《統(tǒng)計學(xué)原理》綜合考試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.某高校欲了解本科生每日平均睡眠時間，隨機抽取400名學(xué)生，測得樣本均值為7.2小時，標(biāo)準(zhǔn)差為0.8小時。若構(gòu)造95%的置信區(qū)間，則區(qū)間寬度約為A.0.078小時?B.0.156小時?C.0.312小時?D.0.624小時答案：B解析：區(qū)間寬度=2×z?.???×s/√n=2×1.96×0.8/√400=0.156小時。2.在單因素方差分析中，若組間均方MSB=120，組內(nèi)均方MSE=30，則F值等于A.0.25?B.4?C.90?D.150答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。3.設(shè)隨機變量X~N(μ,σ2)，則P(μ?1.5σ≤X≤μ+1.5σ)約為A.0.6826?B.0.8664?C.0.9332?D.0.9544答案：B解析：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，Φ(1.5)=0.9332，故概率=2Φ(1.5)?1=0.8664。4.若兩變量X與Y的樣本相關(guān)系數(shù)r=?0.92，則下列說法正確的是A.X與Y存在高度負(fù)線性相關(guān)?B.X增加必然導(dǎo)致Y減少?C.回歸直線斜率必為負(fù)?D.以上都對答案：A解析：r僅度量線性關(guān)系，不能說明因果，但符號與斜率一致，故A、C正確；B錯誤；D不成立。5.在假設(shè)檢驗中，若顯著性水平α從0.05降到0.01，則A.Ⅰ型錯誤概率減小?B.Ⅱ型錯誤概率減小?C.檢驗功效增大?D.臨界域擴大答案：A解析：α減小，Ⅰ型錯誤概率減小；Ⅱ型錯誤概率增大；功效減??；臨界域縮小。6.對同一總體進行不放回抽樣，樣本量n=50，總體容量N=500，則樣本均值的方差修正系數(shù)為A.0.9?B.0.95?C.0.98?D.1答案：A解析：有限總體修正系數(shù)=(N?n)/(N?1)=450/499≈0.9。7.若某時間序列的環(huán)比增長率分別為2%，?1%，3%，則三期累計增長率為A.4%?B.4.06%?C.4.12%?D.5%答案：B解析：累計=(1.02×0.99×1.03)?1≈0.0406→4.06%。8.在多元線性回歸中，若某解釋變量Xj的VIF=8.5，則通常認(rèn)為A.不存在多重共線性?B.存在輕度多重共線性?C.存在嚴(yán)重多重共線性?D.無法判斷答案：C解析：VIF>10為嚴(yán)重，>5即需關(guān)注，8.5接近10，故選C。9.設(shè)X~B(n=100,p=0.2)，用正態(tài)近似求P(X≥25)時，應(yīng)采用的連續(xù)性校正公式為A.P(X≥24.5)?B.P(X≥25.5)?C.P(X≥25)?D.P(X>25)答案：B解析：≥25對應(yīng)連續(xù)性校正為X≥24.5，但選項無24.5，最近為25.5，實際計算時取24.5，但題目選項設(shè)置B最接近慣例。10.若某檢驗的p值為0.032，則當(dāng)α=0.05時A.拒絕原假設(shè)?B.不拒絕原假設(shè)?C.無法判斷?D.需提高樣本量答案：A解析：p<α，拒絕H?。二、多項選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列哪些統(tǒng)計量具有無偏性A.樣本均值作為總體均值的估計?B.樣本方差s2作為總體方差σ2的估計?C.樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計?D.樣本比例p?作為總體比例p的估計?E.樣本極差作為總體極差的估計答案：ABD解析：s2與p?、x?無偏；s有偏；極差有偏。12.關(guān)于卡方檢驗，正確的有A.可用于檢驗總體方差?B.可用于檢驗列聯(lián)表獨立性?C.要求期望頻數(shù)不小于5?D.統(tǒng)計量服從卡方分布?E.可用于擬合優(yōu)度檢驗答案：BCDE解析：A應(yīng)為單總體方差用χ2，但表述不嚴(yán)謹(jǐn)；B、E正確；C為經(jīng)驗規(guī)則；D為定義。13.下列哪些方法可用于非正態(tài)總體均值的區(qū)間估計A.大樣本下用Z近似?B.Bootstrap法?C.t分布法?D.威爾科克森符號秩法?E.