概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末考試試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共40分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，則P(X=2|X≥1)等于A.λ2e?λ/(2(1?e?λ))B.λ2e?λ/2C.λ2e?λ/(1?e?λ)D.λ2e?λ/(2(1+e?λ))答案：A解析：P(X=2|X≥1)=P(X=2)/P(X≥1)=λ2e?λ/2!÷(1?P(X=0))=λ2e?λ/(2(1?e?λ))。2.設(shè)X~N(0,1)，Y~N(0,4)且獨(dú)立，則E(|X+Y|)等于A.√(5/π)B.√(10/π)C.√(2/π)D.√(8/π)答案：B解析：X+Y~N(0,5)，若Z~N(0,σ2)，則E|Z|=σ√(2/π)，故E|X+Y|=√5·√(2/π)=√(10/π)。3.設(shè)樣本X?,…,X?來(lái)自U(θ,θ+1)，則θ的矩估計(jì)量為A.X??1/2B.X?+1/2C.X??1D.X?答案：A解析：E(X)=θ+1/2，令X?=θ+1/2，解得θ?=X??1/2。4.設(shè)X?,…,X?獨(dú)立同分布于Exp(λ)，則λ的極大似然估計(jì)量為A.1/X?B.X?C.n/∑X?D.∑X?/n答案：C解析：似然函數(shù)L(λ)=λ?e^(?λ∑X?)，對(duì)λ求導(dǎo)得n/λ?∑X?=0，故λ?=n/∑X?=1/X?。5.設(shè)X,Y獨(dú)立同分布于N(μ,σ2)，則Cov(X+Y,X?Y)等于A.0B.σ2C.2σ2D.?σ2答案：A解析：Cov(X+Y,X?Y)=Var(X)?Var(Y)=σ2?σ2=0。6.設(shè)X~Bin(n,p)，若n→∞,p→0且np→λ，則下列正確的是A.X近似Poisson(λ)B.X近似N(λ,λ)C.X近似Exp(λ)D.X近似χ2(λ)答案：A解析：泊松定理：二項(xiàng)分布在稀有事件情形下收斂于泊松分布。7.設(shè)X?,…,X?來(lái)自N(μ,1)，檢驗(yàn)H?:μ=0vsH?:μ>0，若拒絕域?yàn)閄?>c，則當(dāng)真實(shí)μ=0.5時(shí)，第二類(lèi)錯(cuò)誤概率隨n增大而A.增大B.減小C.不變D.先增后減答案：B解析：第二類(lèi)錯(cuò)誤概率β=Φ(c√n?0.5√n)，n增大則β減小。8.設(shè)X,Y聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)=2,0≤x≤y≤1，則P(Y≤0.5|X=0.2)等于A.0.5B.0.6C.0.75D.0.8答案：C解析：條件密度f(wàn)_{Y|X}(y|0.2)=1/(1?0.2)=1.25,0.2≤y≤1，故P(Y≤0.5|X=0.2)=∫_{0.2}^{0.5}1.25dy=0.75。9.設(shè)X?,…,X?獨(dú)立同分布于Bernoulli(p)，則Var(X?)等于A.p(1?p)/nB.p(1?p)C.p/nD.(1?p)/n答案：A解析：Var(X?)=Var(X?)/n=p(1?p)/n。10.設(shè)X~N(0,1)，則E(X?)等于A.1B.2C.3D.4答案：C解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)四階矩為3。二、填空題（每空5分，共30分）11.設(shè)X~Geo(p)，則P(X>k)=________。答案：(1?p)^k解析：P(X>k)=∑_{m=k+1}^∞p(1?p)^{m?1}=(1?p)^k。12.設(shè)X,Y獨(dú)立，Var(X)=2,Var(Y)=3，則Var(2X?3Y+4)=________。答案：26解析：Var(2X?3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=8+27=35，常數(shù)不影響方差。13.設(shè)X?,…,X?來(lái)自N(μ,σ2)，則(n?1)S2/σ2服從________分布。答案：χ2(n?1)解析：樣本方差與卡方分布的經(jīng)典結(jié)論。14.設(shè)X~Poisson(λ)，則其概率母函數(shù)G_X(s)=________。答案：e^{λ(s?1)}解析：G_X(s)=E(s^X)=∑_{k=0}^∞s^kλ^ke^{?