1.3《全等三角形的判定》復(fù)習(xí)題【題型1數(shù)全等三角形的對(duì)數(shù)】1.如圖，在△ABC中，線段AB=AC，BD,CE都是△ABC的角平分線，連接DE，則圖中的全等三角形的對(duì)數(shù)是（

）A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)2.如圖，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC，則圖中的全等三角形的對(duì)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43.如圖，點(diǎn)C，D分別在線段OA，OB上，AD與BC相交于點(diǎn)E，若OC=OD，∠A=A．5對(duì) B．4對(duì) C．3對(duì) D．2對(duì)4.如圖1，已知AB=AC，D為∠BAC的角平分線上一點(diǎn)，連接BD、CD；如圖2，已知AB=AC，D、E為∠BAC的角平分線上兩點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE；如圖3，已知AB=AC，D、E、F為∠BAC的角平分線上三點(diǎn)，連接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依次規(guī)律，第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是（

）A．2n?1 B．3n+1 C．nn?12【題型2全等三角形的動(dòng)態(tài)問題】1.如圖，已知△ABC三條邊的長都為10?cm，三個(gè)內(nèi)角都相等，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1?cm速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒4?cm速度沿折線A?C?B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)Q在邊BC上，且以A、B、C中的兩點(diǎn)和點(diǎn)Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△PAC2.如圖，在△ABC中，AB=AC=12cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，3.題目：“如圖，已知△ABD≌△CDB，AD=8cm，BD=10cm，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AD向終點(diǎn)D移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿邊BC向終點(diǎn)C勻速移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿對(duì)角線BD向終點(diǎn)D移動(dòng)，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．連接PM、QM，求動(dòng)點(diǎn)M的速度為多少時(shí)，存在某個(gè)時(shí)刻，使得以P、D、M為頂點(diǎn)的三角形與△QBM全等（點(diǎn)B與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)）．”甲答：3cm/s，乙答：15

A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整C．只有乙的答案正確 D．三人的答案合在一起才完整4.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm，直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相交，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為2cm/s和3cm/s，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束，在某時(shí)刻分別過點(diǎn)P和點(diǎn)Q作PE⊥l于點(diǎn)E，QF⊥l于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則△PEC與【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段間的數(shù)量關(guān)系】1.題目：“如圖，直線AM⊥AN，AB平分∠MAN，過點(diǎn)B作BC⊥BA交AN于點(diǎn)C，且BC=AB．動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AN運(yùn)動(dòng)，作BD⊥BE，交直線AM于點(diǎn)D．關(guān)于BD和BE的關(guān)系，下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)E只有在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BD和BE才相等B．點(diǎn)E只有在線段AC的延長線上時(shí)，BD和BE才相等C．點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，BD和BE一直相等D．無法判斷2.如圖，∠F=∠M(1)試判斷線段FG與MH的關(guān)系，并說明理由．(2)證明EH=NG．3.如圖1，等腰直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，點(diǎn)D是射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，△DCE是等腰直角三角形，∠DCE=90°,CD=CE，連接BE．(1)如圖2，點(diǎn)D是AB的延長線上的一點(diǎn)，猜想AD、BE的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)探究AB,BE,BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論．4.如圖（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且點(diǎn)B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于點(diǎn)D，CE⊥AE于點(diǎn)E．(1)求證：①△ABD≌△CAE；②(2)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（BD<CE），其余條件不變，問BD與DE，(3)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時(shí)（BD>CE），其余條件不變，問BD與DE，【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段間的位置關(guān)系】1.已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC．【初步感知】（1）特殊情形：如圖①，若點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，則DB______EC．（填>、<或=）【發(fā)現(xiàn)證明】（2）將圖①中△ADE的繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)就圖②中給出的情況加以證明．【深入研究】（3）如圖③，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，則BD，CE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．2.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形ABCD的邊AB，CD的延長線上，連接EF分別交AD，BC于點(diǎn)G，H，AB∥CD，AE=CF，(1)△AEG與△CFH全等嗎？為什么？(2)判斷線段AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由．3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<90°),D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC連接CE．(1)若∠ABC=45°，則∠ADE=______．(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：△BAD≌△CAE；(3)若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC上某一點(diǎn)時(shí)，恰好有AB=CD+CE，問：線段CE與線段AB有什么位置關(guān)系并說明理由．4.（1）如圖1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°．點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且CD=CE．則BE與AD的數(shù)量關(guān)系是________，直線BE與直線AD的位置關(guān)系是________；（2）如圖2，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．則BE與AD的數(shù)量關(guān)系怎樣？直線BE與直線AD的位置關(guān)系怎樣？請(qǐng)說明理由．

