熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理復(fù)習(xí)總結(jié)及相關(guān)試題及答案一、熱力學(xué)基本定律的微觀詮釋與宏觀表述的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.零定律：若系統(tǒng)A與B分別與C達(dá)到熱平衡，則A與B互為熱平衡。微觀上，這意味著A、B、C的能級(jí)占據(jù)數(shù)分布函數(shù)具有相同的溫度參數(shù)β=1/kT。2.第一定律：dU=?Q??W。微觀上，?Q對(duì)應(yīng)能級(jí)躍遷導(dǎo)致的占據(jù)數(shù)重排，?W對(duì)應(yīng)外參量變化引起的能級(jí)移動(dòng)。3.第二定律：孤立系熵增dS≥0。微觀上，熵S=klnΩ，Ω為微觀態(tài)數(shù)。不可逆過(guò)程對(duì)應(yīng)系統(tǒng)由低Ω區(qū)向高Ω區(qū)演化。4.第三定律：T→0時(shí)S→0。微觀上，基態(tài)非簡(jiǎn)并則Ω=1，S=0；若基態(tài)簡(jiǎn)并度為g?，則S=klng?，但g?與N無(wú)關(guān)，故比熵s→0。二、統(tǒng)計(jì)系綜的構(gòu)建與熱力學(xué)勢(shì)的對(duì)應(yīng)1.微正則系綜：E、V、N固定，配分函數(shù)Ω(E,V,N)。熱力學(xué)勢(shì)：S=klnΩ。2.正則系綜：T、V、N固定，配分函數(shù)Z=∑?e^(?βE?)。熱力學(xué)勢(shì)：F=?kTlnZ。3.巨正則系綜：T、V、μ固定，配分函數(shù)Ξ=∑_{N,i}e^(?β(E??μN(yùn)))。熱力學(xué)勢(shì)：Φ=?kTlnΞ。4.等壓系綜：T、P、N固定，配分函數(shù)Δ=∫?^∞Z(V,T,N)e^(?βPV)dV。熱力學(xué)勢(shì)：G=?kTlnΔ。5.熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式：S=?k∑?p?lnp?，對(duì)任意系綜成立。三、理想量子氣體的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)1.費(fèi)米氣體態(tài)密度：g(ε)=V(2m)^(3/2)ε^(1/2)/(2π2?3)。低溫展開：化學(xué)勢(shì)μ=ε_(tái)F[1?π2/12(T/T_F)2]，熱容：C_V=π2/2Nk(T/T_F)。2.玻色氣體臨界溫度：T_c=2π?2/mk[n/ζ(3/2)]^(2/3)。凝聚分?jǐn)?shù)：N?/N=1?(T/T_c)^(3/2)。熱容：T<T_c時(shí)C_V=1.925Nk(T/T_c)^(3/2)。四、相變與臨界現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)模型1.伊辛模型：H=?J∑?ij?σ?σ??h∑?σ?。平均場(chǎng)近似：m=tanh[β(Jzm+h)]，臨界指數(shù)β=1/2,γ=1,δ=3。2.朗道理論：自由能密度f(wàn)(T,m)=a(T)+b(T)m2+c(T)m?+?，b(T)=b?(T?T_c)，臨界指數(shù)與平均場(chǎng)一致。3.標(biāo)度律：α+2β+γ=2，γ=β(δ?1)。4.重正化群：通過(guò)逐步積分掉短波漲落，得到耦合常數(shù)的流方程，確定不動(dòng)點(diǎn)與臨界指數(shù)。五、非平衡統(tǒng)計(jì)初步1.玻爾茲曼方程：?f/?t+v·?f+F·?_vf=C[f]。碰撞項(xiàng)：C[f]=∫d3v?∫dΩσ(|v?v?|)(f′?f′??f?f?)。2.H定理：dH/dt≤0，H=∫flnfd3v，等號(hào)對(duì)應(yīng)細(xì)致平衡。