卡方分布法答案：AB解析：t法需正態(tài)或近似正態(tài)；威爾科克森為中位數(shù)；卡方用于方差；Bootstrap非參數(shù)。14.若回歸模型存在異方差，則A.OLS估計仍無偏?B.OLS估計不再有效?C.標(biāo)準(zhǔn)誤估計有偏?D.t檢驗失效?E.可用White修正標(biāo)準(zhǔn)誤答案：ABCDE解析：異方差下OLS無偏但非有效，標(biāo)準(zhǔn)誤偏，t檢驗不可靠，White可修正。15.關(guān)于時間序列分解，正確的有A.包含趨勢、季節(jié)、隨機成分?B.乘法模型中各成分相乘?C.加法模型中季節(jié)成分單位與原序列一致?D.移動平均可消除季節(jié)?E.季節(jié)指數(shù)平均值為1（乘法）答案：ABCE解析：D需特定階數(shù)；E乘法模型季節(jié)指數(shù)平均為1。三、填空題（每空2分，共20分）16.若X~Poisson(λ)，則E(X2)=λ2+λ。解析：Var(X)=λ=E(X2)?(E(X))2?E(X2)=λ+λ2。17.設(shè)隨機變量T服從自由度為15的t分布，則P(T>2.131)=0.025。解析：查雙側(cè)t?.???(15)=2.131。18.在簡單線性回歸中，若總平方和SST=100，殘差平方和SSE=25，則判定系數(shù)R2=0.75。解析：R2=1?SSE/SST=0.75。19.若某指數(shù)平滑模型平滑系數(shù)α=0.3，則最新一期觀測值權(quán)重為0.3，前一期的平滑值權(quán)重為0.7。解析：S?=αy?+(1?α)S???。20.設(shè)總體比例p=0.4，若要求估計誤差不超過0.02，置信水平95%，則所需樣本量約為2401。解析：n=z2?.???p(1?p)/E2=1.962×0.4×0.6/0.022=2304.96→向上取整2401。21.若X~N(10,4)，Y~N(15,9)獨立，則2X?Y~N(5,25)。解析：E=2×10?15=5；Var=4×4+9=25。22.在質(zhì)量控制圖中，若點超出上控制限，則犯Ⅰ型錯誤的概率約為0.0027。解析：3σ原則，雙側(cè)0.0027。23.若樣本偏度為0，峰度為3，則分布可初步認(rèn)為對稱且正態(tài)。解析：正態(tài)峰度=3，偏度=0。24.若兩獨立樣本均值差的標(biāo)準(zhǔn)誤為5，則合并方差估計為50（設(shè)n?=n?=10）。解析：SE=√[σ2(1/n?+1/n?)]?σ2=50。25.若某因子A有3水平，每水平重復(fù)5次，則誤差自由度為12。解析：總自由度=15?1=14，因子自由度=2，誤差=12。四、計算與證明題（共45分）26.（8分）設(shè)某生產(chǎn)線袋裝食品重量服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差歷史數(shù)據(jù)σ=5g。現(xiàn)隨機抽取16袋，測得均值x?=248g。若要求檢驗H?:μ=250vsH?:μ≠250，α=0.05。(1)寫出檢驗統(tǒng)計量并計算；(2)給出結(jié)論；(3)若真實μ=245，求此檢驗的功效（β及1?β）。解：(1)Z=(x??μ?)/(σ/√n)=(248?250)/(5/4)=?1.6。(2)雙側(cè)臨界值±1.96，|?1.6|<1.96，故不拒絕H?。(3)真實μ=245，則非中心參數(shù)δ=(250?245)/(5/4)=4。拒絕域臨界對應(yīng)x?<250?1.96×1.25=247.55或>252.45。真實分布下：P(x?<247.55)=Φ((247.55?245)/1.25)=Φ(2.04)=0.9793；P(x?>252.45)=1?Φ((252.45?245)/1.25)=1?Φ(5.96)≈0。功效=0.9793，β=1?0.9793=0.0207。27.（9分）某市調(diào)查居民對A、B兩品牌偏好，隨機抽取200人，結(jié)果如下：偏好A?偏好B?合計男???60???40??100女???50???50??100合計?110???90??200(1)檢驗性別與品牌偏好是否獨立（α=0.05）；(2)計算列聯(lián)系數(shù)C；(3)給出解釋。解：(1)期望頻數(shù)：男A：100×110/200=55；男B：45；女A：55；女B：45。χ2=Σ(O?E)2/E=(60?55)2/55+(40?45)2/45+(50?55)2/55+(50?45)2/45=2.02。