2025~2026學(xué)年度高上學(xué)期二12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（A卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的橢圓方程直接求出焦距即得.【詳解】橢圓的長短半軸長分別為，則其半焦距，所以所求焦距為.故選：B2.拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出準(zhǔn)線和焦點，進而求出結(jié)果.【詳解】可知拋物線，則焦點為，準(zhǔn)線為，則焦點到其準(zhǔn)線的距離為.故選：C.3.若直線和互相垂直，則a的值是（）A0 B.2 C.0或 D.0或2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的一般式方程結(jié)合垂直關(guān)系列式求解即可.【詳解】若直線和互相垂直，則，解得.故選：B.4.已知方程表示雙曲線，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線方程可得，運算求解即可.【詳解】若方程表示雙曲線，則，解得或，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：C.5.已知，，直線相交于點P，且直線與直線的斜率之積為，則點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線斜率的概念，列出方程，求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)點，則，且，可得，化簡得，即，且.故選：D.6.已知平面的一個法向量，是平面內(nèi)一點，是平面外一點，則點P到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知：，結(jié)合點到平面的距離公式運算求解.【詳解】由題意可知：，且平面的一個法向量，所以點P到平面的距離.故選：A.7.已知拋物線，點，過點的直線l與C交于A，B兩點，且，則l的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程可得韋達定理，根據(jù)向量垂直結(jié)合韋達定理運算求解即可.【詳解】由題意可知：直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立方程，消去y可得，則，解得，可得，，因為，若，則，即，整理可得，則，解得，所以直線l的斜率為.故選：D.8.已知圓，點，點B為直線上的動點，過點B作圓C的切線，切點為P，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，點關(guān)于直線的對稱點為，可得，，結(jié)合圖形的性質(zhì)運算求解即可.【詳解】圓，可知圓心為，半徑，設(shè)，，點關(guān)于直線的對稱點為，則，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，所以的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓和橢圓，則（）A.兩橢圓有相同的焦點B.兩橢圓的離心率相等C.兩橢圓有相同的頂點D.兩橢圓有相同的對稱軸和對稱中心【答案】BD【解析】【分析】由橢圓方程可知：橢圓的焦點在x軸上，橢圓的焦點在y軸上，且，，進而逐項分析判斷.【詳解】由橢圓方程可知：橢圓的焦點在x軸上，橢圓的焦點在y軸上，且，，則兩橢圓的焦點、頂點均不相同，故AC錯誤；兩橢圓的離心率均為，即離心率相等，故B正確；兩橢圓有相同的對稱軸（為坐標(biāo)軸）和對稱中心（為坐標(biāo)原點），故D正確；故選：BD.10.已知點P在圓上，點Q在圓上，則（）A.兩圓相交 B.圓與x軸相切C.的取值范圍為 D.面積的最大值為6【答案】AB【解析】【分析】由方程可知各圓圓心和半徑.對于A：求得，即可判斷兩圓位置關(guān)系；對于B：可得圓心到x軸的距離，可知圓與x軸相切；對于C：根據(jù)圓的性質(zhì)分析判斷；對于D：可得點到直線的距離最大值為，即可得面積最值.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.對于選項A：因為，即，所以兩圓相交，故A正確；對于選項B：因為圓心到x軸的距離，所以圓與x軸相切，故B正確；對于選項C：由圓的性質(zhì)可得，且，所以取值范圍為，故C錯誤；對于選項D：由圓的性質(zhì)可知點到直線的距離最大值為，所以面積的最大值為，故D錯誤；故選：AB.11.已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，，點P，Q分別是C左、右支上一點，過點P作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，則下列說法正確的是（）A.C的離心率為B.C的焦點到其漸近線的距離為1C.若，則的面積為2D.若P，M都位于第二象限，且，P、M三點共線，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)方程和焦距可得.對于A：根據(jù)離心率的定義運算求解；對于B：根據(jù)點到直線的距離公式運算求解；對于C：根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理可得，即可得面積；對于D：求點M的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合圖形性質(zhì)分析求解.【詳解】由雙曲線的方程可知，且焦點在x軸上，因為，即，則，可得點，，漸近線為，即.對于選項A：雙曲線C的離心率為，故A正確；對于選項B：雙曲線C的焦點到其漸近線的距離，故B正確；對于選項C：因為，若，則，可得，即，可得，所以的面積為，故C錯誤；對于選項D：可知漸近線，直線，聯(lián)立方程，解得，即，因為，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)點Q在線段上時，等號成立，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P為C上一點，則______．【答案】【解析】【分析】由方程可知，結(jié)合橢圓的定義運算求解即可.