3.輸運(yùn)系數(shù)：剪切黏度η=1/3nmv?λ，熱導(dǎo)率κ=1/3nc_vv?λ，其中v?=√(8kT/πm)，λ=1/(√2nσ)。六、綜合試題與詳解【題1】某孤立系統(tǒng)由N個(gè)無(wú)相互作用、質(zhì)量為m的粒子組成，被限制在面積為A的二維平面內(nèi)，能量固定在E。求系統(tǒng)的熵S(E,A,N)及溫度T?！窘狻慷S理想氣體的態(tài)密度g(ε)=A2πm/(2π?)2=Am/(π?2)。總微觀態(tài)數(shù)Ω(E)=1/(N!h^{2N})∫δ(E?∑?p?2/2m)∏?d2r?d2p?=1/(N!h^{2N})A^N∫δ(E?∑?p?2/2m)∏?d2p?。動(dòng)量積分：令P2=∑?p?2，則∫δ(E?P2/2m)∏?d2p?=∫δ(E?P2/2m)d^{2N}P=2π^N/Γ(N)∫?^∞P^{2N?1}δ(E?P2/2m)dP=π^N(2mE)^{N?1}2m/Γ(N)。于是Ω(E)=A^N/(N!h^{2N})·π^N(2mE)^{N?1}2m/Γ(N)。利用斯特林公式lnN!≈NlnN?N，Γ(N)≈N^{N?1}e^{?N}√(2π/N)，lnΩ≈Nln(A/λ2)+Nln(2πmE/N)?NlnN+N，其中λ=h/√(2πmkT)為熱波長(zhǎng)。熵S=klnΩ=Nk[ln(A/Nλ2)+2]。溫度1/T=?S/?E|_{A,N}=Nk/E?E=NkT。二維理想氣體內(nèi)能U=NkT，與結(jié)果一致。【題2】一維諧振子鏈，哈密頓量H=∑?[p?2/2m+k/2(q??q_{i+1})2]，周期性邊界條件，N→∞。求晶格熱容C_V(T)在低溫與高溫下的行為?！窘狻可㈥P(guān)系ω(k)=2√(k/m)|sin(ka/2)|。態(tài)密度g(ω)=N/(2π)∫_{?π/a}^{π/a}δ(ω?ω(k))dk=N/(πa)[dω/dk]^{?1}=N/(π√(k/m))·1/√[1?(ω/ω_m)2]，其中ω_m=2√(k/m)。低溫T??ω_m/k：僅長(zhǎng)波模式被激發(fā)，ω≈v_s|k|，v_s=a√(k/m)。一維態(tài)密度g(ω)=N/(πv_s)，能量U=∫?^{∞}?ω/(e^{β?ω}?1)g(ω)dω=N/(πv_s)∫?^{∞}?ω/(e^{β?ω}?1)dω=Nk2T2/(πv_s?)∫?^{∞}x/(e^x?1)dx=πNk2T2/(6v_s?)。熱容C_V=?U/?T=πNk2T/(3v_s?)∝T。高溫T??ω_m/k：經(jīng)典能量均分，每振子kT，共N個(gè)，故U=NkT，C_V=Nk?！绢}3】金屬中自由電子氣處于T=0K，外加磁場(chǎng)B沿z方向，電子自旋磁矩μ_B。求系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度M與磁場(chǎng)的關(guān)系，并給出順磁磁化率χ_p?！窘狻孔孕蛏?↓)電子能量ε=p2/2m?μ_BB，自旋向上(↑)電子能量ε=p2/2m+μ_BB。費(fèi)米能級(jí)μ?由總電子數(shù)確定：N=V/(2π2)(2m/?2)^{3/2}[∫?^{μ?+μ_BB}√εdε+∫?^{μ??μ_BB}√εdε]=V/(3π2)(2m/?2)^{3/2}[(μ?+μ_BB)^{3/2}+(μ??μ_BB)^{3/2}]。弱場(chǎng)近似μ_BB?μ?，展開得μ?≈ε_(tái)F[1?(μ_BB/ε_(tái)F)2/2]，其中ε_(tái)F為無(wú)場(chǎng)費(fèi)米能。磁化強(qiáng)度M=μ_B(n_↓?n_↑)=μ_BV/(2π2)(2m/?2)^{3/2}[(μ?+μ_BB)^{3/2}?(μ??μ_BB)^{3/2}]=3nμ_B2B/(2ε_(tái)F)。順磁磁化率χ_p=μ?M/B=3nμ?μ_B2/(2ε_(tái)F)。