)條件方差Var(εt)=ω/(1-α1)，需α1<1。8.用BIC選階時(shí)，若真實(shí)階為(1,0,1)，樣本n=200，則BIC傾向于A.懲罰強(qiáng)于AIC，可能選更低階??B.懲罰弱于AIC??C.與AIC相同??D.僅看殘差平方和答案：A解析：BIC對(duì)參數(shù)懲罰ln(n)倍，樣本大時(shí)更嚴(yán)苛。9.對(duì)Xt=10+0.5t+εt，εt～WN(0,1)，其一階差分序列的均值為A.10??B.0.5??C.0??D.1答案：B解析：ΔXt=0.5+Δεt，均值0.5。10.若某序列的譜密度在頻率π/6處出現(xiàn)尖峰，則其周期約為A.6??B.12??C.3??D.24答案：B解析：周期T=2π/(π/6)=12。二、填空題（每空3分，共15分）11.對(duì)AR(2)Xt=1.2Xt-1-0.35Xt-1+εt，其特征方程為_(kāi)_______，平穩(wěn)域要求特征根模________1。答案：1-1.2z+0.35z2=0；小于解析：寫(xiě)成1-φ1z-φ2z2=0，平穩(wěn)當(dāng)根模>1即|z|>1。12.已知樣本ACF在滯后1為0.42，滯后2為0.18，用Yule-Walker估計(jì)AR(2)的φ?1≈________，φ?2≈________。答案：0.42，-0.03解析：解ρ1=φ1+φ2ρ1ρ2=φ1ρ1+φ2?φ?1=(ρ1(1-ρ2))/(1-ρ12)=0.42(1-0.18)/(1-0.422)=0.42φ?2=ρ2-φ?1ρ1=0.18-0.42×0.42≈-0.03。13.對(duì)SARIMA(1,0,0)(0,0,1)?模型，其季節(jié)MA系數(shù)Θ1=-0.8，則季節(jié)部分可逆性要求|Θ1|________1。答案：小于解析：可逆當(dāng)根1+Θ1B4=0的模>1，即|Θ1|<1。14.若某序列的KPSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量KPSS=0.63，臨界值0.463(5%)，則結(jié)論________原假設(shè)。答案：拒絕解析：KPSS>臨界值，拒絕“序列平穩(wěn)”的原假設(shè)，認(rèn)為存在單位根。15.對(duì)Holt-Winters加法模型，平滑方程含水平、趨勢(shì)、季節(jié)三個(gè)參數(shù)，其更新順序?yàn)開(kāi)_______、________、________。答案：水平、趨勢(shì)、季節(jié)解析：先更新水平lt，再趨勢(shì)bt，最后季節(jié)st。三、計(jì)算與推導(dǎo)題（共35分）16.（10分）給定AR(1)Xt=0.8Xt-1+εt，εt～WN(0,4)，n=100，樣本均值X?=3.2。(1)求Xt的無(wú)條件均值μ與方差γ0。(2)構(gòu)造μ的95%置信區(qū)間。(3)若觀測(cè)到X100=4.5，求X101的一步最優(yōu)預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)方差。答案與解析：(1)μ=0（無(wú)常數(shù)項(xiàng)），γ0=σ2/(1-φ2)=4/(1-0.64)=11.11。(2)樣本均值方差Var(X?)=γ0/n·[1+2∑k=1n-1(1-k/n)ρk]≈γ0/n·(1+φ)/(1-φ)=11.11/100·1.8/0.2=1，標(biāo)準(zhǔn)誤≈1，95%CI：3.2±1.96×1→(1.24,5.16)。(3)最優(yōu)預(yù)測(cè)X?101|100=0.8×4.5=3.6，預(yù)測(cè)誤差方差=σ2=4。17.（10分）對(duì)某序列擬合MA(2)Xt=εt+0.6εt-1+0.2εt-2，εt～WN(0,1)。(1)計(jì)算ρ1,ρ2。(2)給出該MA(2)的逆轉(zhuǎn)形式（用ψ權(quán)重表示）。(3)若觀測(cè)到ε?100=1.2,ε?99=-0.8，求X?101|100。答案與解析：(1)γ0=1+0.62+0.22=1.4，γ1=0.6+0.6×0.2=0.72，γ2=0.2，ρ1=0.72/1.4≈0.514，ρ2=0.2/1.4≈0.143。(2)逆轉(zhuǎn)形式：εt=∑j=0∞ψjXt-j，其中ψ0=1，ψ1=-0.6，ψ2=-0.2+0.62=0.16，遞推ψj=-θ1ψj-1-θ2ψj-2(j≥2)。(3)X?101|100=ε?101+0.6ε?100+0.2ε?99=0+0.6×1.2+0.2×(-0.8)=0.56。18.（15分）某零售公司月度銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元）2018.1-2025.12共96期，經(jīng)對(duì)數(shù)變換后記為yt。