2026屆廣東省深圳市羅湖外國(guó)語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，若，，，則（）A. B.C. D.2．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個(gè)單位的職工中體重超過(guò)的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過(guò)為顯著超重，從甲、乙兩個(gè)單位中體重超過(guò)的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.3．已知橢圓(a>b>0)的離心率為，則＝（）A. B.C. D.4．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.15．已知直線(xiàn)，，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.6．方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.7．已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為（）A. B.C. D.8．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.9．對(duì)于圓上任意一點(diǎn)的值與x，y無(wú)關(guān)，有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，r有最大值1；②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條直線(xiàn)；③當(dāng)時(shí)，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.3 B.2C.1 D.010．下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A B.C. D.11．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.12．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線(xiàn)，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某學(xué)校為了獲得該校全體高中學(xué)生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間，通過(guò)計(jì)算得到男生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為8小時(shí)，方差為6；女生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為6小時(shí)，方差為8．根據(jù)所有樣本的方差來(lái)估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為_(kāi)_______14．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則__________.15．某中學(xué)擬從4月16號(hào)至30號(hào)期間，選擇連續(xù)兩天舉行春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，從已往的氣象記錄中隨機(jī)抽取一個(gè)年份，記錄天氣結(jié)果如下：日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴雨雨陰晴晴晴雨估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為_(kāi)____________.16．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）求適合下列條件的曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1），焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（12分）某雙曲線(xiàn)型自然冷卻通風(fēng)塔的外形是由圖1中的雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為、.已知該冷卻通風(fēng)塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線(xiàn)的方程；（2）以原平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，保持原點(diǎn)和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示.在上口圓上任取一點(diǎn)，在下口圓上任取一點(diǎn).請(qǐng)給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P、Q，使得P、A、Q三點(diǎn)共線(xiàn).若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，并證明此時(shí)線(xiàn)段PQ上任意一點(diǎn)都在曲面上.19．（12分）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；20．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)B到平面DFE距離.21．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)橢圓：右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.（1）求橢圓M的方程；（2）C，D為橢圓M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線(xiàn)CD與AB垂直，求四邊形ACBD面積的最大值.22．（10分）已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱BC和CD的中點(diǎn)（1）求與所成角的大小；（2）求與平面所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.2、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿(mǎn)足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿(mǎn)足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.3、D【解析】由離心率得，再由轉(zhuǎn)化為【詳解】因?yàn)?，所?a2＝9b2，所以故選：D.4、D【解析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，可判斷①；根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷②；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯(cuò)誤；對(duì)于，，故，故②正確；對(duì)于，則，故③錯(cuò)誤；對(duì)于，則，故④錯(cuò)誤，故選：D5、C【解析】由拋物線(xiàn)的定義可知點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.【詳解】解：由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于，所以點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故選：C.6、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡(jiǎn)的結(jié)果故選：D7、C【解析】根據(jù)題意可設(shè)，再根據(jù)，求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：由點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，可設(shè)，則，由，得，所以，則，則，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為22.