【詳解】由橢圓可知，且點P為C上一點，所以.故答案為：.13.設(shè)為拋物線上任意一點，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】通過拋物線方程將目標(biāo)表達式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的頂點性質(zhì)求得最小值.【詳解】因在拋物線上，故，則.該式為關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，其頂點對應(yīng)的.將代入，得.故答案為：14.已知正方體的棱長為2，點P是線段AB上的動點（不含端點），則當(dāng)三棱錐的外接球的表面積最小時，AP的長為______．【答案】##【解析】【分析】依題意建系，設(shè)，，三棱錐的外接球的球心為，根據(jù)球的性質(zhì)結(jié)合空間中兩點間距離公式解得，進而求外接球半徑的最小值.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，三棱錐的外接球的球心為，則，即，解得，即，可得外接球的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)三棱錐的外接球的表面積最小時，AP的長為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.求滿足下列條件雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）焦點在x軸上，經(jīng)過點，；（2）與雙曲線有相同的漸近線，且過點．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解.（2）由給定雙曲線設(shè)所求方程，再求出參數(shù)值即得.小問1詳解】依題意，設(shè)雙曲線方程為，由該雙曲線過點，得，解得，所以所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程為，由該雙曲線過點，得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即.16.已知拋物線的焦點在直線上．（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點，過點作直線交于，兩點，求面積的最小值．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)直線方程可得焦點，即可得和拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程可得韋達定理，可得，即可得面積，進而分析最值.【小問1詳解】因為拋物線的焦點在軸正半軸上，對于直線，令，可得，可知焦點，即，可得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率可能不存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程，消去y可得，則，可得，，則，可得的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的面積最小值為8.17.已知圖1是由矩形ABCD和以CD為直徑的半圓拼接而成，，，將半圓面沿CD折起，使得半圓面平面ABCD，點P為半圓?。ú话ǘ它c）上一動點，如圖2．（1）證明：平面平面BCP；（2）若，求平面ACP與平面BCP的夾角的大小．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進而可得和平面，即可得面面垂直；（2）作輔助線，可得平面，建系標(biāo)點，分別求平面ACP與平面BCP的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】由題意可知：，平面平面ABCD，平面平面，平面，則平面，且平面，可得，又因為，，平面，可得平面，且平面，所以平面平面BCP.【小問2詳解】取的中點分別為，在半圓弧上取點，使得，可知，且平面，則平面，以為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若，則，可得，可知平面BCP的一個法向量為，因為，設(shè)平面ACP的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)平面ACP與平面BCP的夾角為，則，可得，所以平面ACP與平面BCP的夾角的大小為.18.已知過點的直線l與圓相交于A，B兩點．（1）求直線l的斜率的取值范圍；（2）若A是線段BP的中點，求直線l的方程；（3）證明：定值．【答案】（1）（2）或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)點斜式方程的概念，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)有兩個交點的條件，列出不等式，求出結(jié)果；（2）根據(jù)線段中點坐標(biāo)的性質(zhì)，列出方程，再聯(lián)立方程組，以及韋達定理，求出直線斜率，寫出直線方程；（3）根據(jù)兩點之間的距離公式，以及韋達定理，聯(lián)立方程組，列出方程，證明結(jié)果即可.【小問1詳解】設(shè)直線l的方程為，當(dāng)直線l與圓相交于A，B兩點時，得有兩組不同的解，消去得，化簡得，可知，化簡得，解得，所以直線l的斜率的取值范圍是.【小問2詳解】設(shè)，已知，當(dāng)A是線段BP的中點時，可得，化簡得，由（1）可知為方程的兩個解，則，當(dāng)時，，化簡得，解得，所以直線l的方程或.【小問3詳解】設(shè)，已知，則，則，由（2）可知，則，所以為定值．19.已知橢圓的上頂點和兩個焦點都在圓上．（1）求C的方程；（2）若過C的右焦點F與圓E相切的直線與C交于A，B兩點，求；（3）若過C的右焦點F作兩條直線與C在x軸下方分別交于M、N兩點，且直線FM，F(xiàn)N的斜率互為相反數(shù)，記直線MN的斜率為m，求證：．【答案】（1）（2）（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)圓可得上頂點和焦點，即可得和橢圓方程；（2）根據(jù)直線與圓的性質(zhì)求直線的方程，聯(lián)立方程結(jié)合弦長公式求，（3）設(shè)直線，則直