陜西省咸陽市永壽縣中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末達標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b22．考試停課復(fù)習(xí)期間，小王同學(xué)計劃將一天中的7節(jié)課全部用來復(fù)習(xí)4門不同的考試科目，每門科目復(fù)習(xí)1或2節(jié)課，則不同的復(fù)習(xí)安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.151203．在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀(jì)古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于則這個直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.4．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.5．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個動點，若定點，則的最大值為A. B.C. D.6．方程表示的曲線經(jīng)過的一點是（）A. B.C. D.7．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M，設(shè)＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+8．若實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最小值為（）A. B.0C. D.29．已知P是直線上的動點，PA，PB是圓的切線，A，B為切點，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.10．設(shè)雙曲線：的左焦點和右焦點分別是，，點是右支上的一點，則的最小值為（）A.5 B.6C.7 D.811．等軸雙曲線漸近線是（）A. B.C. D.12．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，為實數(shù)，已知經(jīng)過點的橢圓與雙曲線有相同的焦點，則___________.14．已知拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點到焦點的距離為6，且該拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線：的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為__________.15．已知直線與之間的距離為，則__________16．與直線和直線的距離相等的直線方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.（1）求雙曲線C的漸近線方程；（2）過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，若，求k的值.18．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值19．（12分）某企業(yè)為響應(yīng)“安全生產(chǎn)”號召，將全部生產(chǎn)設(shè)備按設(shè)備安全系數(shù)分為A，兩個等級，其中等設(shè)備安全系數(shù)低于A等設(shè)備.企業(yè)定時對生產(chǎn)設(shè)備進行檢修，并將部分等設(shè)備更新成A等設(shè)備.據(jù)統(tǒng)計，2020年底該企業(yè)A等設(shè)備量已占全體設(shè)備總量的30%.從2021年開始，企業(yè)決定加大更新力度，預(yù)計今后每年將16%的等設(shè)備更新成A等設(shè)備，與此同時，4%的A等設(shè)備由于設(shè)備老化將降級成等設(shè)備.（1）在這種更新制度下，在將來的某一年該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例能否超過80%？請說明理由；（2）至少在哪一年底，該企業(yè)的A等設(shè)備占全體設(shè)備的比例超過60%.（參考數(shù)據(jù)：，，）20．（12分）已知橢圓C：的左右焦為，，點是該橢圓上任意一點，當(dāng)軸時，，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記，求實數(shù)m的最大值21．（12分）在如圖三角形數(shù)陣中第n行有n個數(shù)，表示第i行第j個數(shù)，例如，表示第4行第3個數(shù).該數(shù)陣中每一行的第一個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，從第三行起每一行的數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中).已知.（1）求m及；（2）記，求.22．（10分）已知為坐標(biāo)原點，橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓的上頂點，以為圓心且過的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線交橢圓于兩點.（?。┤糁本€的斜率等于，求面積的最大值；（ⅱ）若，點在上，.證明：存在定點，使得為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過其導(dǎo)數(shù)進行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問題【詳解】∵∴∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)∴在上恒成立∴，即.∴故選A.【點睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來進行求解.2、C【解析】，先安排復(fù)習(xí)節(jié)的科目，然后安排其余科目，由此計算出不同的復(fù)習(xí)安排方法數(shù).【詳解】第步，門科目選門，安排節(jié)課，方法數(shù)有種，第步，安排其余科目，每門科目節(jié)課，方法數(shù)有種，所以不同的復(fù)習(xí)安排方法有種.故選：C3、C【解析】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故這個直角三角形周長的最大值為故選：C4、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點、準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離為.故選：D5、C【解析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得：，橢圓方程為，設(shè)橢圓上點的坐標(biāo)為，則，故：，當(dāng)時，.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查橢圓方程問題，橢圓中的最值問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6、C【解析】當(dāng)時可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點是，且其它點都不滿足方程，故選：C7、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B8、A【解析】畫出可行域，令，則，結(jié)合圖形求出最小值，即可得解；【詳解】解：畫出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，由，解得，即，令，則．