廣東海洋大學(xué)寸金學(xué)院《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題及答案一、單項選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若P{X=2}=P{X=3}，則λ等于A.2??B.3??C.4??D.5答案：B解析：由P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!，得e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!，化簡得λ=3。2.設(shè)X~N(0,1)，Y=X^{2}，則Y的分布為A.N(0,1)??B.χ^{2}(1)??C.t(1)??D.F(1,1)答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方服從自由度為1的卡方分布。3.設(shè)樣本X_{1},…,X_{n}獨(dú)立同分布于Exp(λ)，則樣本均值\bar{X}的分布為A.Exp(nλ)??B.Gamma(n,λ)??C.Gamma(n,nλ)??D.Exp(λ/n)答案：C解析：指數(shù)分布是Gamma(1,λ)，獨(dú)立同分布和的分布為Gamma(n,λ)，故\bar{X}=S_{n}/n~Gamma(n,nλ)。4.在假設(shè)檢驗中，若顯著性水平α減小，則A.第一類錯誤概率減小，第二類錯誤概率減小B.第一類錯誤概率減小，第二類錯誤概率增大C.第一類錯誤概率增大，第二類錯誤概率減小D.兩類錯誤概率均不變答案：B解析：α↓→拒絕域縮小→第一類錯誤↓，但接受域擴(kuò)大→第二類錯誤↑。5.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，則P{Y≤0.5}等于A.0.125??B.0.25??C.0.375??D.0.5答案：A解析：積分區(qū)域0≤x≤y≤0.5，面積=∫_{0}^{0.5}∫_{x}^{0.5}2dydx=∫_{0}^{0.5}2(0.5?x)dx=0.125。二、填空題（每題4分，共20分）6.設(shè)A,B獨(dú)立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=________。答案：0.58解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A)P(B)=0.3+0.4?0.12=0.58。7.設(shè)X~U(?1,2)，則E|X|=________。答案：1.25解析：E|X|=∫_{-1}^{2}|x|·1/3dx=1/3[∫_{-1}^{0}(?x)dx+∫_{0}^{2}xdx]=1/3[0.5+2]=1.25。8.設(shè)X_{1},…,X_{n}為來自N(μ,σ^{2})的樣本，若n=25，\bar{x}=10，s^{2}=4，則μ的95%置信區(qū)間為________（保留兩位小數(shù)）。答案：(9.18,10.82)解析：t_{0.025}(24)=2.064，區(qū)間\bar{x}±t·s/√n=10±2.064·2/5。9.設(shè)X~Bin(100,0.02)，用泊松近似計算P{X≥1}=________（保留三位小數(shù)）。答案：0.867解析：λ=np=2，P{X≥1}=1?e^{?2}=0.8647≈0.867。10.設(shè)隨機(jī)變量X的矩母函數(shù)M_{X}(t)=exp{2t+3t^{2}}，則Var(X)=________。答案：6解析：M_{X}(t)為N(2,6)的矩母函數(shù)，故Var(X)=6。三、計算題（共30分）11.（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=k(x+y),0≤x≤1,0≤y≤1，其他為0。(1)求常數(shù)k；(2)求邊緣密度f_{X}(x)；(3)判斷X與Y是否獨(dú)立。解：(1)∫∫f(x,y)dxdy=1?k∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}(x+y)dydx=k∫_{0}^{1}(x+0.5)dx=k·1=1?k=1。(2)f_{X}(x)=∫_{0}^{1}(x+y)dy=x+0.5,0≤x≤1。(3)f_{Y}(y)=y+0.5，顯然f(x,y)≠f_{X}(x)f_{Y}(y)，故不獨(dú)立。12.（10分）設(shè)X_{1},…,X_{n}獨(dú)立同分布于Gamma(α,β)，α>0已知，β>0未知。(1)寫出β的極大似然估計；(2)求該估計的均方誤差MSE(β?)。解：(1)似然函數(shù)L(β)=∏_{i=1}^{n}[β^{α}/Γ(α)]x_{i}^{α?1}e^{?