安徽省黃山市“八校聯(lián)盟”2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的方程為A B.C. D.2．二次方程的兩根為2，，那么關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.3．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.16．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的方程為（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則的值為（）A. B.C. D.29．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為.若，是方程的兩個(gè)根，那么的值為（）A.44 B.C.66 D.11．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．如圖，若斜邊長(zhǎng)為的等腰直角（與重合）是水平放置的的直觀圖，則的面積為（）A.2 B.C. D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線(xiàn)的離心率______.14．已知圓錐的側(cè)面積為，若其過(guò)軸的截面為正三角形，則該圓錐的母線(xiàn)的長(zhǎng)為_(kāi)__________.15．若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.16．在正方體中，，，P，F(xiàn)分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)EF的距離是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且，共線(xiàn)，求四邊形的面積的最大值18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線(xiàn)PA與CD所成角為60°.（1）求直線(xiàn)PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知圓，其圓心在直線(xiàn)上.（1）求的值；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相切，求的方程.21．（12分）在四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.22．（10分）某公司有員工人，對(duì)他們進(jìn)行年齡和學(xué)歷情況調(diào)查，其結(jié)果如下：現(xiàn)從這名員工中隨機(jī)抽取一人，設(shè)“抽取的人具有本科學(xué)歷”，“抽取的人年齡在歲以下”，試求：（1）；（2）；（3）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，將代入橢圓方程，結(jié)合離心率為以及性質(zhì)列方程組求得與的值，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線(xiàn)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，因?yàn)椋?，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，以及橢圓離心率的應(yīng)用，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于中檔題.2、B【解析】根據(jù)，確定二次函數(shù)的圖象開(kāi)口方向，再由二次方程的兩根為2，，寫(xiě)出不等式的解集.【詳解】因?yàn)槎畏匠痰膬筛鶠?，，又二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，所以不等式的解集為或，故選：B3、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對(duì)應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D4、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.5、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計(jì)算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A6、D【解析】計(jì)算，然后等價(jià)于在（0，+∞）由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后計(jì)算即可.【詳解】的定義域是（0，+∞），，若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則在（0，+∞）由2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，解得：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求參，考查計(jì)算能力以及思維轉(zhuǎn)變能力，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】?jī)芍本€(xiàn)垂直，斜率之積為，曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切，聯(lián)立方程令.【詳解】法一：直線(xiàn)，所以，所以切線(xiàn)的，設(shè)切線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程，所以，令，解得，所以切線(xiàn)方程為.法二：直線(xiàn)，所以，所以切線(xiàn)的，，所以令，所以，帶入曲線(xiàn)方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線(xiàn)方程為，化簡(jiǎn)得.故選：A.8、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，且等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以，即.故選：B9、A【解析】先將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，再根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，所以其漸近線(xiàn)方程為：，即.故選：A.10、D【解析】由，是方程的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理可知與的和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得與的和等于，即可求出的值，然后再利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知等于的11倍，把的值代入即可求出的值.【詳解】因?yàn)椋欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，而，所以，則,故選：.11、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，即，從?故選：A.12、C【解析】由斜二測(cè)還原圖形計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】在斜二測(cè)直觀圖中，由為等腰直角三角形，，可得，.還原原圖形如圖：則，則.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.14、【解析】利用圓錐的結(jié)構(gòu)特征及側(cè)面積公式即得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，圓錐的母線(xiàn)為l,又圓錐過(guò)軸的截面為正三角形，圓錐的側(cè)面積為，∴，∴.故答案為：.15、【解析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)槊}“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以，即故答案：16、【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解點(diǎn)P到直線(xiàn)EF的距離.【詳解】解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，，，所以，，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)EF的距離.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)出直線(xiàn)的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題可知，即，因?yàn)檫^(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，所以，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，共線(xiàn)，所以延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)，由（1）可知，可設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立，消去x可得，所以，由對(duì)稱(chēng)性可知設(shè)與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點(diǎn)睛】在橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)中，求三角形、四邊形面積的最值問(wèn)題，求解策略是：首先結(jié)合弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式等求得面積的表達(dá)式；然后利用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)來(lái)求得最值.18、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，連結(jié)CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋訮A與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過(guò)P在平面PAB內(nèi)作，垂足為E，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，是直線(xiàn)PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線(xiàn)PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過(guò)B在平面PAB內(nèi)作，垂足為F，連結(jié)CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因?yàn)椋?，所以，從而所以二面角正弦值?19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得，再對(duì)等式兩邊同時(shí)減去1，化簡(jiǎn)可證得結(jié)論，（2）由（1）得，然后利用分組求和可求出【小問(wèn)1詳解】由已知得，.當(dāng)時(shí)，.兩式相減得，.于是，即，又，，，所以滿(mǎn)足上式，所以對(duì)都成立，故數(shù)列是等比數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，.20、（1）（2）或【解析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，代入直線(xiàn)方程即可求解.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，利用圓心到直線(xiàn)的距離即可求解.【小問(wèn)1詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，圓心為由圓心在直線(xiàn)上，得.所以，圓的方程為：【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，即由于直線(xiàn)和圓相切，得解得：所以，直線(xiàn)方程為：或.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，利用三角形中位線(xiàn)定理可證明BG//EF，由線(xiàn)線(xiàn)平行，可得線(xiàn)面平行；（2根據(jù)圖像可得，以為底面，證明為高，利用三棱錐的體積公式，可得答案;【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，四邊形為菱形，所以且，所以且，故四邊形BFEG為平行四邊形，所以BG//EF，因?yàn)?/p>