結(jié)合圖形可知當(dāng)過點時，取得最小值，且，即故選：A9、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當(dāng)最小時，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D10、C【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，由雙曲線的定義可得，由雙曲線的性質(zhì)可知，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得最小值.【詳解】由雙曲線：可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，此時點為雙曲線的右頂點，即的最小值為，故選：C.11、A【解析】對等軸雙曲線的焦點的位置進行分類討論，可得出等軸雙曲線的漸近線方程.【詳解】因為，若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則等軸雙曲線的漸近線方程為.綜上所述，等軸雙曲線的漸近線方程為.故選：A.12、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由點P在橢圓上，可得的值，再根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點即可求解.【詳解】解：因為點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓方程為，又橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以，解得，故答案為：1.14、3【解析】由題意求得拋物線的準(zhǔn)線方程為，進而得到準(zhǔn)線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標(biāo)為5的點到焦點的距離為6，根據(jù)拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C離心率.故答案為：3.15、或##或【解析】利用平行直線間距離公式構(gòu)造方程求解即可.【詳解】方程可化為：，由平行直線間距離公式得：，解得：或.故答案為：或.16、【解析】設(shè)直線方程為，根據(jù)兩平行直線之間距離公式即可求解.【詳解】設(shè)該直線為：，則由兩平行直線之間距離公式得：，故該直線為：；故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由離心率可得雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)，則的中點為，由，可得，然后的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立，利用韋達定理可得答案.【小問1詳解】設(shè)，則，又，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為.【小問2詳解】由已知直線的傾斜角不是直角，，設(shè)，則的中點為，，由，可知，所以，即，因為的方程為，雙曲線的漸近線方程可寫為，由消去y，得，所以，，所以，因為，所以，即.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，再逐個求解，，然后可證結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，因為直線與橢圓C相切，所以判別式，即，整理得，所以，故直線的方程為，因為，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得故點Q坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，化簡得設(shè)點因為判別式，得又，所以故，于是為定值.【點睛】直線與橢圓的相切問題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問題的求解一般結(jié)合目標(biāo)式中的項，逐個求解，代入驗證即可.19、（1）A等設(shè)備量不可能超過生產(chǎn)設(shè)備總量的80%，理由見解析；（2）在2026屆底實現(xiàn)A等設(shè)備量超過生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.【解析】(1)根據(jù)題意表示出2020年開始，經(jīng)過年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，求出，根據(jù)的范圍進行判斷；(2)令＞即可求解.【小問1詳解】記該企業(yè)全部生產(chǎn)設(shè)備總量為“1”，2020年開始，經(jīng)過年后A等設(shè)備量占總設(shè)備量的百分比為，則經(jīng)過1年即2021年底該企業(yè)A等設(shè)備量，，可得，又所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，可得，所以，顯然有，所以A等設(shè)備量不可能超過生產(chǎn)設(shè)備總量的80%.【小問2詳解】由，得.因為單調(diào)遞減，又，，所以在2026屆底實現(xiàn)A等設(shè)備量超過生產(chǎn)設(shè)備總量的60%.20、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義及勾股定理可求解；（2）問題轉(zhuǎn)化為在軸截距的問題，臨界條件為直線與橢圓相切，求解即可.【小問1詳解】因為，，所以，∴，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問2詳解】要求的最值，即求直線在軸截距的最值，可知當(dāng)直線與橢圓相切時，m取得最值.聯(lián)立方程：，整理得，解得所以實數(shù)m的最大值為21、（1），；（2）【解析】（1）根據(jù)題意以m表示出，由即可求出，進而求出；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式求出，再利用錯位相減法即可求出.【詳解】（1）由已知得，，，，，即，又，，，；（2）由（1）得，當(dāng)時，，又，，滿足，，，兩式相減得，.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.22、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）.【解析】（1）求出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理、弦長公式可求面積表達式，利用基本不等式可求面積的最大值.（ⅱ）利用韋達定理化簡可得，從而可得的軌跡為圓，故可證存在定點，使得為定值.【詳解】（1）由題意知：，，又，則以為圓心且過的圓的半徑為，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為：，將代入得：，所以且，故.又，點到直線的距離，所以，等號當(dāng)僅當(dāng)時取，即當(dāng)時，