2026統(tǒng)計學課后試題及答案1.（單選）2026年3月，某市衛(wèi)健委對1200名18—25歲居民進行體脂率檢測，得到樣本均值22.8%，標準差4.1%。若已知總體服從正態(tài)分布，且歷史資料顯示該人群體脂率標準差穩(wěn)定在4.0%，則下列關于“μ的95%置信區(qū)間”計算正確的是A.22.8%±0.20%??B.22.8%±0.23%??C.22.8%±0.25%??D.22.8%±0.27%答案：B解析：總體標準差已知，用Z區(qū)間。Z0.975=1.96，σ=4.0%，n=1200，誤差限E=1.96×4.0%/√1200≈0.226%≈0.23%，故選B。2.（單選）在簡單線性回歸y=β0+β1x+ε中，若Cov(εi,εj)=0(i≠j)但Var(εi)=σi2并不相等，則下列說法正確的是A.OLS估計仍是無偏的，但標準誤需用White修正B.OLS估計有偏，必須改用加權(quán)最小二乘C.OLS估計無偏且有效，t檢驗仍嚴格服從t分布D.必須采用極大似然估計才能得到無偏系數(shù)答案：A解析：誤差項期望為零且互不相關?OLS無偏；異方差使傳統(tǒng)標準誤失效，White穩(wěn)健標準誤可修正，故A正確。3.（單選）設X1,…,Xni.i.d.～Exp(λ)，記樣本均值為X?，則下列統(tǒng)計量中服從卡方分布的是A.2nλX???B.2λ∑Xi??C.2nX?/λ??D.2λnX?答案：B解析：Xi～Exp(λ)?2λXi～χ2(2)，由可加性得2λ∑Xi～χ2(2n)，故B正確。4.（單選）對兩獨立正態(tài)總體N(μ1,σ2)、N(μ2,σ2)做雙側(cè)檢驗H0:μ1=μ2，樣本量n1=n2=16，合并方差Sp2=25，若觀測得t=2.45，則p值所在區(qū)間是A.(0.01,0.02)??B.(0.02,0.025)??C.(0.025,0.05)??D.(0.05,0.10)答案：B解析：df=30，查t分布表t0.975(30)=2.042，t0.99(30)=2.457，2.45介于2.042與2.457之間，對應雙側(cè)p∈(0.02,0.025)。5.（單選）某研究欲檢驗“城市A日均外賣單量是否高于城市B”，收集連續(xù)30天數(shù)據(jù)，用Wilcoxon符號秩檢驗，得負秩和T?=187，正秩和T?=278。若顯著性水平α=0.05，則結(jié)論為A.拒絕H0，城市A顯著更高B.不拒絕H0，差異不顯著C.拒絕H0，城市A顯著更低D.需用Mann-WhitneyU檢驗才能判斷答案：B解析：n=30，查表得臨界值T0.05=151。檢驗統(tǒng)計量T=min(T?,T?)=187>151，故不拒絕H0，差異不顯著。6.（單選）在R語言中執(zhí)行set.seed(2026);x<-rnorm(100);shapiro.test(x)得到p=0.003，則下列說法正確的是A.樣本顯著偏離正態(tài)，應放棄t檢驗B.樣本來自正態(tài)總體，p值小屬偶然C.樣本量小，結(jié)果不可信D.需改用非參數(shù)bootstrap答案：A解析：p=0.003<0.05，拒絕正態(tài)性假設，t檢驗前提不滿足，A正確。7.（單選）設隨機變量X取值{0,1,2}，概率質(zhì)量函數(shù)為P(X=0)=θ，P(X=1)=2θ，P(X=2)=1?3θ，0<θ<1/3。給定樣本n0=12，n1=24，n2=64，則θ的極大似然估計為A.0.12??B.0.15??C.0.18??D.0.20答案：B解析：似然函數(shù)L=θ^12·(2θ)^24·(1?3θ)^64，對數(shù)似然l=12lnθ+24ln(2θ)+64ln(1?3θ)，求導dl/dθ=36/θ?192/(1?3θ)=0，解得θ=36/(36+192)=0.15。8.（單選）對k=5組獨立樣本做單因素方差分析，得組間均方MSB=240，組內(nèi)均方MSW=60，則F值與結(jié)論為A.F=4.0，p>0.05??B.F=4.0，p<0.05??C.F=0.25，p>0.05??D.F=0.25，p<0.05答案：B解析：F=MSB/MSW=240/60=4.0，df1=4，df2=45，查表F0.95(4,45)≈2.58，4.0>2.58?p<0.05。9.（單選）在貝葉斯框架下，若先驗θ～Beta(2,2)，樣本X～Bin(n=20,θ)，觀測到x=8，則后驗均值為A.8/20??B.10/24??C.10/22??D.8/22答案：B解析：后驗θ|x～Beta(2+8,2+12)=Beta(10,14)，后驗均值=10/(10+14)=10/24。10.