【題型5結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】1.（1）如圖，在△ABC中，以BC為一邊作△BCD，使得△ABC≌△DCB，畫出所有符合條件的△BCD（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）請(qǐng)用兩種不同方法作出BC邊上的中點(diǎn)E．（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）2.在課堂上，陳老師布置了一道畫圖題：畫一個(gè)Rt△ABC，使∠B=90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段，小明和小強(qiáng)兩位同學(xué)先畫出了∠MBN=90°那么小明和小強(qiáng)兩位同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是（

）A．SAS，HL B．HL，SAS C．SAS，AAS D．AAS，HL3.課本告訴我們作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A′B′C作法：如圖．（1）畫B′C（2）分別以點(diǎn)B′，C′為圓心，線段AB，AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)（3）連接線段A′B′，A請(qǐng)你根據(jù)以上材料完成下列問題：（1）完成下面證明過程（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）：證明：由作圖可知，在△A′BB∴△A（2）這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是______．（填序號(hào)）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS4.（1）如圖1，AE是∠MAD的平分線，點(diǎn)C是AE上一點(diǎn)，點(diǎn)B是AM上一點(diǎn)，在AD上求作一點(diǎn)P，使得△ABC≌△APC，請(qǐng)保留清晰的作圖痕跡．（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BC、BF、CE之間的關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論．【題型6構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（連接法）】1.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則∠α+∠β=度．2.如圖，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，求證：∠B=∠E．

3.如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或704.D是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，則∠BPD的度數(shù)為______．

【題型7構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（作垂線法）】1.如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延長CB交DE于F.求證：EF=DF.2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，BC⊥AC，AC=m，則△ACD的面積等于(

)A.2m2B.m2C.13.如圖，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠B+∠E=180°.如果△ABC的面積48cm2.那么△DEF的面積為(

)

A.48cm?2??????????????B.24cm?2 C.4.如圖，D是CB延長線上一點(diǎn)，且BD=BC，E是AB上一點(diǎn)，DE=AC，求證：∠BAC=∠BED.

【題型8構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（作平行線法）】1.已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請(qǐng)?zhí)骄浚?1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長線上時(shí)，若BD=CE，請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在線段AB上（點(diǎn)D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點(diǎn)M，若CE＝2BD，請(qǐng)直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．2.如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交BC于點(diǎn)M．求讓：MD=ME3.如圖△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)D在BC上，且ED=EC，若AE=2，那么BD=______

4.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)E為邊AB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D在邊CB的延長線上，且ED=EC．

(1)當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)（如圖1），則有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；(2)猜想如圖2，AE與DB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【題型9構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（延長法）】1.在四邊形ABCD中，AB=1，CD=2，∠B=∠C=90°，E為BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，AE⊥DE．

(1)∠AEB______∠EDC；(填“>”“<”或“=”)

(2)AD=______．2.如圖，∠AOB=∠EOF=90°，OA=OB，OE=OF，連結(jié)AE、BF，試著判斷AE與BF的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．3.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC+∠ACD=180°，CD=4，則BC的長為______．4.如圖，已知AD//BC，AE，BE分別平分∠DAB，∠CBA．