【題4】某經(jīng)典氣體粒子間有硬球勢(shì)u(r)=∞,r<σ;0,r>σ。求第二維里系數(shù)B?(T)及第一位移對(duì)狀態(tài)方程的修正。【解】B?(T)=?2π∫?^{∞}(e^{?βu(r)}?1)r2dr=?2π∫?^{σ}(?1)r2dr=2πσ3/3。狀態(tài)方程P/(nkT)=1+B?(T)n+?=1+2πσ3n/3+?。第一位移修正ΔP=2πσ3n2kT/3?！绢}5】二維平方晶格上吸附氣體，每個(gè)格點(diǎn)最多吸附一個(gè)分子，吸附能為?ε，溫度T，化學(xué)勢(shì)μ。求覆蓋度θ(μ,T)及吸附等溫線。【解】巨配分函數(shù)Ξ=∏?[1+e^{β(μ+ε)}]。平均占據(jù)數(shù)θ=?n??=e^{β(μ+ε)}/[1+e^{β(μ+ε)}]=1/[1+e^{?β(μ+ε)}]。吸附等溫線θ(P,T)=1/[1+(P?/P)e^{?βε}]，其中P?為參考?jí)簭?qiáng)，滿足μ=kTln(P/P?)。【題6】某系統(tǒng)能級(jí)為ε_(tái)n=n?ω,n=0,1,2,…，簡(jiǎn)并度g_n=n+1，溫度T。求平均能量?E?及熱容C_V?！窘狻颗浞趾瘮?shù)Z=∑_{n=0}^{∞}(n+1)e^{?βn?ω}=1/(1?e^{?β?ω})2。平均能量?E?=??lnZ/?β=2?ωe^{?β?ω}/(1?e^{?β?ω})=2?ω/(e^{β?ω}?1)。熱容C_V=??E?/?T=2k(β?ω)2e^{β?ω}/(e^{β?ω}?1)2。高溫極限β?ω?1：C_V→2k。低溫極限β?ω?1：C_V→2k(β?ω)2e^{?β?ω}?！绢}7】一維無(wú)相互作用玻色子，長(zhǎng)度L，質(zhì)量m，周期性邊界。求T_c是否存在？若存在給出表達(dá)式；若不存在說(shuō)明理由?！窘狻恳痪S自由玻色子態(tài)密度g(ε)=L/(π?)√(m/2ε)。總粒子數(shù)N=L/(π?)√(m/2)∫?^{∞}√ε/(e^{β(ε?μ)}?1)dε。μ≤0，積分在ε→0處收斂，故對(duì)任意T均可通過(guò)調(diào)節(jié)μ使等式成立，無(wú)凝聚相變，T_c=0?！绢}8】某順磁鹽服從居里定律M=CB/T，初始溫度T_i=1K，磁場(chǎng)B_i=1T，絕熱去磁至B_f=0.01T。求最終溫度T_f?！窘狻拷^熱過(guò)程滿足dQ=0，對(duì)磁系統(tǒng)dU=?Q+μ?HdM。由居里定律M=CB/T，得dU=μ?HdM=μ?C/T(HdB?B/TdT)。對(duì)理想順磁鹽U=?μ?M2/(2C)=?μ?CB2/(2T2)，故dU=μ?CB/T2(B/TdT?dB)。令dU=?μ?HdM得dT/T=?dB/B?lnT=?lnB+const。于是T_f=T_i(B_f/B_i)=1K×0.01=0.01K?！绢}9】某經(jīng)典氣體處于臨界點(diǎn)附近，實(shí)驗(yàn)測(cè)得臨界指數(shù)β=0.32,γ=1.25,δ=4.8。檢驗(yàn)這些指數(shù)是否滿足標(biāo)度律γ=β(δ?1)。【解】β(δ?1)=0.32×3.8=1.216≈1.25，相對(duì)誤差2.7%，在實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi)，滿足標(biāo)度律?！绢}10】某量子點(diǎn)具有單電子能級(jí)ε_(tái)d，庫(kù)侖能U當(dāng)雙占據(jù)時(shí)增加，哈密頓量H=∑_{σ}ε_(tái)dn_{dσ}+Un_{d↑}n_{d↓}。溫度T，化學(xué)勢(shì)μ，求平均占據(jù)數(shù)?n_d?及雙占據(jù)概率P?。【解】四種態(tài)：|0?,|↑?,|↓?,|↑↓?，能量0,ε_(tái)d,ε_(tái)d,2ε_(tái)d+U。