延安市2026年普通高中模擬測試（一）數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.平面向量，，且，則（）A. B.2 C. D.33.公差不為零等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是與的等比中項(xiàng)，，則（）A.-22 B.-90 C.-3 D.-1984.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法．首先，準(zhǔn)備一個圓桶模具，圓桶底面外圓的直徑為30cm，高為10cm，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為3cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片這種瓦片，則所需粘土的體積為（）A. B. C. D.5.已知定點(diǎn)A、B，且|AB|＝4，動點(diǎn)P滿足||PA|﹣|PB||＝3，則|PA|的最小值是（）A. B. C. D.56.兩位游客準(zhǔn)備分別從葫蘆古鎮(zhèn)、興城古城、龍?zhí)洞髰{谷、九門口水上長城、龍灣海濱風(fēng)景區(qū)5個景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個景點(diǎn)游玩，記事件“兩位游客中至少有一人選擇葫蘆古鎮(zhèn)”，事件“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.圖像向右平移個單位長度后的函數(shù)為偶函數(shù)8.設(shè)函數(shù),若有四個不同的零點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的有（）A. B.C.的最大值為 D.10.陜西省某中學(xué)體能測試成績服從正態(tài)分布，已知，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.若隨機(jī)抽取3名學(xué)生，則至少2人成績超過75的概率為D.若隨機(jī)抽取100名學(xué)生，則成績超過85的人數(shù)期望為2011.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓上一動點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，則到軸的距離為 B.的最小值為6C.的最大值為 D.若，則第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若直線是曲線的一條切線，則________．13.已知，，則________．14.已知數(shù)列滿足，且對于任意，都有，則除以5的余數(shù)為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若的周長為，面積為，求．16.如圖，在三棱錐中，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角正弦值．17.已知雙曲線（）的離心率為，右焦點(diǎn)到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，兩動點(diǎn)A，B在雙曲線C上，線段AB的中點(diǎn)為（1）求雙曲線C的方程；（2）證明：直線AB的斜率k為定值；（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為求直線AB的方程．18.已知（1）討論的單調(diào)性（2）對于恒成立；求取值范圍（3）設(shè)，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)；證明．19.甲乙兩人進(jìn)行若干局乒乓球訓(xùn)練賽，每局比賽必須決出勝負(fù)，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知甲每局比賽獲勝概率為，規(guī)定先達(dá)到凈勝3局者獲得訓(xùn)練賽勝利并結(jié)束訓(xùn)練賽（某人的凈勝局?jǐn)?shù)某人勝的局?jǐn)?shù)某人負(fù)的局?jǐn)?shù)）．（1）記經(jīng)過局比賽，甲獲得訓(xùn)練賽勝利的概率為，求和；（2）經(jīng)過若干局后，甲勝的局?jǐn)?shù)與乙勝的局?jǐn)?shù)的差為，記事件“時，甲最終獲得訓(xùn)練賽勝利”發(fā)生的概率為，求證：是等比數(shù)列；（3）求甲獲得訓(xùn)練賽勝利的概率．延安市2026年普通高中模擬測試（一）數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，即可寫出其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.詳解】，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：C.2.平面向量，，且，則（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，解?故選：B.3.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是與的等比中項(xiàng)，，則（）A.-22 B.-90 C.-3 D.-198【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是與的等比中項(xiàng)，及可得公差，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為且，又是與的等比中項(xiàng)，，即，解得或（舍），.故選：.本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題.4.《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法．首先，準(zhǔn)備一個圓桶模具，圓桶底面外圓的直徑為30cm，高為10cm，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為3cm的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片這種瓦片，則所需粘土的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用圓柱的體積公式，求得四片瓦需要的粘土量，進(jìn)而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案.【詳解】由圓柱的體積公式，可得四片瓦需要的粘土量為，所以800片瓦需要的粘土量為．故選：D．5.已知定點(diǎn)A、B，且|AB|＝4，動點(diǎn)P滿足||PA|﹣|PB||＝3，則|PA|的最小值是（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)的軌跡是雙曲線，再根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求得.【詳解】由動點(diǎn)P滿足||PA|﹣|PB||＝3，且故可得點(diǎn)的軌跡為以為左右焦點(diǎn)的雙曲線，故可得，解得，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得的最小值為.故選：A.本題考查雙曲線的定義，以及其幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.6.