(1)求：∠BEA度數(shù)．

(2)判斷：AF、BG、AB之間關(guān)系，并證明．【題型10構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（截長補(bǔ)短法）】1.如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°，E，F(xiàn)分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F(xiàn)分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=12.翻折，常常能為問題解決提供思路和方法．如圖，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC，垂足為D，則BD，CD，AC之間的等量關(guān)系是．3.如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．4.如圖，已知AP∥BC，∠PAB的平分線與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)E，連接CE并延長交AP于點(diǎn)D，試說明：參考答案【題型1數(shù)全等三角形的對(duì)數(shù)】1.B【分析】本題考查了角平分線、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到∠ABD=∠ACE=∠DBC=∠ECB，利用全等三角形的判定即可．【詳解】令EC和BD的交點(diǎn)為O．∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD,CE都是△ABC的角平分線∴∠ABD=∠ACE=∠DBC=∠ECB∵∠A是△ABD和△ACE的公共角∴△ABD≌△ACE∴BD=CE∴△BCE≌△CBD∴BE=DC∴△BED≌△CDE∵∠EOB=∠DOC∴△EOB≌△DOC故選：B．2.C【分析】圖中有3對(duì)全等三角形，分別為△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC，△ABC≌△DEF，理由為：由AB與DE平行，利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由AF=DC，兩邊都加上FC，得到AC=DF，利用SAS可得證；△ABF≌△DEC，理由為：由AB與DE平行利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，由已知兩對(duì)邊相等，利用SAS可得證；△BCF≌△EFC，理由為：由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到FB=EC，CB=EF，再由FC為公共邊，利用SSS即可得證．【詳解】解：圖中的全等三角形的對(duì)數(shù)為3對(duì)，分別為△ABC≌△DEF；△ABF≌△DEC；△BCF≌△EFC．△ABC≌△DEF，理由為：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝DC，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（SAS）；△ABF≌△DEC，理由為：證明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABF和△DEC中，AB=DE∠A=∠D∴△ABF≌△DEC（SAS）；∵△ABC≌△DEF，△ABF≌△DEC，∴BC＝EF，BF＝EC，在△BCF和△EFC中，BC=EFBF=EC∴△BCF≌△EFC（SSS）．故選：C．3.B【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)依次證明圖中三角形全等即可．【詳解】解：在△AOD和△BOC中，∵OC=OD，∠∴△AOD≌△BOC(SAS)∴OA=OB，∵OC=OD，OA=OB，∴AC=BD，在△ACE和△BDE中，∵∠A=∴△ACE≌△BDE(AAS)∴AE=BE，在△AOE和△BOE中，∵OA=OB，∠∴△AOE≌△BOE(SAS)∴∠COE=在△COE和△DOE中，∵OC=OD，∠∴△COE≌△DOE(SAS)故全等的三角形有4對(duì)，故選：B．4.D【分析】本題主要考查了三角形全等的判定以及規(guī)律的歸納，解體的關(guān)鍵是根據(jù)條件證出圖形中有幾對(duì)三角形全等，然后找規(guī)律．根據(jù)圖1證出有1對(duì)三角形全等，根據(jù)圖2證出有3對(duì)三角形全等，根據(jù)圖3證出有6對(duì)三角形全等，根據(jù)數(shù)據(jù)可分析出第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)．【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD，∴圖1中有1對(duì)三角形全等；同理圖2中△ABE≌△ACE，∴BE=EC，又∵△ABD≌△ACD，∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴圖2中有3對(duì)三角形全等；同理圖3中有6對(duì)三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中有全等三角形的對(duì)數(shù)是n(n+1)2故選：D．【題型2全等三角形的動(dòng)態(tài)問題】1.2或103【分析】本題主要考查全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題是解題的關(guān)鍵．分當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)的有兩種情形CQ=AP或BQ=PA滿足條件，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，CQ=PA時(shí)，△BCQ≌∴AP=t,AQ=4t，∴t=10?4t，解得：t=2．當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，如圖：當(dāng)CQ=AP時(shí)，△ACQ≌△CAP，AP=t，∴4t?10=t，解得：t=10如圖：當(dāng)BQ=PA時(shí)，△ABQ≌∴20?4t=t，解得t=4，綜上所述，滿足條件的t的值為2或103故答案為：2或1032.23或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，然后分兩種情況討論：當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=1∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，當(dāng)△BPD≌△CQP時(shí)，BP=CQ,BD=CP=6cm∵BC=8cm∴CQ=BP=2cm∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為23當(dāng)△BPD≌△CPQ時(shí)，BP=CP,BD=CQ=6cm∵BC=8cm∴BP=4cm∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為43綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為23s故答案為：23或43.A【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，由題意可得，AP=tcm，BQ=2tcm，即得DP=8?tcm，又由△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠CBD，然后分【詳解】解：由題意得，AP=tcm，BQ=2t∴DP=8?t∵△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，當(dāng)△PDM≌△QBM時(shí)，則DP=BQ，DM=BM，∴8?t=2t，DM=BM=1∴t=8∴此時(shí)點(diǎn)M的速度為5÷8當(dāng)△PDM≌△MBQ時(shí)，則DP=BM，DM=BQ，∴DP+BQ=BM+DM=BD，即8?t+2t=10，∴t=2，∴BM=DP=8?2=6cm∴此時(shí)點(diǎn)M的速度為6÷2=3cm/s綜上，動(dòng)點(diǎn)M的速度為158cm/s或故選：A．