巨配分函數(shù)Ξ=1+2e^{?β(ε_(tái)d?μ)}+e^{?β(2ε_(tái)d+U?2μ)}。平均占據(jù)數(shù)?n_d?=[2e^{?β(ε_(tái)d?μ)}+2e^{?β(2ε_(tái)d+U?2μ)}]/Ξ。雙占據(jù)概率P?=e^{?β(2ε_(tái)d+U?2μ)}/Ξ。低溫極限T→0：若μ<ε_(tái)d，?n_d?→0；若ε_(tái)d<μ<ε_(tái)d+U，?n_d?→1；若μ>ε_(tái)d+U，?n_d?→2。出現(xiàn)庫(kù)侖臺(tái)階，反映單電子隧穿與庫(kù)侖阻塞?！绢}11】某黑體輻射腔體體積V，溫度T，求光子數(shù)密度n_γ及能量密度u的低溫與高溫極限?！窘狻抗庾踊瘜W(xué)勢(shì)μ=0，態(tài)密度g(ε)=Vε2/(π2?3c3)。數(shù)密度n_γ=∫?^{∞}1/(e^{βε}?1)g(ε)/Vdε=1/(π2?3c3)∫?^{∞}ε2/(e^{βε}?1)dε=2ζ(3)/π2(kT/?c)3。能量密度u=∫?^{∞}ε/(e^{βε}?1)g(ε)/Vdε=π2k?T?/(15?3c3)。低溫與高溫極限相同，因光子無(wú)質(zhì)量，始終處于“高溫”極限?！绢}12】某經(jīng)典氣體粒子數(shù)N，體積V，受保守力F=?κr指向原點(diǎn)，單粒子哈密頓量H=p2/2m+κr2/2。求單粒子配分函數(shù)z及系統(tǒng)狀態(tài)方程P(T,V,N)?！窘狻繂瘟Ｗ优浞趾瘮?shù)z=1/h3∫e^{?β(p2/2m+κr2/2)}d3pd3r=(2πmkT/h2)^{3/2}(2πkT/κ)^{3/2}=(2πkT/h)3(m/κ)^{3/2}?？偱浞趾瘮?shù)Z=z^N/N!。壓強(qiáng)P=kT?lnZ/?V|_{T,N}=NkT/V。盡管存在外勢(shì)，但勢(shì)僅依賴于坐標(biāo)而非體積，故理想氣體形式不變，外勢(shì)影響密度分布n(r)=n?e^{?βκr2/2}，總壓強(qiáng)仍由理想氣體給出。【題13】某金屬薄膜厚度d?λ_F，電子在z方向量子化為駐波，能級(jí)ε_(tái)n(k)=?2k2/2m+ε_(tái)n，ε_(tái)n=n2π2?2/(2md2)，n=1,2,…。求T=0時(shí)電子面密度n_s與化學(xué)勢(shì)μ的關(guān)系，并給出量子化臺(tái)階出現(xiàn)的條件。【解】每個(gè)n對(duì)應(yīng)二維子帶，態(tài)密度g_n(ε)=m/(π?2)當(dāng)ε>ε_(tái)n?？偯婷芏萵_s=∑_n∫_{ε_(tái)n}^{μ}g_n(ε)dθ(μ?ε_(tái)n)=m/(π?2)∑_n(μ?ε_(tái)n)θ(μ?ε_(tái)n)。當(dāng)μ跨越ε_(tái)n時(shí)，n_s出現(xiàn)臺(tái)階，臺(tái)階高度Δn_s=m/(π?2)·π2?2/(2md2)=π/(2d2)。實(shí)驗(yàn)上通過(guò)柵壓調(diào)節(jié)μ，可觀察到量子化電導(dǎo)平臺(tái)。【題14】某經(jīng)典氣體分子具有電偶極矩p，處于電場(chǎng)E中，哈密頓量H=H??p·E。求極化強(qiáng)度P(T,E)及介電常數(shù)ε_(tái)r的居里-外斯形式。【解】單粒子配分函數(shù)z=∫e^{βpEcosθ}sinθdθdφ=4πsinh(βpE)/(βpE)。平均偶極矩沿E方向?p_z?=pL(βpE)，L(x)=cothx?1/x為朗之萬(wàn)函數(shù)。極化強(qiáng)度P=n?p_z?=npL(βpE)。弱場(chǎng)極限βpE?1：L(x)≈x/3，P≈np2E/(3kT)，介電常數(shù)ε_(tái)r=1+P/(ε?E)=1+np2/(3ε?kT)，呈現(xiàn)居里-外斯形式?！绢}15】某二維拓?fù)浣^緣