兩位游客準(zhǔn)備分別從葫蘆古鎮(zhèn)、興城古城、龍?zhí)洞髰{谷、九門口水上長城、龍灣海濱風(fēng)景區(qū)5個景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個景點(diǎn)游玩，記事件“兩位游客中至少有一人選擇葫蘆古鎮(zhèn)”，事件“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出和，再利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】兩位游客從5個景點(diǎn)中任選，每人有5種選擇，總事件數(shù)：種.事件的對立事件為“兩位游客都不選擇葫蘆古鎮(zhèn)”，的事件數(shù)：種,因此.事件分為兩種情況：甲選葫蘆古鎮(zhèn)，乙選其余4個景點(diǎn)，4種；乙選葫蘆古鎮(zhèn)，甲選其余4個景點(diǎn)，4種；共種事件，因此.所以.故選：C.7.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.圖像向右平移個單位長度后的函數(shù)為偶函數(shù)【答案】A【解析】【分析】化簡得，求出函數(shù)的周期即可判斷A；由，可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B；結(jié)合圖像的平移及對稱中心的定義可判斷C；求出平移后的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的定義判斷D．【詳解】對于A，因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在上先增后減，故B錯誤；對于C，因?yàn)槭菍⒑瘮?shù)的圖象向上平移個單位得到的，所以函數(shù)對稱中心的縱坐標(biāo)為，故C錯誤；對于D，設(shè)圖像向右平移個單位長度后所得函數(shù)為的解析式為，則，又因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，故D錯誤．故選：A．8.設(shè)函數(shù),若有四個不同的零點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)可得出的取值范圍，再利用對稱軸將所求式子消元處理，再整體換元令，轉(zhuǎn)化為求的值域可得.【詳解】令，由有四個不同的零點(diǎn)，則與有四個不同的交點(diǎn)，令，解得或，故當(dāng)或時，；當(dāng)時，；且當(dāng)，；解方程，得；作函數(shù)的圖象，對稱軸為.要使與有四個不同的交點(diǎn)，如圖可得.又滿足，則，可得.因?yàn)閳D象關(guān)于對稱，所以，則，則，令，則，構(gòu)造函數(shù)，，由，函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯或不選的得0分．9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的有（）A. B.C.的最大值為 D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)，通過得出，判斷A，通過得出，進(jìn)而推出，判斷B的正誤，等差數(shù)列中，由，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得的最大值為，判斷C，借助等差數(shù)列性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，得出，判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故，A正確，對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，又，所以，B正確，對于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以?shù)列的公差小于0，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值為，C正確，對于D選項(xiàng)，，所以D錯.故選：ABC.10.陜西省某中學(xué)體能測試成績服從正態(tài)分布，已知，則下列說法正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.若隨機(jī)抽取3名學(xué)生，則至少2人成績超過75的概率為D.若隨機(jī)抽取100名學(xué)生，則成績超過85的人數(shù)期望為20【答案】BD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱性判斷B；結(jié)合正態(tài)分布的原則判斷A；利用二項(xiàng)分布的概率公式判斷C；利用二項(xiàng)分布的期望公式判斷D即可.【詳解】對于B，由正態(tài)分布性質(zhì)得，則，故B正確，對于A，當(dāng)時，則，，由正態(tài)分布性質(zhì)得，而由已知得，與題意不符，故A錯誤；對于C，由正態(tài)分布性質(zhì)得，，設(shè)成績超過75的人數(shù)為，則，由二項(xiàng)分布概率公式得，則至少2人成績超過75的概率為，故C錯誤，對于D，設(shè)成績超過85的人數(shù)為，且，由題意得，由二項(xiàng)分布的期望公式得，則成績超過85的人數(shù)期望為20，故D正確.故選：BD11.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓上一動點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，則到軸的距離為 B.的最小值為6C.的最大值為 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】A項(xiàng)，由向量關(guān)系得中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)建立方程組求解可得；B項(xiàng)，設(shè)直線參數(shù)方程，代入橢圓方程，求弦長最值即可；C項(xiàng)，舉特例，當(dāng)位于長軸左頂點(diǎn)時，且軸時，面積大于可判斷錯誤；D項(xiàng)，設(shè)直線方程聯(lián)立直線與橢圓方程，取特殊點(diǎn)，再利用垂直關(guān)系建立方程求解參數(shù)，可得弦長不滿足.【詳解】由橢圓方程，可得，則，故右焦點(diǎn)，A項(xiàng)，由，可知三點(diǎn)共線，且為的中點(diǎn)，設(shè)，則，由都在橢圓上，則，解得，則，則，故軸，且點(diǎn)到軸的距離為，故A正確；B項(xiàng)，由橢圓方程，可得焦點(diǎn)，設(shè)過焦點(diǎn)的直線參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入橢圓方程，整理得關(guān)于的方程：，設(shè)分別對應(yīng)參數(shù)，則，所以，故當(dāng)，即直線與軸垂直時，，故B錯誤；C項(xiàng)，當(dāng)位于長軸左頂點(diǎn)時，即，且軸時，由，，則，故C錯誤；D項(xiàng)，當(dāng)直線與軸重合時，則，不滿足題意，故可設(shè)直線，聯(lián)立消得，則（），當(dāng)位于短軸上頂點(diǎn)，即時，若，則，由代入上式化簡得，，則將（）式代入得整理得①；解得或，又由，將或代入得或，故D錯誤；故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若直線是曲線的一條切線，則________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求出切線斜率，利用切點(diǎn)在切線上，代入方程，即可得出結(jié)論.