βx_{i}}，對數(shù)似然lnL=nαlnβ?nlnΓ(α)+(α?1)∑lnx_{i}?β∑x_{i}，令導(dǎo)數(shù)為零得β?=α/\bar{X}。(2)由于\bar{X}~Gamma(nα,nβ)，故Eβ?=αE(1/\bar{X})，利用1/\bar{X}的期望公式：E(1/\bar{X})=nβ/(nα?1)（nα>1），因此Bias=α·nβ/(nα?1)?β=β/(nα?1)，Var(β?)=α^{2}Var(1/\bar{X})，經(jīng)計算得Var(1/\bar{X})=n^{2}β^{2}/[(nα?1)^{2}(nα?2)]，故MSE=Bias^{2}+Var=β^{2}/(nα?1)^{2}+α^{2}n^{2}β^{2}/[(nα?1)^{2}(nα?2)]=β^{2}[1+α^{2}n^{2}/(nα?2)]/(nα?1)^{2}。13.（10分）某生產(chǎn)線袋裝食品標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量500g，標(biāo)準(zhǔn)差σ=5g。今隨機(jī)抽取16袋，測得平均質(zhì)量\bar{x}=498g。(1)在α=0.05下檢驗H_{0}:μ=500vsH_{1}:μ≠500；(2)求檢驗的p值；(3)若實際μ=497，求此檢驗的功效。解：(1)檢驗統(tǒng)計量z=(\bar{x}?μ_{0})/(σ/√n)=(498?500)/(5/4)=?1.6，雙側(cè)臨界值±1.96，|z|<1.96，故不拒絕H_{0}。(2)p值=2P{Z≥1.6}=2(1?0.9452)=0.1096。(3)功效=1?β=P{拒絕|μ=497}，拒絕域|\bar{x}?500|>1.96·5/4=2.45，即\bar{x}<497.55或\bar{x}>502.45，在μ=497下，\bar{x}~N(497,25/16)，功效=P{\bar{x}<497.55}+P{\bar{x}>502.45}=Φ((497.55?497)/1.25)+1?Φ((502.45?497)/1.25)=Φ(0.44)+1?Φ(4.36)=0.67+1?1=0.67。四、綜合應(yīng)用題（共35分）14.（15分）某電商平臺研究用戶點(diǎn)擊“立即購買”的概率p。隨機(jī)抽取200名訪客，其中68人點(diǎn)擊。(1)給出p的矩估計與極大似然估計；(2)構(gòu)造p的近似95%置信區(qū)間；(3)若希望估計誤差不超過0.03，置信水平95%，求所需最小樣本量。解：(1)矩估計=樣本比例=68/200=0.34；極大似然估計同樣為0.34。(2)區(qū)間=0.34±1.96√[0.34·0.66/200]=0.34±0.065，即(0.275,0.405)。(3)由n≥(z_{α/2}/E)^{2}p(1?p)，取p=0.34，E=0.03，n≥(1.96/0.03)^{2}·0.34·0.66≈957.3，故最小樣本量958。15.（20分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估計θ?_{1}；(2)求θ的極大似然估計θ?_{2}；(3)計算θ?_{2}的漸近分布；(4)設(shè)觀測樣本為0.2,0.5,0.6,0.8,0.9，求θ?_{2}的數(shù)值及標(biāo)準(zhǔn)誤；(5)檢驗H_{0}:θ=2vsH_{1}:θ≠2，α=0.05。解：(1)EX=∫_{0}^{1}xθx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)，令等于樣本均值\bar{X}，解得θ?_{1}=\bar{X}/(1?\bar{X})。(2)似然L(θ)=θ^{n}∏x_{i}^{θ?1}，lnL=nlnθ+(θ?1)∑lnx_{i}，令導(dǎo)數(shù)為零得θ?_{2}=?n/∑lnx_{i}。(3)Fisher信息量I(θ)=n/θ^{2}，故√n(θ?_{2}?θ)?N(0,θ^{2})。(4)樣本\bar{x}=0.6，∑lnx_{i}=ln0.2+…+ln0.9=?2.9957，θ?_{2}=?5/(?2.9957)≈1.669，標(biāo)準(zhǔn)誤=θ?_{2}/√n≈1.669/√5≈0.746。(5)檢驗統(tǒng)計量z=√n(θ?_{2}?2)/θ?_{2}=√5(1.669?2)/1.669≈?0.443，|z|<1.96，不拒絕H_{0}，p值≈0.66。五、證明題（共10分）16.設(shè)X_{1},…,X_{n}獨(dú)立同分布于N(μ,σ^{2})，記S^{2}=1/(n?1)∑(X_{i}?\bar{X})^{2}。證明：(n?1)S^{2}/σ^{2}~χ^{2}(n?1)，且與\bar{X}獨(dú)立。證明：令Y_{i}=(X_{i}?μ)/σ，則Y_{i}~N(0,1)，記向量Y=(Y_{1},…,Y_{n})^{T}，取正交矩陣A，其第一行為(1