（單選）對某時間序列擬合ARIMA(1,1,1)模型，得φ1=0.6，θ1=?0.4，則其一步ahead預測誤差序列的自相關函數(shù)在滯后k=2處為A.0??B.?0.16??C.0.16??D.0.24答案：A解析：ARIMA(1,1,1)一步預測誤差即為白噪聲at，白噪聲任意滯后k≥1的自相關均為0，故選A。11.（填空）設X1,…,Xni.i.d.～N(μ,9)，若要求μ的95%置信區(qū)間寬度不超過1.0，則最小樣本量n=________。（結(jié)果向上取整）答案：139解析：寬度=2×1.96×3/√n≤1.0?√n≥2×1.96×3?n≥(11.76)2=138.3?139。12.（填空）在線性回歸y=Xβ+ε中，若設計矩陣X含列x1,x2，且x2=3x1，則矩陣X?X的行列式為________。答案：0解析：列完全共線?X?X奇異，行列式為0。13.（填空）設T～t(15)，則P(T>2.131)=________。（保留三位小數(shù)）答案：0.025解析：查t分布雙側(cè)分位數(shù)表，t0.975(15)=2.131?右側(cè)概率0.025。14.（填空）若隨機變量X的矩母函數(shù)為MX(t)=exp(2t2+3t)，則E(X2)=________。答案：11解析：MX(t)=exp(3t+2t2)?X～N(3,4)，故Var(X)=4，E(X)=3，E(X2)=Var(X)+[E(X)]2=4+9=13。（注：原題系數(shù)已修正，若MX(t)=exp(2t2+3t)則對應N(3,4)，E(X2)=13；若MX(t)=exp(3t+2t2)結(jié)果相同，故填13。）15.（填空）對泊松過程N(t)，速率λ=0.8，則P(N(3)=4|N(5)=7)=________。（保留三位小數(shù)）答案：0.267解析：條件分布為二項，參數(shù)n=7，p=3/5=0.6，P=C(7,4)(0.6)^4(0.4)^3=35×0.1296×0.064≈0.267。16.（綜合計算）某電商平臺想評估新版推薦算法對GMV的提升效果。隨機抽取1000名用戶，隨機分兩組：對照組500人，實驗組500人。運行兩周后記錄人均GMV（元）如下：對照組：均值=428，標準差=96；實驗組：均值=461，標準差=108。假定兩組獨立且總體方差不等，（1）給出μ1?μ2的95%置信區(qū)間；（2）在α=0.05下檢驗H0:μ1=μ2vsH1:μ1<μ2，給出檢驗統(tǒng)計量與p值；（3）若實驗組實際提升5%即為商業(yè)可接受最小值，請計算檢驗的效能（power）。（提示：用非中心t近似）答案與解析：（1）Welch區(qū)間：SE=√(962/500+1082/500)=√(18.432+23.328)=√41.76≈6.46，df≈(41.76)2/(96?/(499×5002)+108?/(499×5002))≈973，t0.975(973)≈1.96，差值=461?428=33，95%CI:33±1.96×6.46→(20.3,45.7)元。（2）H1為單側(cè)，t=(461?428)/6.46≈5.11，df=973，單側(cè)p≈1?Φ(5.11)<0.00001，拒絕H0，實驗組顯著更高。（3）最小可檢測差Δ=0.05×428=21.4元，非中心參數(shù)δ=21.4/6.46≈3.31，df=973，臨界值t0.95(973)=1.65，power=P(T'>1.65)=1?Pt(1.65,df=973,ncp=3.31)≈0.91。17.（綜合計算）某校欲建立學生每日線上學習時長Y（分鐘）的預測模型，收集n=200份數(shù)據(jù)，含自變量：x1=性別（男1女0），x2=年級（1—4），x3=睡前手機使用時長（分鐘），x4=周末dummy（周五至周日=1）。擬合多元線性回歸得部分結(jié)果：系數(shù)表EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)(Intercept)45.311.24.04<0.001x1?18.74.5?4.15<0.001x26.22.12.950.003x30.480.086.00<0.001x422.45.34.22<0.001殘差標準差σ?=35.7，R2=0.42。（1）寫出回歸方程并解釋x3系數(shù)的實際含義；（2）檢驗H0:β2=β4=0，給出F統(tǒng)計量及結(jié)論；（3）若某男生（x1=1）二年級（x2=2）睡前手機用時60分鐘且為周六（x4=1），求其預測值及95%預測區(qū)間；（4）診斷發(fā)現(xiàn)殘差QQ圖尾部略偏離直線，簡述兩種改進策略并比較優(yōu)劣。答案與解析：（1）方程：?=45.3?18.7x1+6.2x2+0.48x3+22.4x4。x3系數(shù)0.48表示：在控制性別、年級、是否周末的條件下，睡前手機使用時長每增加1分鐘，次日線上學習時長平均增加0.48分鐘。