(1)用R輸出得Δ12Δyt的ACF與PACF如下：滯后1:ACF=-0.52,PACF=-0.52；滯后12:ACF=0.81,PACF=0.77；其余均在±0.15內(nèi)。據(jù)此寫(xiě)出候選SARIMA模型結(jié)構(gòu)（含階數(shù)與季節(jié)階）。(2)估計(jì)得模型(1-B)(1-B12)yt=(1-0.45B)(1-0.78B12)εt，σ?2=0.028，寫(xiě)出其展開(kāi)式，并解釋“季節(jié)MA”作用。(3)用該模型預(yù)測(cè)2026年1-3月對(duì)數(shù)銷(xiāo)售額，已知y96=5.82,y84=5.65,ε?96=-0.04,ε?84=0.02，求y?97,y?98,y?99及對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)售額預(yù)測(cè)（取指數(shù)）。答案與解析：(1)ΔΔ12呈現(xiàn)滯后12顯著?季節(jié)差分已做，ACF滯后12截尾?季節(jié)MA(1)，PACF滯后12截尾?季節(jié)AR(1)亦可，但ACF更突出，故先選SARIMA(0,1,1)(0,1,1)??。(2)展開(kāi)：yt-yt-1-yt-12+yt-13=εt-0.45εt-1-0.78εt-12+0.45×0.78εt-13。季節(jié)MA系數(shù)0.78捕捉年度慣性：若去年同月正沖擊，今年同月仍傾向正。(3)遞推：y?97=yt-1+yt-12-yt-13-0.45ε?96-0.78ε?85+0.45×0.78ε?84，其中ε?85需用反向遞推，近似取0，y?97=5.82+5.65-5.53-0.45×(-0.04)-0.78×0.02≈5.94，y?98=y?97+yt-11-yt-12-0.45ε?97-0.78ε?86，ε?97=y97-y?97未知，近似用0，y?98≈5.94+5.70-5.65=5.99，y?99≈6.04，銷(xiāo)售額預(yù)測(cè)：exp(5.94)≈380萬(wàn)元，exp(5.99)≈399萬(wàn)元，exp(6.04)≈419萬(wàn)元。四、綜合建模題（共30分）19.（30分）數(shù)據(jù)：2010-2025年某城市日平均氣溫（n=5844），經(jīng)移除閏日得n=5760。任務(wù)：(1)給出完整建模流程（圖示、檢驗(yàn)、診斷）。(2)寫(xiě)出最終模型數(shù)學(xué)表達(dá)式并解釋參數(shù)。(3)給出2026年1月1-7日的逐日預(yù)測(cè)區(qū)間（α=0.05）。(4)討論“全球變暖”在模型中的體現(xiàn)。答案與解析：(1)流程：Step1繪圖：原始序列呈明顯年周期+緩慢上升。Step2STL分解：趨勢(shì)項(xiàng)斜率0.0023℃/日，季節(jié)幅值±11.5℃。Step3單位根：ADF=-2.1，不拒絕；KPSS=1.88，拒絕平穩(wěn)?I(1)。Step4季節(jié)單位根：HEGY檢驗(yàn)π2統(tǒng)計(jì)量=-3.4，拒絕季節(jié)單位根?無(wú)季節(jié)單根。Step5差分：ΔΔ365，得平穩(wěn)序列zt。Step6ACF/PACF：滯后1-3顯著，滯后365處ACF=0.42，PACF=0.38?SARMA結(jié)構(gòu)。Step7候選：SARIMA(3,1,0)(1,0,1)???與(2,1,1)(0,0,1)???比較，BIC選后者。Step8估計(jì)：(1-φ1B-φ2B2)(1-Φ1B365)zt=(1+θ1B)(1+Θ1B365)εt，φ?1=1.21(0.02),φ?2=-0.37(0.02),Φ?1=0.41(0.03),θ?1=-0.54(0.02),Θ?1=-0.68(0.02)，σ?2=0.81。Step9殘差：Q(30)=34.7，p=0.22，無(wú)自相關(guān)；ARCH(5)LM=6.1，p=0.30，無(wú)異方差。Step10正態(tài)：Jarque-Bera=2.3，p=0.32，接受。(2)模型：(1-1.21B+0.37B2)(1-0.41B365)ΔΔ365Tt=(1-0.54B)(1-0.68B365)εt，含義：短期動(dòng)態(tài)由AR(2)捕捉，年度慣性由SAR(1)反映，MA與季節(jié)MA消除短期與年度噪聲。(3)預(yù)測(cè)：給定T5760=8.2℃，z?5760=0.02，ε?5760=-0.3，ε?5395=0.1，遞推7步，得點(diǎn)預(yù)測(cè)T?5761…T?5767，預(yù)測(cè)方差隨步長(zhǎng)增加，σh