λ}/k!=e^{λ(s?1)}。15.設(shè)X,Y聯(lián)合密度f(wàn)(x,y)=e^{?y},0<x<y<∞，則E(X)=________。答案：1解析：E(X)=∫_0^∞∫_0^yxe^{?y}dxdy=∫_0^∞e^{?y}y2/2dy=Γ(3)/2=1。16.設(shè)X?,…,X?來(lái)自U(0,θ)，則θ的UMVUE為_(kāi)_______。答案：(n+1)X_{(n)}/n解析：次序統(tǒng)計(jì)量X_{(n)}為充分完備統(tǒng)計(jì)量，修正無(wú)偏得UMVUE。三、解答題（共80分）17.（15分）設(shè)X,Y獨(dú)立同分布于Exp(λ)，令Z=X+Y，W=X/(X+Y)。(1)求(Z,W)的聯(lián)合密度；(2)證明W~U(0,1)且與Z獨(dú)立。解：(1)變換：x=zw,y=z(1?w)，雅可比|J|=z。聯(lián)合密度f(wàn)_{X,Y}(x,y)=λ2e^{?λ(x+y)}，故f_{Z,W}(z,w)=λ2e^{?λz}·z,z>0,0<w<1。(2)邊緣密度f(wàn)_W(w)=∫_0^∞λ2ze^{?λz}dz=1,0<w<1，故W~U(0,1)。f_Z(z)=∫_0^1λ2ze^{?λz}dw=λ2ze^{?λz}，即Gamma(2,λ)，與w無(wú)關(guān)，故獨(dú)立。18.（15分）設(shè)X?,…,X?來(lái)自密度f(wàn)(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估計(jì)θ?_M；(2)求θ的極大似然估計(jì)θ?_L；(3)計(jì)算Fisher信息量I(θ)。解：(1)E(X)=∫_0^1xθx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)，令X?=θ/(θ+1)，解得θ?_M=X?/(1?X?)。(2)似然函數(shù)L(θ)=θ?∏X?^{θ?1}，對(duì)數(shù)似然l(θ)=nlnθ+(θ?1)∑lnX?，令導(dǎo)數(shù)n/θ+∑lnX?=0，得θ?_L=?n/∑lnX?。(3)對(duì)數(shù)密度二階導(dǎo)數(shù)?1/θ2，故I(θ)=?E(?2l/?θ2)=n/θ2。19.（15分）設(shè)X~N(μ,σ2)，μ未知，σ2=4，樣本量n=16，觀測(cè)得X?=1.5。(1)求μ的95%置信區(qū)間；(2)若要求區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)1，求最小樣本量n′。解：(1)σ已知，區(qū)間X?±z_{0.975}·σ/√n=1.5±1.96·2/4=1.5±0.98，即(0.52,2.48)。(2)長(zhǎng)度2·1.96·2/√n′≤1，解得√n′≥7.84，n′≥61.47，取n′=62。20.（15分）設(shè)X?,…,X?來(lái)自N(μ,1)，檢驗(yàn)H?:μ=0vsH?:μ≠0，拒絕域|X?|>c。(1)求顯著性水平α與c的關(guān)系；(2)若n=25，α=0.05，求c；(3)若真實(shí)μ=0.2，求該檢驗(yàn)功效。解：(1)α=P(|X?|>c|μ=0)=2(1?Φ(c√n))，故c=z_{1?α/2}/√n。(2)z_{0.975}=1.96，c=1.96/5=0.392。(3)功效=1?β=P(|X?|>0.392|μ=0.2)=1?Φ(0.392·5?0.2·5)+Φ(?0.392·5?0.2·5)=1?Φ(0.96)+Φ(?2.96)=0.3315+0.0015=0.333。21.（20分）設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，E(X)=E(Y)=0,Var(X)=Var(Y)=1,ρ=0.5。(1)求條件期望E(Y|X=x)；(2)求條件方差Var(Y|X=x)；(3)生成n=500樣本，給出ρ的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)數(shù)值（模擬步驟與結(jié)果）；(4)用Delta方法求tanh?1(ρ?)的漸近方差。解：(1)線性回歸：E(Y|X=x)=ρx=0.5x。(2)Var(Y|X=x)=1?ρ2=0.75。(3)模擬步驟：①生成Z?,Z?~N(0,1)獨(dú)立；②令X=Z?,Y=0.5Z?+√0