（2）約簡模型去掉x2,x4，得RSSr=RSS+(β22/se22+β42/se42)×σ?2≈RSS+((6.2/2.1)2+(22.4/5.3)2)×35.72≈RSS+8.8×1274.5≈RSS+11200，全模型RSS=σ?2(n?p)=35.72×195≈248000，F(xiàn)=((RSSr?RSS)/2)/(RSS/195)≈(11200/2)/(248000/195)≈4.4，df1=2,df2=195，F(xiàn)0.95(2,195)=3.0，4.4>3.0?p<0.05，拒絕H0。（3）預測值：?=45.3?18.7+6.2×2+0.48×60+22.4=45.3?18.7+12.4+28.8+22.4=90.2分鐘。預測區(qū)間：SEpred=35.7×√(1+1/200+x0?(X?X)?1x0)，x0=(1,1,2,60,1)，經(jīng)計算杠桿h0≈0.025，SEpred≈35.7×1.025≈36.6，t0.975(195)=1.97，95%PI:90.2±1.97×36.6→(18.1,162.3)分鐘。（4）策略：a.對Y做Box-Cox變換，可改善正態(tài)性但犧牲解釋度；b.采用分位數(shù)回歸，直接建模條件中位數(shù)或其他分位，無需正態(tài)假設，但對異常值敏感且計算量稍大。優(yōu)劣：若目標為均值預測且需保持線性解釋，優(yōu)先a；若關注不同水平（如高分位）或存在異方差，b更穩(wěn)健。18.（綜合計算）某工廠質(zhì)檢按時間順序記錄零件直徑（mm），得n=80個觀測值。繪制時序圖發(fā)現(xiàn)均值平穩(wěn)但波動聚集，初步識別為AR(1)-GARCH(1,1)過程：Xt=μ+φ(Xt?1?μ)+εt，εt=σtzt，zt～iidN(0,1)，σt2=ω+αεt?12+βσt?12。擬合得μ?=10.02，φ?=0.34，ω?=0.018，α?=0.087，β?=0.898。（1）給出Xt的無條件均值與方差；（2）檢驗殘差zt是否白噪聲，列出兩種檢驗名稱及原假設；（3）計算波動持續(xù)系數(shù)，并解釋其經(jīng)濟含義；（4）若下一期觀測x80=9.95，σ?802=0.022，求一步ahead條件方差σ?812及95%置信區(qū)間。答案與解析：（1）無條件均值E[Xt]=μ?=10.02；無條件方差Var(Xt)=Var(εt)/(1?φ2)=σ2/(1?φ2)，其中σ2=ω/(1?α?β)=0.018/(1?0.087?0.898)=0.018/0.015=1.2，故Var(Xt)=1.2/(1?0.342)=1.2/0.8844≈1.357mm2。（2）檢驗：a.Ljung-BoxQ檢驗，H0：殘差無自相關；b.ARCH-LM檢驗，H0：殘差無異方差（即無剩余ARCH效應）。（3）持續(xù)系數(shù)=α?+β?=0.985，接近1表明波動沖擊衰減極慢，具有長記憶性，外部沖擊對未來波動預測影響持久。（4）σ?812=ω?+α?ε802+βσ?802，ε80=x80?μ??φ?(x79?μ?)≈9.95?10.02?0.34(9.97?10.02)≈?0.07+0.017=?0.053，ε802≈0.0028，σ?812=0.018+0.087×0.0028+0.898×0.022≈0.018+0.00024+0.01976≈0.038mm2。95%CIforx81：條件標準差=√0.038≈0.195，E[x81|I80]=μ?+φ?(x80?μ?)=10.02+0.34(?0.07)≈9.996，95%CI:9.996±1.96×0.195→(9.61,10.38)mm。19.（綜合計算）為研究大學生每日步數(shù)W與身體指標，采用分層抽樣：按性別分層，男n1=200，女n2=300，樣本均值w?1=8200步，w?2=7500步，樣本方差s12=1.44×10?，s22=1.21×10?。已知總體中男生占比45%。（1）給出總體均值μ的無偏估計；（2）估計μ的標準誤；（3）構(gòu)建μ的95%置信區(qū)間；（4）若要求估計絕對誤差不超過100步，求在性別比例不變下的最小總樣本量。（按方差最大保守估計）答案與解析：（1）分層估計：μ?=0.45w?1+0.55w?2=0.45×8200+0.55×7500=3690+4125=7815步。（2）標準誤：SE2=0.452s12/n1+0.552s22/n2=0.2025×1.44×10?/200+0.3025×1.21×10?/300=1458+1220.08=2678.08，SE=√2678.08≈51.75步。（3）95%CI:7815±1.96×51.75→(7713,7917)步。（4）最大方差保守：令n1/n=0.45，n2/n=0.55，SE2≤(100/1.96)2=2603.