4.2或145【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，分△PEC≌△CFQ，且點(diǎn)P在AC上、點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)，△PEC≌△QFC，且點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，當(dāng)△PEC≌△CFQ，且點(diǎn)Q在AC上、點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)三種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵PE⊥l,QF⊥l，∴∠PEC=∠QFC=90°，∴△PEC與△QFC全等分三種情況討論：①如圖①，當(dāng)△PEC≌△CFQ，且點(diǎn)P在AC上、點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC=CQ．此時(shí)AP=2tcm∴6?2t=8?3t，解得t=2；②如圖②，當(dāng)△PEC≌△QFC，且點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，PC=CQ．此時(shí)AP=2tcm∴6?2t=3t?8，解得t=14③當(dāng)△PEC≌△CFQ，且點(diǎn)Q在AC上、點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC=CQ．此時(shí)PC=2t?6當(dāng)點(diǎn)Q未到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，2t?6=3t?8，解得t=2，不符合題意，舍去．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)A時(shí)，P繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，如圖③，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，PC=CQ=AC=6cm∴2t?6=6，解得t=6．綜上所述，當(dāng)t的值為2或145或6時(shí)，△PEC與△QFC故答案為：2或145【題型3利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段間的數(shù)量關(guān)系】1.C【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，由BD⊥BE，BC⊥BA，AM⊥AN得到∠MAB=∠DBE=∠ABC=90°，從而有∠DBA=∠EBC，分兩種情況：點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在線段AC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別證明△DAB≌∠ECBASA【詳解】解：①如圖，點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵BD⊥BE，BC⊥BA，AM⊥AN∴∠MAN=∠DBE=∠ABC=90°，即∠DBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC，∴∠DBA=∠EBC，∵AB平分∠MAN，∴∠DAB=∠EAB=45°，∴∠ACB=45°，∴∠DAB=∠ECB，在△DAB和△ECB中，∠DAB=∠ECBAB=CB∴△DAB≌∠ECBASA∴BD=BE，②點(diǎn)E在線段AC的延長線上時(shí)，∵BD⊥BE，BC⊥BA，AM⊥AN，∴∠MAN=∠DBE=∠ABC=90°，即∠DBA+∠DBC=∠DBC+∠EBC，∴∠DBA=∠EBC，∵AB平分∠MAN，BC=AB∴∠BAC=∠ACB=∠MAB=45°，∴∠DAB=∠ECB=135在△DAB和△ECB中，∠DAB=∠ECBAB=CB∴△DAB≌∠ECBASA∴BD=BE，綜上可知：點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，BD和BE一直相等，故選：C．2.（1）解：FG=MH，理由如下：∵EF∥NM，∴∠E=∠N，又∵∠F=∠M，∴△EFG≌△NMHASA∴FG=MH；（2）證明：∵△EFG≌△NMH，∴EG=NH，∴EG?HG=NH?HG，∴EH=NG．3.（1）解：AD=BE，理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，又∵∠ACB=90°，則∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）解：AB+BD=BE或AB?BD=BE，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D是AB的延長線上的一點(diǎn)時(shí)，如圖2，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵AB+BD=AD，∴AB+BD=BE；當(dāng)點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)時(shí)，如圖1，∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，又∵∠ACB=90°，則∠ACB?∠BCD=∠DCE?∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE，∵AB?BD=AD，∴AB?BD=BE．4.（1）證明：①∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB=∠CEA=90°，在△ABD和△CAE中，∠ACE=∠BAD∠ADB=∠CEA∴△ABD≌△CAE(AAS②∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE；∵AE=DE+AD，∴BD=DE+CE．（2）解：結(jié)論：DE=BD+CE．