【詳解】由曲線，得，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，所以，解得，.故答案為：13.已知，，則________．【答案】【解析】【分析】先對已知條件兩邊平方，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和二倍角公式，即可求解.【詳解】由已知，，兩邊平方可得，，又，所以，所以.故答案為：14.已知數(shù)列滿足，且對于任意的，都有，則除以5的余數(shù)為________．【答案】2【解析】【分析】先通過對遞推關(guān)系式變形,通過計(jì)算前幾項(xiàng)的余數(shù)找出周期,再根據(jù)周期計(jì)算除以5的余數(shù).【詳解】由題目的條件可以知道,即，所以有,且除以5的余數(shù)為2，;除以5的余數(shù)為3，;除以5的余數(shù)為1，;除以5的余數(shù)為2，;除以5的余數(shù)為3，顯然,余數(shù)呈現(xiàn)2,3,1的周期循環(huán)，所以，即除以5的余數(shù)與的相同為2.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若的周長為，面積為，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角及正弦的和角公式得，即可求解；（2）利用三角形的面積公式及余弦定理，再結(jié)合條件得，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又，所以，則，得到，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以，得，又因?yàn)?，又，得，由的周長為，所以，整理得到，解得.16.如圖，在三棱錐中，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由平面得到．由得到．利用直線和平面垂直的判定定理得到平面，利用平面和平面的判定定理得到平面平面；（2）由得到以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，建系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出和平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，利用數(shù)量積公式求出，從而得到直線與平面所成角的正弦值．【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)?，所以．又因?yàn)槠矫?，故平面．又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】因?yàn)?，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，則即，令得，故平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．17.已知雙曲線（）的離心率為，右焦點(diǎn)到雙曲線C的一條漸近線的距離為1，兩動點(diǎn)A，B在雙曲線C上，線段AB的中點(diǎn)為（1）求雙曲線C的方程；（2）證明：直線AB斜率k為定值；（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為求直線AB的方程．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率以及右焦點(diǎn)到雙曲線C的一條漸近線的距離，求出，即得答案；（2）設(shè)，，利用點(diǎn)差法即可證明；（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，表示出弦長以及原點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角形面積求出參數(shù)，即可求得答案.【小問1詳解】雙曲線（）右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，不妨取C的一條漸近線的方程為即，所以又，解得，所以雙曲線C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，則,兩式相減并整理得，,因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率k為定值2．【小問3詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，因?yàn)?，所以，則，故，點(diǎn)O到直線AB的距離為所以，整理得，解得（舍去），則，又因?yàn)?，所以直線AB的方程為18.已知（1）討論的單調(diào)性（2）對于恒成立；求的取值范圍（3）設(shè)，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)；證明．【答案】（1）當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求，討論和這兩種情況，解出的解為的單調(diào)遞增區(qū)間，解出的解為的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由（1）可知：當(dāng)時，利用的單調(diào)性及特殊值可得不成立；當(dāng)時，由的單調(diào)區(qū)間得到的最大值為，只需即可，解出這個不等式就是的取值范圍；（3）由（1）及零點(diǎn)存在性定理由存在兩零點(diǎn)可得，且，故可轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)法證明，由此證明.【小問1詳解】定義域，；當(dāng)時，的解為，則在上為單調(diào)遞增函數(shù)；，的解為，的解為，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).綜上可知，當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).【小問2詳解】由（1）可知：當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，不滿足，故不成立；當(dāng)時，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù).則當(dāng)時，取最大值為，令，解得，故對于恒成立的的取值范圍為.【小問3詳解】由（1）知，要使函數(shù)存在兩個零點(diǎn)，則，且其最大值必須大于0，的最大值為，令，解得，則存在兩零點(diǎn)，可得，設(shè)，為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則，，解得①，②，①減去②得到，解得，要證明，只需證明，設(shè)，，則在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故，設(shè)，，，，，，，，，.19.甲乙兩人進(jìn)行若干局乒乓球訓(xùn)練賽，每局比賽必須決出勝負(fù)，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知甲每局比賽獲勝的概率為，規(guī)定先達(dá)到凈勝3局者獲得訓(xùn)練賽勝利并結(jié)束訓(xùn)練賽（某人的凈勝局?jǐn)?shù)某人勝的局?jǐn)?shù)某人負(fù)的局?jǐn)?shù)）．（1）記經(jīng)過局比賽，甲獲得訓(xùn)練賽勝利的概率為，求和；（2）經(jīng)過若干局后，甲勝的局?jǐn)?shù)與乙勝的局?jǐn)?shù)的差為，記事件“時，甲最終獲得訓(xùn)練賽勝利”發(fā)生的概率為，求證：是等比數(shù)列；（3）求甲獲得訓(xùn)練賽勝利的概