故選：C.8、D【解析】由題設(shè)易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對(duì)稱(chēng)性及矩形性質(zhì)可得，由已知條件得到，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.9、B【解析】可以看作點(diǎn)到直線(xiàn)與直線(xiàn)距離之和的倍，的取值與，無(wú)關(guān)，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，圓在兩直線(xiàn)內(nèi)部，則，的距離為，則，，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，r有最大值1，得出結(jié)論；對(duì)于②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條平行與，的直線(xiàn)，得出結(jié)論；對(duì)于③當(dāng)時(shí)，則得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，故可以看作點(diǎn)到直線(xiàn)與直線(xiàn)距離之和的倍，的取值與，無(wú)關(guān)，這個(gè)距離之和與點(diǎn)在圓上的位置無(wú)關(guān)，可知直線(xiàn)平移時(shí)，點(diǎn)與直線(xiàn)，的距離之和均為，的距離，即此時(shí)圓在兩直線(xiàn)內(nèi)部，，的距離為，則，對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，r有最大值1，正確；對(duì)于②在r取最大值時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是一條平行與，的直線(xiàn)，正確；對(duì)于③當(dāng)時(shí)，則即，解得或，故錯(cuò)誤.故正確結(jié)論有2個(gè)，故選：B.10、C【解析】根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對(duì)于C選項(xiàng)，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對(duì)于D選項(xiàng)，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列故選：C.11、D【解析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過(guò)F1的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題12、C【解析】對(duì)于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對(duì)于C是正確的二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出100名學(xué)生每周鍛煉的平均時(shí)間，然后再求這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差，從而可估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí)，因?yàn)?5名男生每周鍛煉時(shí)間的方差為6；45名女生每周鍛煉時(shí)間的方差為8，所以這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為，所以該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差約為，故答案為：14、10【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，所以，所以故答案為：1015、【解析】以每相鄰兩天為一個(gè)基本事件，求出試驗(yàn)的基本事件數(shù)，再求出兩天都不下雨的基本事件數(shù)，利用古典概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，以每相鄰兩天為一個(gè)基本事件，如16號(hào)與17號(hào)、17號(hào)與18號(hào)為不同的兩個(gè)基本事件，則從4月16號(hào)至30號(hào)期間，共有14個(gè)基本事件，它們等可能，其中相鄰兩天不下雨有16與17，19與20，20與21，21與22，22與23，26與27，27與28，28與29，共8個(gè)不同結(jié)果，所以運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為.故答案為：16、【解析】倒數(shù)型求數(shù)列通項(xiàng)公式，第一步求倒數(shù)，第二步構(gòu)造數(shù)列，求通項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)方程為（，），即得解；（2）由題得，即得解.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)方程為（，），，，，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是2，，∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為或18、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，設(shè)，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數(shù)方程，設(shè)，，利用，即可求解，再利用線(xiàn)段PQ上任意一點(diǎn)的特征證明點(diǎn)在曲面上；【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，，則設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)為，，，，，解得，，又塔高米，，解得，故所求的雙曲線(xiàn)的方程為【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)在圓上，；點(diǎn)在圓上，；圓，其半徑為，；圓，其半徑為，【小問(wèn)3詳解】存在點(diǎn)P、Q，使得P、A、Q三點(diǎn)共線(xiàn).由點(diǎn)在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；點(diǎn)在半徑為的圓上，（為參數(shù)）；由已知得，整理得兩式平方求和得，則或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，證明：，則，利用，，其中又曲面上的每一點(diǎn)可以是圓與旋轉(zhuǎn)任意坐標(biāo)系上的雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)系，保持原點(diǎn)和y軸不變，點(diǎn)所在的軸為軸，此時(shí)，滿(mǎn)足，即即點(diǎn)是曲面上的點(diǎn).19、【解析】甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為、、，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付費(fèi)用相同的概率；【詳解】?jī)扇怂顿M(fèi)用相同，相同費(fèi)用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為，兩人都付40元的概率為，兩人都付80元的概率為，故兩人所付費(fèi)用相同的概率為.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】，設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所?由題設(shè)，可得，所以.點(diǎn)B到DFE平面距離.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)，，的中點(diǎn)為，利用“點(diǎn)差法”求解；（2）由求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，再根據(jù)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，求得的長(zhǎng)，然后由四邊形的面積為求解.【小問(wèn)1詳解】解：把右焦點(diǎn)代入直線(xiàn)，得，設(shè)，，的中點(diǎn)為，則，，相減得，即，即，即.又，，則.又，解得，，故橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立消去，可得，解得或，故交點(diǎn)為，.所以.因?yàn)椋钥稍O(shè)直線(xiàn)的方程為，，，聯(lián)立消去，得到，因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得，且，又，則.故四邊形的面積為，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.所以四邊形的面積的最大值為.