理由：∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥AE，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE=∠BAD；又∵BD⊥AE，CE⊥AE∴∠ADB=∠CEA=90°，在△ABD和△CAE中，∠ACE=∠BAD∠ADB=∠CEA∴△ABD≌△CAE(AAS∴BD=AE，AD=CE；∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE；（3）解：結(jié)論是：當(dāng)B、C在AE兩側(cè)時(shí)，BD=DE+CE；理由：如圖（1），由（1）②知：BD=DE+CE；當(dāng)B、C在AE同側(cè)時(shí)，DE=BD+CE；理由：如圖（3），由（2）知：△ABD≌△CAE(AAS∴BD=AE，AD=CE；∵DE=AE+AD，∴DE=BD+CE．【題型4利用全等三角形的判定與性質(zhì)確定線段間的位置關(guān)系】1.解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∴AB?AD=AC?AE，∴BD=CE；（2）解：DB=EC仍然成立，證明如下：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE?∠BAE=∠BAC?∠BAE即：∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴DB=EC；（3）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：延長BD，分別交AC、CE于點(diǎn)F、G，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC即：∠BAD=∠CAE，在△△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠AFB=∠GFC，∴∠CGF=∠BAF=90°即：BD⊥CE．2.（1）解：△AEG≌△CFH，理由如下：∵AB∥∴∠E=∠F，∵EH=FG，∴EH+GH=FG+GH，∴EG=FH，在△AEG和△CFH中，AE=CF∠E=∠F∴△AEG?（2）解：AD∥理由如下：由1可知，△AEG?∴∠AGE=∠CHF，∴AD∥3.（1）解：∵∠ABC=45°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，∴∠DAE=∠BAC=90°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=45°；（2）證明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE?∠CAD=∠BAC?∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中．AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS（3）CE∥AB．理由如下：由（2）知△BAD≌△CAE，∴BD=CE,∠ACE=∠ABC．∵AB=CD+CE，∴AB=CD+BD=BC．∵AB=AC，∴AB=AC=BC．∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴∠ACE=∠ABC=60°，∴∠ACE=∠BAC=60°，∴CE∥AB．4.解：（1）∵AC=BC，CD=CE，∴BE=AD．∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴BE⊥AD．（2）BE=AD，BE⊥AD，理由如下：延長BE交AD交于點(diǎn)F．如圖：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACDSAS∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，∵∠CAF+∠AFB=∠CBE+∠ACB，∴∠AFB=∠ACB=90°，即BE⊥AD．故答案為：BE=AD，BE⊥AD．【題型5結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】1.解：（1）如圖所示，△BCD′和在△CBA和△BCDAB=∴△CBA≌△BC在△CBA和△BCDAB=∴△CBA≌△BCD（2）如圖①所示，點(diǎn)E即為所求；如圖②所示，點(diǎn)E即為所求；．如圖①，根據(jù)線段垂直平分線的定義可得點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)；如圖②，∵BM=AC，CM=AB，BC=CB，∴△MCB≌△ABCSSS∴∠MBC=∠ACB，即∠MEB=∠AEC，在△MBE和△ACM中，∠MBE=∠ACE∠MEB=∠AEC∴△MBE≌△ACMAAS∴BE=CE，即點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．2.A【分析】分別根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵小明同學(xué)先確定的是直角三角形的兩條直角邊，∴確定依據(jù)是SAS定理；∵小強(qiáng)同學(xué)先確定的是直角三角形的一條直角邊和斜邊，∴確定依據(jù)是HL定理．故選：A．3.（1）證明：由作圖可知，在△A′BB′∴△A故答案為：AB,AC,△ABC．（2）這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是SSS，故答案為：④．4.解：（1）當(dāng)AB=AP時(shí)，∵AE是∠MAD的平分線，∴∠BAC=∠PAC，在△ABC和△APC中，AB=AP∠BAC=∠PAC∴△ABC≌△APC，∴以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧交AD于一點(diǎn)，則此點(diǎn)為所要求的點(diǎn)P，如下圖所示：（2）BC=BF+CE，理由如下：在BC上截取BD=BF，在△BFO和△BDO中，BF=BD∠FBO=∠DBO∴△BFO≌△BDOSAS∴∠BOF=∠BOD，∵∠A=60°，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點(diǎn)O，∴∠BOC=180°?1∴∠COE=180°?120°=60°，∴∠BOD=∠BOF=∠COE=60°，∴∠COD=∠BOC?∠BOD=120°?60°=60°，在△COE和△COD中，∠COE=∠CODCO=CO∴△COE≌CODASA∴CE=CD，∴BC=BF+CE．【題型6構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（連接法）】1.45【分析】連接AB，利用平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定得出∠DBC=∠BCE=∠β、∠ABD=∠CAE=∠α及△CAB是等腰直角三角形，最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，連接AB，∵DB∥CE，∴∠DBC=∠BCE=∠β，∵△ACE和△BAD中，AE=BD∴△ACE≌△BADSAS∴∠ABD=∠CAE=∠α，AC=BA，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，即∠CAB=90°，∴△CAB是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠α+∠β=45°．故答案為：45．2.證明：連接AC，AD，