df=1，臨界值3.841，2.02<3.841，不拒絕，認(rèn)為獨立。(2)列聯(lián)系數(shù)C=√[χ2/(χ2+n)]=√[2.02/202.02]=0.10。(3)C接近0，關(guān)聯(lián)極弱，與檢驗結(jié)論一致。28.（10分）某電商平臺記錄廣告投入x（萬元）與銷售額y（萬元）數(shù)據(jù)：Σx=50，Σy=200，Σx2=300，Σy2=5000，Σxy=1200，n=10。(1)求回歸方程；(2)檢驗β?是否顯著（α=0.05）；(3)當(dāng)x=8時，求y的95%預(yù)測區(qū)間。解：(1)b?=[nΣxy?ΣxΣy]/[nΣx2?(Σx)2]=[12000?10000]/[3000?2500]=2000/500=4；b?=y??b?x?=20?4×5=0。方程：y?=4x。(2)SSE=Σ(y?y?)2=Σy2?b?Σxy=5000?4×1200=200；s2=SSE/(n?2)=200/8=25；sβ?=√[s2/(Σx2?(Σx)2/n)]=√[25/50]=0.707；t=b?/sβ?=4/0.707=5.66>t?.???(8)=2.306，顯著。(3)x?=8，y??=32；預(yù)測區(qū)間=y??±t?.???(8)s√[1+1/n+(x??x?)2/Sxx]=32±2.306×5×√[1+0.1+9/50]=32±2.306×5×1.18=32±13.6→(18.4,45.6)。29.（10分）設(shè)總體密度f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。隨機樣本X?,…,Xn。(1)求θ的矩估計；(2)求θ的MLE；(3)比較二者方差（n大時）。解：(1)μ?=E(X)=∫?1xθx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)；令x?=θ/(θ+1)?θ?=x?/(1?x?)。(2)L=θ?Πx_i^{θ?1}；lnL=nlnθ+(θ?1)Σlnx_i；d/dθ=n/θ+Σlnx_i=0?θ?=?n/Σlnx_i。(3)矩估計漸近方差：用Delta法，Var(θ?)≈[1/(1?μ?)2]2Var(x?)=[(θ+1)2/(θ)2]×σ2/n；σ2=E(X2)?μ?2=θ/(θ+2)?[θ/(θ+1)]2=θ/[(θ+2)(θ+1)2]；故Var(θ?)≈(θ+1)?/[θ2(θ+2)(θ+1)2]×1/n=(θ+1)2/[θ2(θ+2)]×1/n。MLE漸近方差：I(θ)=?E[d2lnf/dθ2]=1/θ2；Var(θ?)≈1/[nI(θ)]=θ2/n。比較：矩估計方差含(θ+1)2/[θ2(θ+2)]，通常大于θ2/n，故MLE更有效。30.（8分）某工廠三臺機器生產(chǎn)同型號零件，隨機抽取日產(chǎn)量如下：機器A：120,125,130；機器B：115,118,122；機器C：125,128,135。(1)作單因素方差分析表；(2)檢驗機器間產(chǎn)量是否差異顯著（α=0.05）。解：(1)均值：A=125，B=118.33，C=129.33，總均值=124.22；SST=Σ(yij?y?)2=（120?124.22）2+…+(135?124.22)2=242.22；SSB=3×[(125?124.22)2+(118.33?124.22)2+(129.33?124.22)2]=3×(0.61+34.72+26.11)=184.32；SSE=SST?SSB=57.9；dfB=2，dfE=6；MSB=92.16，MSE=9.65；F=9.55。(2)F?.??(2,6)=5.14，9.55>5.14，拒絕H?，認(rèn)為機器間產(chǎn)量差異顯著。五、應(yīng)用設(shè)計題（15分）31.某醫(yī)療研究機構(gòu)欲評估新藥對收縮壓的降低效果，設(shè)計隨機雙盲對照試驗。已知：1.對照組預(yù)期平均收縮壓μ?=140mmHg，標(biāo)準(zhǔn)差σ=12mmHg；2.臨床意義差值δ=5mmHg；3.要求檢驗功效1?β=0.90，α=0.05（雙側(cè)）。(1)計算每組所需樣本量；(2)若實際僅招募到每組n=45，求可達(dá)到的功效；(3)若采用協(xié)方差分析，以基線收縮壓為協(xié)變量，預(yù)計可降低誤差方差20%，重新計算樣本量。解：(1)雙側(cè)z?.???=1.96，z?.??=1.28；n=2[(zα/2+zβ)σ/δ