陜西省延安市寶塔區(qū)第四中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.2．已知橢圓：，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點，若的最大值為5，則的值是A.1 B.C. D.3．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.104．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，則與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.5．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.106．已知點，則滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.47．已知等比數(shù)列滿足，，則（）A.21 B.42C.63 D.848．若動圓的圓心在拋物線上，且恒過定點，則此動圓與直線（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定9．若，（），則，的大小關(guān)系是A. B.C. D.，的大小由的取值確定10．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列11．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.412．已知{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，則當(dāng){an}的前n項和Sn，取得最大值時，n=（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．作邊長為6的正三角形的內(nèi)切圓，半徑記為，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，第n個正三角形的內(nèi)切圓半徑記為，則______，現(xiàn)有1個半徑為的圓，2個半徑為的圓，……，個半徑為的圓，n個半徑為的圓，則所有這些圓的面積之和為______14．設(shè)為曲線上一點，，，若，則__________15．若經(jīng)過點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，則______.16．已知拋物線的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M的準(zhǔn)線為l且與x軸相交于點B，A為M上的一點，直線AO與直線l相交于C點，若，，則M的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．（12分）為讓“雙減”工作落實到位，某中學(xué)積極響應(yīng)上級號召，全面推進(jìn)中小學(xué)生課后延時服務(wù)，推行課后服務(wù)“”模式，開展了內(nèi)容豐富、形式多樣、有利于學(xué)生身心成長的活動.該中學(xué)初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務(wù)更受歡迎，該校準(zhǔn)備推行體育類與藝術(shù)類兩大類活動于2021年9月在初一學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查.（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男學(xué)生和的女學(xué)生愿意參加體育類活動，其他男學(xué)生與女學(xué)生都不愿意參加體育類活動，請完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動與學(xué)生的性別相關(guān)？愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學(xué)生女學(xué)生合計（2）在開展了兩個月活動課后，為了了解學(xué)生的活動課情況，在初一年級學(xué)生中按男女比例分層抽取7名學(xué)生調(diào)查情況，并從這7名學(xué)生中隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，用X表示選出進(jìn)行展示的3名學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點A，B（均異于點M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由.20．（12分）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希臘)不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積等于，且橢圓的焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點是軸上的定點，直線與橢圓交于不同的兩點，已知A關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于原點的對稱點為，已知三點共線，試探究直線是否過定點.若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求直線AB與平面PCE所成角的正弦值；22．（10分）已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若，求外接圓面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.2、D【解析】由題意可知橢圓是焦點在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過橢圓焦點的弦中通徑的長最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【詳解】由0＜b＜2可知，焦點在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|當(dāng)AB垂直x軸時|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓的定義，考查橢圓的通徑公式，考查計算能力，屬于中檔題3、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，且，所以，解得；故選：C4、C【解析】取的中點，連接，易證平面，進(jìn)一步得到線面角，再解三角形即可.【詳解】如圖，取的中點，連接，三棱柱為直三棱柱，則平面，又平面，所以，又由題意可知為等腰直角三角形，且為斜邊的中點，從而，而平面，平面，且，所以平面，則為與平面所成的角.在直角中，.故選：C5、A【解析】由已知設(shè)雙曲線方程為：，代入求得，計算即可得出離心率.【詳解】雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為：，代入得：，.所以雙曲線方程為：..雙曲線C的離心率為故選：A6、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因為，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點到直線的距離為，點到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).7、D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為q，根據(jù)給定條件求出即可計算作答.【詳解】等比數(shù)列公比為q，由得：，即，而，解得，所以.故選：D8、B【解析】根據(jù)題意得定點為拋物線的焦點，為準(zhǔn)線，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義判斷即可.【詳解】解：由題知，定點為拋物線的焦點，為準(zhǔn)線，因為動圓的圓心在拋物線上，且恒過定點，所以根據(jù)拋物線的定義得動圓的圓心到直線的距離等于圓心到定點，即圓心到直線的距離等于動圓的半徑，所以動圓與直線相切.故選：B9、A【解析】∵且，∴，又，∴，故選A.10、C【解析】寫出數(shù)列前幾項，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項的說法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項是周期為6數(shù)值循環(huán)重復(fù)的一列數(shù)，選項A：，，則.判斷錯誤；選項B：由，可知當(dāng)時，.判斷錯誤；選項C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項D：,,則，,即,,不能構(gòu)成等比數(shù)列.判斷錯誤.故選：C11、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.12、B【解析】由題可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即得.【詳解】∵{an}是以10為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故時，取得最大值故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①；②..【解析】設(shè)第n個三角形的邊長為，進(jìn)而根據(jù)題意求出，然后根據(jù)等面積法求出，再求出；設(shè)n個半徑為的圓的面積為并求出，進(jìn)而運用錯位相減法求得答案.【詳解】如示意圖1，設(shè)第n個三角形的邊長為，易得，則是以6為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.如示意圖2，易得：，，所以，所以.設(shè)n個半徑為的圓的面積為，則，記所有圓的面積之和為，則，所以，兩式相減得：，即.故答案為：；.14、4【解析】化簡曲線方程，得到雙曲線的一支，結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果【詳解】由，得，即，故為雙曲線右支上一點，且分別為該雙曲線的左、右焦點，則，.【點睛】本題考查了雙曲線的定義，解題時要先化簡曲線方程，然后再結(jié)合雙曲線定義求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)15、【解析】由題意寫出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由弦長公式可得答案.【詳解】設(shè)，則直線的方程為由，得所以所以故答案為：16、【解析】先利用相似關(guān)系計算，求得直線OA的方程，再聯(lián)立方程求得，利用拋物線定義根據(jù)即得p值，即得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，則，如圖，，故，解得，所以，直線OA的斜率為，OA的方程，聯(lián)立直線OA與拋物線方程，解得，所以，故，則拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運用正弦定理進(jìn)行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡是關(guān)鍵.一般地，當(dāng)?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時，可利用余弦定理進(jìn)行化簡；當(dāng)含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時，可考慮采用正弦定理進(jìn)行邊角互化.18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)初一男生數(shù)和女生數(shù)，結(jié)合有的男學(xué)生和的女學(xué)生，愿意參加體育類活動求解；計算的值，再與臨界值表對照下結(jié)論；（2）根據(jù)這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名由抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因為初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名，且有的男學(xué)生和的女學(xué)生，所以愿意參加體育類活動的男生有300名，女生有200名，則列聯(lián)表如下：愿意參加體育活動情況性別愿意參加體育類活動不愿意參加體育類活動合計男學(xué)生300100400女學(xué)生200100300合計500200700，所以有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動與學(xué)生的性別相關(guān)；【小問2詳解】這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機(jī)變量X分布列如下：X0123p19、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點可求解；（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點的坐標(biāo)，再通過斜率公式計算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)直線MA的斜率為k，點，因為∠AMB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.20、（1）；（2）直線恒過定點.【解析】（1）根