∵AF是CD的垂直平分線，

∴AC=AD．

又AB=AE，BC=ED，

∴△ABC≌△AED(SSS)．

∴∠B=∠E．

3.B【分析】連接AD，可證△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可以得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ADB=∠ADC，代入角度即可求出∠BAD【詳解】連接AD，如圖，在△ABD與△ACD中AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACDSSS，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC∵∠A=60∴∠BAD=∠CAD=30∵∠D=140∴∠ADB=∠ADC=1∵∠BAD+∠ADB+∠B=180∴∠B=40故選：B．4.30°

【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．【解答】解：連接DC.

∵等邊三角形ABC，

∴AB=BC=AC，

∵AB=BP，

∴BP=AB=BC，

在△PBD和△CBD中，

BP=BC∠1=∠BD=BD2，

∴△PBD≌△CBD(SAS)，

∴∠BFD=∠BCD，

在△ACD和△BCD中，

AC=BCCD=CDBD=AD，

∴△ACD≌△BCD(SSS)，

∴∠ACD=∠BCD，

∵∠ACB=60°故答案為30°．【題型7構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（作垂線法）】1.如圖，過點(diǎn)D作DG⊥CF的延長線于點(diǎn)G，∵∠ABC+∠DBG=90°，∠BDG+∠DGB=90°，∴∠ABC=∠BDG，又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，∴ΔABC≌ΔBDG，∴BC=DG，又∵BC=BE，∴BE=DG，又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，∴ΔBFE≌△GFD，∴EF=DF.2.C

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，

∵∠BAD=90°，BC⊥AC，

∴∠BAC+∠DAE=∠BAC+∠B=90°，

∴△DAE=∠B，

在△DAE與△ABC中，

∠AED=∠ACB∠DAE=∠BAD=AB，

∴△DAE≌△ABC(AAS)，

∴DE=AC，

∴S△ACD=13.A

【詳解】解：作AM⊥BC于M，DN⊥EF于N，如圖，

∵∠ABC+∠E=180°，∠ABC+∠ABM=180°，

∴∠ABM=∠E，

在△ABM和△DEN中，

∠AMB=∠DNE∠ABM=∠DENAB=DE，

∴△ABM≌△DEN(AAS)，

∴AM=DN，

∵S△ABC=12?BC?AM，S△DEF=12?EF?DN4.如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DF⊥AB的延長線于點(diǎn)F，則有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，∴ΔDBF≌ΔCBG，∴DF=CG，.又∵DE=AC，∴RtΔDFE≌Rt∴∠BAC=∠BED.

【題型8構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（作平行線法）】1.（1）解：DM=EM；證明：過點(diǎn)E作EF//AB交BC于點(diǎn)F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中∠BDM=∠FEM∠BMD=∠FME∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．（2）解：成立；證明：過點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長線于點(diǎn)F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中∠BDE=∠FEM∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；（3）解：過點(diǎn)E作EF//AB交CB的延長線于點(diǎn)F，∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF∴△DBM∽△EFM，∴BD：EF=DM：ME，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠F=∠ABC，∴∠F=∠C，∴EF=EC，∴BD：EC=DM：ME=1：2，∴MD=122.過點(diǎn)D作DF∥AC，交BC于點(diǎn)F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，∴△BDF是等邊三角形，∴BD=DF，∵BD=CE，∴DF=CE，又∵∠FMD=∠CME，∴?FMD??CME，∴MD=ME．3.2

【分析】本題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．過點(diǎn)E作AC的平行線，交BC的延長線于點(diǎn)F，證得△EBD≌△EFC后即可證得BD=CF，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得AE=CF，即可求得BD的長．

【詳解】

解：過點(diǎn)E作AC的平行線，交BC的延長線于點(diǎn)F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BCA=∠F=60°，∠BAC=∠BEF=60°，

∴△BEF是等邊三角形，

∵ED=EC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴∠EDB=∠ECF，

在△EBD和△EFC中，

{B=∠F=60°∠BDE=∠FCEDE=CE,

∴△EBD≌△EFC(AAS)，

∴BD=CF，

∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，

∴BE?BA=BF?BC，即AE=CF，

∵AE=2，

∴BD=AE=CF=24.（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∠BCE=12∵ED=EC，∴△CDE是等腰三角形，∴∠D=∵∠ABC=∴∠BED=30°∴∠D=∴BD=BE，∴AE=DB．故答案為：=（2）解：AE=DB．理由如下：過E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC．∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°．∴△AEF是等邊三角形．∴AE=EF=AF．∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°．∵DE=EC，∴∠D=∠ECD．∴∠BED=∠ECF．在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF,∴△DEB≌△ECFAAS∴BD=EF=AE，即AE=BD．【題型9構(gòu)造全等三角形的常規(guī)輔助線（延長法）】1.解：(1)∵AE⊥DE，

∴∠AED=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∵∠C=90°，

∴∠EDC+∠DEC=90°，

∴∠AEB=∠EDC；

故答案為：=；

(2)延長AE、DC交于點(diǎn)F，如圖所示：

∵∠B+∠DCB=180°，

∴AB//DF，

∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠ECF，

∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

∴△ABE≌△FCE，

∴AE=EF，AB=CF=1，

∴DF=DC+CF=2+1=3，

∵DE⊥AF，

∴∠AED=∠FED=90°，

∵DE=DE，

∴△AED≌△FED，

∴AD=DF=3．

故答案為：3．2.解：AE⊥BF，AE=BF；

∵∠AOB=∠EOF=90°，∠AOE=90°?∠BOE，∠BOF=90°?∠BOE，

∴∠AOE=∠BOF

∴在Rt△OAB與Rt△OEF中，

AO=OB,∠AOE=∠BOF,OE=OF,

∴△AEO≌△BFO(SAS)，

∴AE=BF；

延長AE交BF于D，交OB于C，則∠BCD=∠ACO，

∵△AEO≌△BFO

∴∠OAC=∠OBF，

∴∠BDA=∠AOB=90°，

∴AE⊥BF3.8

【詳解】解：延長AB、CD長于點(diǎn)E，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠CAD，

∵CD⊥AD，

∴∠ADE=∠ADC=90°，

在△ADE和△ADC中，

∠EAD=∠CADAD=AD∠ADE=∠ADC，

∴△ADE≌△ADC，

∴DE=CD=4，AE=AC，

∴CE=8，∠E=∠ACD，

∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠CBE=180°，

∴∠E=∠ACD=∠CBE，

∴BC=CE=8，

故答案為：84.解：(1)∵AD//BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵AE，BE分別平分∠DAB，∠CBA，

∴∠DAE=∠BAE=12∠BAD，∠ABE=∠CBE=12∠ABC，

∴∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠BEA=90°；

(2)AB=BG+AF，

理由如下：延長AE，交BC點(diǎn)H，

在△ABE和△HBE中，

∠ABE=∠HBE